數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟

數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟

　　在我們平凡的日常里，要用到證明的地方還是很多的，證明是持有者用以證明自己身份、經(jīng)歷或某事真實性的一種憑證。我們該怎么擬定證明呢？下面是小編收集整理的數(shù)學(xué)歸納法證明的步驟，僅供參考，歡迎大家閱讀。

　　基本步驟

　　（一）第一數(shù)學(xué)歸納法：

　　一般地，證明一個與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：

　　（1）證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立.n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；

　　（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.

　　綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立.

　　（二）第二數(shù)學(xué)歸納法：

　　對于某個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n），（1）驗證n=n0時P(n）成立；

　　（2）假設(shè)n0≤nn0）成立，能推出Q(k）成立，假設(shè) Q(k）成立，能推出 P(k+1）成立；

　　綜合（1）（2），對一切自然數(shù)n（≥n0），P(n），Q(n）都成立.

　　原理

　　最簡單和常見的數(shù)學(xué)歸納法是證明當(dāng)n等于任意一個自然數(shù)時某命題成立。證明分下面兩步：

　　證明當(dāng)n= 1時命題成立。

　　假設(shè)n=m時命題成立，那么可以推導(dǎo)出在n=m+1時命題也成立。（m代表任意自然數(shù)）

　　這種方法的原理在于：首先證明在某個起點值時命題成立，然后證明從一個值到下一個值的過程有效。當(dāng)這兩點都已經(jīng)證明，那么任意值都可以通過反復(fù)使用這個方法推導(dǎo)出來。把這個方法想成多米諾效應(yīng)也許更容易理解一些。例如：你有一列很長的直立著的多米諾骨牌，如果你可以：

　　證明第一張骨牌會倒。

　　證明只要任意一張骨牌倒了，那么與其相鄰的下一張骨牌也會倒。

　　解題要點

　　數(shù)學(xué)歸納法對解題的形式要求嚴(yán)格，數(shù)學(xué)歸納法解題過程中，第一步：驗證n取第一個自然數(shù)時成立

　　第二步：假設(shè)n=k時成立，然后以驗證的條件和假設(shè)的條件作為論證的依據(jù)進(jìn)行推導(dǎo)，在接下來的推導(dǎo)過程中不能直接將n=k+1代入假設(shè)的原式中去。

　　最后一步總結(jié)表述。

　　需要強(qiáng)調(diào)是數(shù)學(xué)歸納法的兩步都很重要，缺一不可，否則可能得到下面的荒謬證明：

　　證明1：所有的馬都是一種顏色

　　首先，第一步，這個命題對n=1時成立，即，只有1匹馬時，馬的顏色只有一種。

　　第二步，假設(shè)這個命題對n成立，即假設(shè)任何n匹馬都是一種顏色。那么當(dāng)我們有n+1匹馬時，不妨把它們編好號：

　　1， 2， 3……n， n+1

　　對其中（1、2……n）這些馬，由我們的假設(shè)可以得到，它們都是同一種顏色；

　　對（2、3……n、n+1）這些馬，我們也可以得到它們是一種顏色；

　　由于這兩組中都有（2、3、……n）這些馬，所以可以得到，這n+1種馬都是同一種顏色。

　　這個證明的錯誤來于推理的第二步：當(dāng)n=1時，n+1=2，此時馬的編號只有1、2，那么分的兩組是（1）和（2）——它們沒有交集，所以第二步的推論是錯誤的。數(shù)學(xué)歸納法第二步要求n→n+1過程對n=1，2，3……的數(shù)都成立，而上面的證明就好比多米諾骨牌的第一塊和第二塊之間間隔太大，推倒了第一塊，但它不會推倒第二塊。即使我們知道第二塊倒下會推倒第三塊等等，但這個過程早已在第一和第二塊之間就中斷了。

　　證明2：舉例證明下面的定理

　　——等差數(shù)列求和公式

　　第一步，驗證該公式在 n = 1 時成立。即有左邊=1，右邊=

　　=1，所以這個公式在n = 1時成立。

　　第二步，需要證明假設(shè)n = m 時公式成立，那么可以推導(dǎo)出n = m+1 時公式也成立。步驟如下：

　　假設(shè)n = m 時公式成立，即

　　（等式1）

　　然后在等式兩邊同時分別加上m + 1 得到

　　（等式2）

　　這就是n = m+1 時的等式。我們下一步需要根據(jù) 等式1證明 等式2 成立。通過因式分解合并，等式2的右邊

　　也就是

　　這樣我們就完成了由n=m成立推導(dǎo)出n=m+1成立的過程，證畢。

　　結(jié)論：對于任意自然數(shù)n，公式均成立。

　　對于以上例2的分析

　　在這個證明中，歸納的過程如下：

　　首先證明n=1成立。

　　然后證明從n=m 成立可以推導(dǎo)出n=m+1 也成立（這里實際應(yīng)用的是演繹推理）。

　　根據(jù)上兩條從n=1 成立可以推導(dǎo)出n=1+1，也就是n=2 成立。

　　繼續(xù)推導(dǎo)，可以知道n=3 成立。

　　從 n=3 成立可以推導(dǎo)出n=4 也成立……

　　不斷重復(fù)3的推導(dǎo)過程（這就是所謂“歸納”推理的地方）。

　　我們便可以下結(jié)論：對于任意非零自然數(shù)n，公式成立。

　　記數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)答題技巧

　　數(shù)學(xué)歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質(zhì)，推斷該類事物全體都具有的性質(zhì)，這種推理方法，在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結(jié)論來。

　　數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法，在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個遞推的數(shù)學(xué)論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n)時成立，這是遞推的基礎(chǔ)，第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般，實際上它使命題的正確性突破了有限，達(dá)到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)(或n≥n且n∈N)結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。

　　運用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標(biāo)意識，注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標(biāo)完成解題。

　　運用數(shù)學(xué)歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

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