端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的受力狀況與運(yùn)動規(guī)律論文
0引言
常見的組合機(jī)構(gòu)有實(shí)現(xiàn)預(yù)定軌跡要求的聯(lián)動凸輪組合機(jī)構(gòu)、凸輪-連桿組合機(jī)構(gòu)、實(shí)現(xiàn)任意停歇或復(fù)雜運(yùn)動規(guī)律要求的凸輪-齒輪組合機(jī)構(gòu)、實(shí)現(xiàn)多種運(yùn)動規(guī)律及軌跡要求的齒輪-連桿組合機(jī)構(gòu)和齒輪與液壓的組合機(jī)構(gòu)等[1-6].這些機(jī)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)特定要求的運(yùn)動軌跡或復(fù)合運(yùn)動，但是結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，體積和重量比較大，并不適用于結(jié)構(gòu)尺寸受限、運(yùn)動規(guī)律過于復(fù)雜的場合。
復(fù)合運(yùn)動機(jī)構(gòu)中獨(dú)特且結(jié)構(gòu)較為簡單的一種是復(fù)合運(yùn)動齒輪副，它依靠齒輪副的節(jié)曲線形狀變化實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)/直動復(fù)合運(yùn)動。復(fù)合運(yùn)動齒輪副包含正交復(fù)合運(yùn)動錐齒輪副[7]、正交復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副[8]、復(fù)合運(yùn)動面齒輪副[9]、復(fù)合運(yùn)動非圓齒輪副和非圓齒輪齒條運(yùn)動副。其中端曲面齒輪復(fù)合運(yùn)動機(jī)構(gòu)是在端曲面齒輪基礎(chǔ)上提出的結(jié)合了凸輪機(jī)構(gòu)、齒輪機(jī)構(gòu)和非圓齒輪機(jī)構(gòu)特點(diǎn)的一種新型的齒輪傳動[10].這種運(yùn)動副相比傳統(tǒng)的組合機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)更簡單、可靠性更高，可以取代一些傳統(tǒng)的組合機(jī)構(gòu)，對于裝備輕量化、簡化機(jī)械結(jié)構(gòu)意義重大。缺點(diǎn)是現(xiàn)階段設(shè)計難度高，加工制造困難。針對端曲面齒輪的研究已經(jīng)比較詳盡，而端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的研究卻比較少，集中在齒面求解、運(yùn)動規(guī)律的計算和應(yīng)用方面[7,10].
本文對端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的運(yùn)動規(guī)律進(jìn)行了仿真和試驗驗證，并計算了其嚙合過程中的壓力角和受力狀況，為其設(shè)計和應(yīng)用提供進(jìn)一步的指導(dǎo)。
1運(yùn)動規(guī)律
1.1齒輪副傳動模型
如圖1所示，齒輪1為普通直齒圓柱齒輪，其節(jié)曲線半徑為r;齒輪2為端曲面齒輪，其節(jié)曲線半徑為R;齒輪3為非圓柱齒輪，其節(jié)曲線為二階橢圓，節(jié)曲線半徑為r3（θ3）。端曲面齒輪是一種用于相交軸間 傳遞變傳動比運(yùn)動和動力的齒輪。端曲面齒輪的節(jié)曲線方程為：
式中：θ2為端曲面齒輪的轉(zhuǎn)角；θ3為非圓齒輪的轉(zhuǎn)角。
當(dāng)非圓柱齒輪3旋轉(zhuǎn)軸固定并作為主動輪，端曲面齒輪2作為從動輪，其輸出為變傳動比的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動，此時即為端曲面齒輪副；當(dāng)以端曲面齒輪2作為主動輪，圓柱齒輪1作為從動輪，其輸出為圓柱齒輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動與圓柱齒輪的徑向運(yùn)動的復(fù)合運(yùn)動；當(dāng)以圓柱齒輪1為主動輪，以端曲面齒輪2為從動輪，其輸出為端曲面齒輪的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動和端曲面齒輪的軸向移動的復(fù)合運(yùn)動。通過修改端曲面齒輪的節(jié)曲線可以相應(yīng)改變輸出端的運(yùn)動規(guī)律，從而滿足所要求的工作場合。本文以直齒圓柱齒輪1作為主動輪分析端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的特性。
1.2運(yùn)動規(guī)律
當(dāng)以直齒圓柱齒輪為主動輪時，輸出端軸向位移的運(yùn)動規(guī)律為[8]:
根據(jù)齒輪嚙合原理，齒輪嚙合過程中嚙合點(diǎn)的瞬時速度相等，即v→1=v→2,v→1、v→2分別為圓柱齒輪、端曲面齒輪上嚙合點(diǎn)的速度。對于從動輪（端曲面齒輪）有：v→2=v→t+v→a,對于主動輪（直齒圓柱齒輪）有：v→1=r→1ω→1,則端曲面齒輪切向速度
式中：v→t為切向速度；v→a為軸向速度。根據(jù)以上計算方法，復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副采用如下參數(shù)時：圓柱齒輪齒數(shù)Z1=12;齒輪副模數(shù)m=2mm;端曲面齒輪齒數(shù)Z2=36;偏心率k=0.1;節(jié)曲線半徑R=35.91mm;端曲面齒輪階數(shù)n2=2;主動輪轉(zhuǎn)速N1=150r/min.可得端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的運(yùn)動規(guī)律如圖2所示。
從圖2可以看出，該端曲面齒輪副輸出旋轉(zhuǎn)/移動的復(fù)合運(yùn)動，而且端曲面齒輪的旋轉(zhuǎn)和軸向移動規(guī)律均呈現(xiàn)出一定周期性，當(dāng)軸向運(yùn)動的位移最大時，軸向運(yùn)動速度為零，端曲面齒輪的轉(zhuǎn)速也最大。
將端曲面齒輪復(fù)合運(yùn)動的模型導(dǎo)入ADAMS仿真軟件，施加相應(yīng)的約束、載荷及驅(qū)動，如圖3所示。仿真得到輸出端端曲面齒輪的運(yùn)動規(guī)律，將其與理論值對比，如圖4所示。
從圖4可以看出，端曲面齒輪副的位移的仿真結(jié)果隨著主動輪轉(zhuǎn)角的變化周期性變化，而且因為有誤差和干擾的存在，仿真值與理論值存在一定的偏差，但二者的變化范圍都基本相同，這驗證了理論計算結(jié)果的正確性。
2受力分析
2.1受力分析
齒輪副嚙合過程中的受力狀況直接影響傳動系統(tǒng)的設(shè)計和校核。復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副嚙合過程中的受力狀況如圖5所示，圖中1為主動輪；1′為隨動輪，主要用于防止端曲面齒輪出現(xiàn)嚴(yán)重的偏載；2為從動輪。
當(dāng)以直齒圓柱齒輪作為主動輪時：
式中：T1、T2分別為直齒圓柱齒輪和端曲面齒輪的轉(zhuǎn)矩；i12為齒輪副復(fù)合運(yùn)動的傳動比；α為齒輪副壓力角。
2.2壓力角計算
對于端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動，其嚙合過程中的壓力角與標(biāo)準(zhǔn)漸開線齒輪副不同。漸開線上任意一點(diǎn)法向壓力的方向線與該點(diǎn)速度方向之間的夾角為該點(diǎn)的 壓 力角。對 于端曲面 齒 輪復(fù)合運(yùn)動，其壓力角即為圓柱齒輪的切向力F→n與端曲面齒輪的嚙合點(diǎn)的速度v→2之間的夾角。如圖6所示，復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副的壓力角α等于圓柱齒輪的齒形角α0加上切向速度vt與合速度v2之間的夾角β。
圖6中ω1、ω2分別為圓柱齒輪和端曲面齒輪的轉(zhuǎn)速；Fa、Ft、Fn分別為該齒輪副中端曲面齒輪所受的軸向力、切向力和法向力；v→t、v→a、v→2為端曲面齒輪節(jié)曲線上一點(diǎn)的切向速度、軸向速度和合速度；β為切向速度v→t與合速度v→2之間的夾角；α為復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副的壓力角：
α=α0+β（10）式中：
β=arctan（v→a/v→t）；α0為直齒圓柱齒輪壓力角，本文取20°。
當(dāng)齒輪副壓力角增大時，齒輪副傳遞相同的扭矩需要的作用力也越大，甚至可能出現(xiàn)自鎖現(xiàn)象，通常要求齒輪副壓力角最大不能大于65°，因此有必要對該復(fù) 合運(yùn)動齒輪副的壓力角進(jìn)行分析。刀具壓力角為20°，從動輪負(fù)載T2=10N·m,分別取直齒圓柱齒輪的齒數(shù)為Z1= 12,13,14,15,其他參數(shù)采用1.2節(jié)中參數(shù)時，其壓力角變化情況和圓柱齒輪的轉(zhuǎn)矩如圖7所示。可以看出，復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副的壓力角成周期性變化，但圓柱齒輪齒數(shù)對壓力角的影響并不明顯，其最大值為36°，最小值為20°，處于合理的范圍內(nèi)。
主動輪的轉(zhuǎn)矩變化影響到齒輪副的嚙合力，進(jìn)而影響對主動輪軸承的設(shè)計和校核。由于端曲面齒輪轉(zhuǎn)速并不恒定，其角加速度的變化對嚙合力的影響不可忽視。分別取主動輪轉(zhuǎn)速n1=5、10r/s,其他參數(shù)相同的情況下，主動輪轉(zhuǎn)矩變化如圖7所示。可以看出，當(dāng)主動輪轉(zhuǎn)速增加時，圓柱齒輪轉(zhuǎn)矩的波動范圍更大，其最小值更小，最大值也更大，這一定程度上決定了復(fù)合運(yùn)動端曲面齒輪副只能用于中低速的場合。而其周期性地改變與轉(zhuǎn)速的增加是等比例的，因而其隨轉(zhuǎn)角變化的周期性并不受轉(zhuǎn)速的影響。
圓柱齒輪的切向力與圓柱齒輪轉(zhuǎn)矩是等比例關(guān)系，而圓柱齒輪徑向力還與壓力角的變化相關(guān)。從圖8可以看出，受壓力角變化的影響，圓柱齒輪徑向力的變化規(guī)律不同于切向力，而且其受轉(zhuǎn)速變化的影響相對較小。
3試驗驗證及對比
針對這一新型齒輪傳動副，搭建了用于驗證其規(guī)律的試驗平臺。由鋁型材作為支座，其余零件除標(biāo)準(zhǔn)件外由樹脂材料經(jīng)工業(yè)級3D打印設(shè)備加工，加工出的'齒輪實(shí)物見圖9.
試驗方案如圖10所示，可調(diào)速的減速電機(jī)通過梅花聯(lián)軸器連接主動軸，齒輪副嚙合帶動端曲面齒輪的旋轉(zhuǎn)/直動運(yùn)動，從動軸由箱式光軸軸承支撐，由彈簧提供從動軸往返的回復(fù)力。
最終搭建好 的 試 驗 平 臺 實(shí) 物 如 圖11所 示。柱齒輪作為主動輪連接電機(jī)，端曲面齒輪作為從動輪，調(diào)速器用于控制電機(jī)轉(zhuǎn)速，激光位移傳感器LH-050通過內(nèi)部的CMOS元件感應(yīng)并測量輸出軸的位移，控制器用于接受和處理測量數(shù)據(jù)，直流電源為控制器和傳感器提供24V直流電源。
通過配套軟件LK-Navigator 2控制并觀察傳感器的數(shù)據(jù)。調(diào)節(jié)電機(jī)的轉(zhuǎn)速為10r/min,試驗臺平穩(wěn)運(yùn)行，測量輸出端的位移。電機(jī)最高轉(zhuǎn)速為100r/min,調(diào)節(jié)電機(jī)轉(zhuǎn)速，依次增加20r/min,測量其輸出軸軸向運(yùn)動位移。
轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)至100r/min時齒輪副依然可以平穩(wěn)運(yùn)轉(zhuǎn)。電機(jī)轉(zhuǎn)速為10~90r/min時，輸出軸的最大位移分 別 為3.517、3.532、3.483、3.532、3.492mm,理 論 最 大 位 移 為3.58 mm,最 大 誤 差 為0.097mm,誤差為2.7%,在誤差允許的范圍內(nèi)。復(fù)合運(yùn)動軸向運(yùn)動的位移測量值如圖12所示，理論值與測量值的對比如圖13所示，圖中主動輪轉(zhuǎn)速為30r/min.從圖13可以看出，端曲面齒輪副的位移隨著主動輪轉(zhuǎn)角的變化周期性變化，測量曲線與理論曲線的變化趨勢基本相同。但是因為有制造、安裝誤差的存在，試驗值與理論值存在一定的偏差。
根據(jù)式（2）~（5），根據(jù)測量的位移規(guī)律以及已知的轉(zhuǎn)速和齒輪副參數(shù)，反算出端曲面齒輪的轉(zhuǎn)速，并與理論值對比，如圖14所示。可以看出由試驗得出的結(jié)果與理論值存在一定的偏差，但變化趨勢基本相同。以上分析表明試驗測得的數(shù)據(jù)是有效的，也驗證了理論計算結(jié)果的正確性。
4結(jié)論
（1）采用仿真方法驗證了端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的規(guī)律；設(shè)計并搭建了端曲面齒輪復(fù)合運(yùn)動驗證試驗平臺，驗證了其輸出軸的復(fù)合運(yùn)動規(guī)律，并與理論值對比，驗證了其正確性。
（2）分析并計算了端曲面齒輪副復(fù)合運(yùn)動的壓力角變化規(guī)律以及齒輪副嚙合力變化規(guī)律。齒輪副的壓力角受齒輪副齒數(shù)的影響比較小，而齒輪副的嚙合力受齒輪副轉(zhuǎn)速的影響，決定了該齒輪副適用于中、低速的場合，為該齒輪系統(tǒng)的設(shè)計和校核奠定了基礎(chǔ)。
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