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數(shù)學(xué)的歸納法解析總結(jié)

時(shí)間:2024-08-02 19:25:26

數(shù)學(xué)的歸納法解析總結(jié)

數(shù)學(xué)的歸納法解析總結(jié)

數(shù)學(xué)的歸納法解析總結(jié)

  數(shù)學(xué)歸納是一種有特殊事例導(dǎo)出一般原理的思維方法。歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種。不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對(duì)象具有的共同性質(zhì),推斷該類事物全體都具有的性質(zhì),這種推理方法,在數(shù)學(xué)推理論證中是不允許的。完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對(duì)象后歸納得出結(jié)論來(lái)。

  數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種推理方法,在解數(shù)學(xué)題中有著廣泛的應(yīng)用。它是一個(gè)遞推的數(shù)學(xué)論證方法,論證的第一步是證明命題在n=1(或n)時(shí)成立,這是遞推的基礎(chǔ),第二步是假設(shè)在n=k時(shí)命題成立,再證明n=k+1時(shí)命題也成立,這是無(wú)限遞推下去的理論依據(jù),它判斷命題的正確性能否由特殊推廣到一般,實(shí)際上它使命題的正確性突破了有限,達(dá)到無(wú)限。這兩個(gè)步驟密切相關(guān),缺一不可,完成了這兩步,就可以斷定“對(duì)任何自然數(shù)(或n≥n且n∈N)結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出,數(shù)學(xué)歸納法是由遞推實(shí)現(xiàn)歸納的,屬于完全歸納。

  運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是n=k+1時(shí)命題成立的推證,此步證明要具有目標(biāo)意識(shí),注意與最終要達(dá)到的解題目標(biāo)進(jìn)行分析比較,以此確定和調(diào)控解題的方向,使差異逐步減小,最終實(shí)現(xiàn)目標(biāo)完成解題。

  運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法,可以證明下列問(wèn)題:與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問(wèn)題、幾何問(wèn)題、整除性問(wèn)題等等。

  常見數(shù)學(xué)歸納法及其證明方法

  (一)第一數(shù)學(xué)歸納法

  一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,有如下步驟

  (1)證明當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立,對(duì)于一般數(shù)列取值為1,但也有特殊情況

  (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥[n的第一個(gè)值],k為自然數(shù))時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。

  (二)第二數(shù)學(xué)歸納法

  對(duì)于某個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題

  (1)驗(yàn)證n=n0時(shí)P(n)成立

  (2)假設(shè)no

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