數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式學(xué)案
學(xué)案 4.1.1數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
6、.用數(shù)學(xué)歸納法證明4 +3n+2能被13整除，其中n∈N
7、求證：
8、已知， ， 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
9、.求證：用數(shù)學(xué)歸納法證明 ．
答案:
1. 關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性：
10. 驗(yàn)證n取第一個(gè)值時(shí)命題成立( 即n＝ 時(shí)命題成立) (歸納奠基） ；
20. 假設(shè)當(dāng)n=時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=＋1時(shí)命題也成立(歸納遞推）.
30. 由10、20知，對(duì)于一切n≥ 的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論）
要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.
例2 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí)，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右,∴n=2時(shí)不等式成立
（2）假設(shè)n=(≥2)時(shí)，不等式成立，即 (1+x)>1+x
當(dāng)n=+1時(shí)，因?yàn)閤> -1 ，所以1+x>0，于是
左邊=(1+x)+1 右邊=1+(+1)x．
因?yàn)閤2＞0，所以左邊＞右邊，即(1+x)+1>1+(+1)x．
這就是說，原不等式當(dāng)n=+1時(shí)也成立．
根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立.
例3 證明:⑴當(dāng) 時(shí),有 ，命題成立.
⑵設(shè)當(dāng) 時(shí)，命題成立，即若 個(gè)正數(shù) 的乘積 ,
那么它們的和 .
那么當(dāng) 時(shí),已知 個(gè)正數(shù) 滿足 .
若 個(gè)正數(shù) 都相等,則它們都是1.其和為 ,命題成立.
若這 個(gè)正數(shù) 不全相等,則其中必有大于1的數(shù),也有小于1的數(shù)
(否則與 矛盾).不妨設(shè) .
例4證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊= ,右邊= ,由于 故不等式成立.
(2)假設(shè)n=( )時(shí)命題成立,即
則當(dāng)n=+1時(shí),
即當(dāng)n=+1時(shí),命題成立.
由(1)、(2)原不等式對(duì)一切 都成立.
例5（1）
練習(xí)
1．解析：∵f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36
∴f(1),f(2),f(3)能被36整除，猜想f(n)能被36整除.
證明：n=1,2時(shí)，由上得證，設(shè)n=(≥2)時(shí)，
f()=(2+7)3+9能被36整除，則n=+1時(shí)，
f(+1)－f()=(2+9)3+1?－(2+7)3
=(6+27)3－(2+7)3
=(4+20)3=36(+5)3－2?(≥2)
f(+1)能被36整除
∵f(1)不能被大于36的數(shù)整除，∴所求最大的值等于36. 答案：C
2、解析：
(n∈N*)
(n∈N*)
4、證:(1)當(dāng)n=1時(shí),A1=5+2+1=8,命題顯然成立.
(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí),A能被8整除,即 是8的倍數(shù).
那么:
因?yàn)锳是8的倍數(shù),3-1+1是偶數(shù)即4(3-1+1)也是8的倍數(shù),所以A+1也是8的倍數(shù),
即當(dāng)n=+1時(shí),命題成立.
由(1)、(2)知對(duì)一切正整數(shù)n, An能被8整除.
5．證明： 1當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1- = ，右邊= = ，所以等式成立。
2假設(shè)當(dāng)n=時(shí)，等式成立，
即 。
那么，當(dāng)n=+1時(shí)，
這就是說，當(dāng)n=+1時(shí)等式也成立。
綜上所述，等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立。
6．證明：(1)當(dāng)n=1時(shí)，42×1+1+31+2=91能被13整除
(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí)，42+1+3+2能被13整除，則當(dāng)n=+1時(shí)，
42(+1)+1+3+3=42+142+3+23－42+13+42+13
=42+113+3(42+1+3+2?)
∵42+113能被13整除，42+1+3+2能被13整除
∴當(dāng)n=+1時(shí)也成立.
由①②知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n+1+3n+2能被13整除.
7．證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，右邊= ，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立，即 ．
則當(dāng) 時(shí)，
所以則當(dāng) 時(shí)，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切 均成立．
8. 證明：
（1）當(dāng)n=2時(shí)， ，∴命題成立．
（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)命題成立，即 ．
則當(dāng) 時(shí)，
所以則當(dāng) 時(shí)，不等式也成立．
由（1），（2）可知，原不等式對(duì)一切 均成立．
9、證明：（1） 當(dāng)n=1時(shí)， ，不等式成立；
當(dāng)n=2時(shí)， ，不等式成立；
當(dāng)n=3時(shí)， ，不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng) 時(shí)不等式成立，即 ．
則當(dāng) 時(shí)， ，
∵ ，∴ ，（*）
從而 ，
∴ ．
即當(dāng) 時(shí)，不等式也成立．
由（1），（2）可知， 對(duì)一切 都成立．
5
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