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高三數學歸納法教案

時間:2024-07-11 04:28:54

高三數學歸納法教案

高三數學歸納法教案

高三數學歸納法教案

  一、教學目標

  1.了解歸納法的意義,培養學生觀察、歸納、發現的能力.

  2.了解數學歸納法的原理,能以遞推思想作指導,理解數學歸納法的操作步驟.

  3.抽象思維和概括能力進一步得到提高.

  二、教學重點與難點

  重點:借助具體實例了解數學歸納的基本思想,掌握它的基本步驟,運用它證明一些與正整數n(n取無限多個值)有關的數學命題。

  難點:1、學生不易理解數學歸納的思想實質,具體表現在不了解第二個步驟的作用,不易根據歸納假設作出證明;

  2、運用數學歸納法時,在歸納遞推的步驟中發現具體問題的遞推關系。

  三、教學過程

  (一)創設情景

  對于數列{an},已知 , (n=1,2,), 通過對n=1,2,3,4前4項的歸納,猜想其通項公式為 。這個猜想是否正確需要證明。

  一般來說,與正整數n有關的命題,當n比較小時可以逐個驗證,但當n較大時,驗證就很麻煩。特別是n可取所有正整數時逐一驗證是不可能的。因此,我們需要尋求一種方法:通過有限個步驟的推理,證明n取所有正整數都成立。

  (二)研探新知

  1、了解多米諾骨牌游戲。

  可以看出,只要滿足以下兩條件,所有多米諾骨牌就都能倒下:

  (1)第一塊骨牌倒下;

  (2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導致后一塊倒下。

  思考:你認為條件(2)的作用是什么?

  可以看出,條件(2)事實上給出了一個遞推關系:

  當第k塊倒下時,相鄰的第k+1塊也倒下。

  這樣,要使所有的骨牌全部倒下,只要保證(1)(2)成立。

  2、用多米諾骨牌原理解決數學問題。

  思考:你認為證明數列的通過公式是 這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎?你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎?

  分析:

  多米諾骨牌游戲原理 通項公式 的證明方法

  (1)第一塊骨牌倒下。 (1)當n=1時a1=1,猜想成立

  (2)若第k塊倒下時,則相鄰的第k+1塊也倒下。 (2)若當n=k時猜想成立,即 ,則當n=k+1時猜想也成立,即 。

  根據(1)和 (2),可知不論有多少塊骨牌,都能全部倒下。 根據(1)和(2),可知對任意的正整數n,猜想都成立。

  3、數學歸納法的原理

  一般地,證明一個與正整數n有關的命題,可按下列步驟進行:

  (1)(歸納奠基)證明當n取第一個值n0時命題成立;

  (2)(歸納遞推)假設n=k( )時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立。

  只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立。

  上述證明方法叫做數學歸納法

  注意:(1)這兩步步驟缺一不可。

  (2)用數學歸納法證明命題時,難點和關鍵都在第二步,而在這一步主要在于合理運用歸納假設,結合已知條件和其他數學知識,證明當n=k+1時命題成立。

  (3)數學歸納法可證明有關的正整數問題,但并不是所有的正整數問題都用數學歸納法證明,學習時要具體問題具體分析。

  4、例題講解

  例1 課本P94

  例2 課本P94

  例3.用數學歸納法證明:1+3+5++(2n-1)=n2。

  證明:(1)當n=1時,左邊=1,右邊=1,等式成立.

  (2)假設當n=k時,等式成立,就是1+3+5++(2k-1)=k2,

  那么

  1+3+5++(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2。

  即當n=k+1時等式也成立。

  根據(1)和(2),可知等式對任何nN *都成立。

  (三)課堂練習:

  1、用數學歸納法證明:1+2+3++n= 。

  2、課本P95練習1、2。

  (四)小結 :

  數學歸納法的原理和步驟。

  (五)布置作業:

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