目 錄
一、 全等變換及其性質 1
（一） 全等變換的概念 1
（二） 全等變換的性質 1
二、 全等變換的基本分類 1
（一） 平移 1
1. 平移的概念 1
2. 平移的性質 2
3. 關于平移的問題 2
（二） 旋轉 4
1. 旋轉的概念 4
2. 旋轉的性質 5
3. 關于旋轉的問題 5
（三） 對稱 7
1. 對稱的概念 7
2. 對稱的性質 7
3. 關于對稱的問題 8
三、 平移、旋轉和對稱之間的關系 14
參考文獻 16
全等變換及其性質
全等變換的概念
在《小學數學研究》一書中給出了全等變換的概念，即：一般的，如果在歐氏平面上定義的變換T，使得任意兩點A，B和它們的象A'B'，總有AB=A'B'，則稱T是全等變換，也稱保距變換，或者合同變換。這種圖形運動也叫圖形的剛體運動，即剛體運動所生成的變換是全等變換。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學數學研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁。]
而在《幾何課程研究》一書中，則給出了更為簡潔的定義，即：一個平面上得到其自身的變換f，如果對于平面上任意兩點A,B,其距離ρ（A,B）總等于它們的對應點A'，B'間的距離ρ（A'，B'），那么f叫做平面上的全等變換。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學出版社，2006,第140頁。]
全等變換的性質
全等變換是一一變換；
平面上所有全等變換的集合構成一個全等變換群；
兩直線的夾角不變；三角形的面積不變；平面圖形的面積不變；直線上A、B、C三點的簡比AC/BC不變；
共線點變為共線點，且保持順序關系不變；
直線變為直線、線段變為線段、射線變為射線，半平面變為半平面；
兩直線的平行性、正交性不變。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學出版社，2006,第141頁.]
全等變換的基本分類
平移
平移的概念
平移，也叫平移變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點P變換到P'，滿足：
（1）射線PP'有給定的方向；
（2）線段PP'有給定的長度。
其中，點P與P'就是一對對應點。也就是說，這里的一組對應點P與P'組成的線段PP'平行于給定的射線，而且，線段PP'的長度等于定長。事實上，一個圖形F經過了一次平移f而等到另一個圖形F'，意味著將圖形F上的所有點，按照同一方向都移動了同樣的距離。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學數學研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第180頁。]
平移的性質
（1）平移變換是第一類全等變換。因此，平移變換具有全等變換的一切性質。
（2）在平移變換下，直線變成與它平行（或重合）的直線；線段AB變為線段A'B'，且AB=A'B'。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學出版社，2006,第142頁。]
關于平移的問題
圖1
圖1是出自人教版小學數學二年級下冊的內容。由圖1可以看出，在我們平常的生活中，存在著許多平移現象，只不過學生們都沒有仔細地觀察過。該圖在引導學生注意觀察生活的基礎上，又開拓了學生的思路，讓學生不單單要觀察，并且要記住，哪些現象是平移，并且可以舉出一些生活中平移的實例，例如人在行走過程中，上身就是在平移，又或者火車行駛在鐵軌上，也是一種平移。
圖2
圖3
圖2圖3都是出自人教版小學數學二年級下冊。在圖3中，形象的給出了一個鴨子的造型，首先引起了學生的興趣，讓學生有興趣繼續讀完下面題目的要求，此題要求學生做平移之后的圖，更多的是要同學自己動手動腦，在自己對平移的理解的基礎上解決問題。問題相對來說淺顯易懂，意在讓學生能夠形象的理解平移。如果理解上出現了什么偏差，在做題的過程中也可以表現出來，并且及時糾正。而在圖4中變換了一下提問的角度，前面的問題都是先給出原圖，然后提出平移要求，讓學生畫出最后所求的圖。而在此題中，兩幅圖均給出，需要學生說出具體平移的步驟。這兩道題考察的學生學習的全面性。學習平移，首先要理解平移的含義，其次明白原圖、平移要求和所得圖之間的關系，只有了解了這三者及他們之間的關系，才能讀懂做對圖3圖4中的問題，此時，學生也就對平移有了一個大致的了解了。
圖4
圖4是關于平行四邊形面積的求法。在此內容中，用到了平移的知識。因為學生學過矩形面積如何去算，可是不會算平行四邊形的面積。所以，將平行四邊形左半部分延高h剪下一個小三角形，再將小三角形平移到平行四邊形的右側，結果發現正好可以與剩余的部分組成一個矩形。矩形的長是平行四邊形的底，矩形的寬是平行四邊形的高（如圖3所示）。于是得出平行四邊形的面積公式S=ah。
旋轉
旋轉的概念
旋轉，也叫做旋轉變換，是指平面到其自身的一種變換，它將平面上的任意一點A變換到點A'，滿足：
點A、A'到定點O的距離OA、OA'相等；
∠AOA'等于定角α。
其中，定點O叫做旋轉中心，定角α叫做旋轉角。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學數學研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第181頁。]
旋轉的性質
（1）旋轉變換是第一類全等變換。因此，旋轉具有全等變換的一切性質。
（2）當旋轉角φ≠180°時，直線（線段）與其對應直線（線段）的交角等于φ。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學出版社，2006,第143頁.]
關于旋轉的問題
圖5
圖5出自于人教版小學數學二年級下冊。在旋轉的內容上，教材沒有安排過多的內容。只是列舉了一些生活的實例，引導學生去觀察，并且培養學生的觀察和推導能力。先用具體的圖代替文字解釋什么叫旋轉，然后讓同學們去聯想，生活中還有哪些事件是旋轉，加深學生對旋轉的理解。
圖6
圖6出自人教版小學數學二年級下冊。關于旋轉部分的練習不是很多，主要是讓學生了解什么是旋轉，觀察生活中旋轉的實例，并且通過觀察積累經驗，解答問題。例如，家里的電風扇，在工作的時候幾片扇葉就是在旋轉，又例如，鐘表在工作的時候，三個指針也是在旋轉，并且在一年級下學期的時候，學生就已經初步的認識了鐘表。
圖7
圖7出自于百度文庫。該題是要求三角形面積公式。我們先根據題目給的三角形，做一個一模一樣的，然后將其中一個三角形以一個頂點作為旋轉中心旋轉180°，接著將兩個三角形拼在一起，形成了一個平行四邊形。平行四邊形的底是三角形的底，平行四邊形的高是三角形的高。平行四邊形的面積我們在上文中已經利用平移解決了，即S=ah，所以在這里我們可以直接使用，最后得出三角形的面積S= ah。
α
圖8
如圖8，學生玩活動角，準備兩個紙條，長短不限，把它們重疊并且捏住它們的一端，將其中一個紙條的另一端往別的方向拉，把它張開形成一個角。[ 李一帆，角的認識[N]，新課程小學北京：科學出版社，2010-7-8,96.]這個活動讓角動態化了，可以讓學生更直觀地看到角是如何形成的，而不是單純的一個頂點兩條邊，幫助學生更好地理解角，并在今后的練習中避免了一些錯誤。
對稱
對稱的概念
對稱是指圖形或物體對某一點、某條直線或某個平面的反射運動，在形狀、大小、長短和排列等方面都相等或相當，具有一一對應的關系。軸對稱和中心對稱都是對稱變換。
（1）軸對稱的概念
兩個圖形具有一一變換的關系，如果以每對對應點為端點的線段都和同一條直線垂直且被平分，那么稱這種變換為軸對稱（或直線反射），每對對應點互稱對稱點，垂直平分對稱點所連線段的直線叫做對稱軸。
（2）中心對稱的概念
中心對稱實際上是一種特殊的對稱，它既與旋轉有關，也與點的軸對稱有關。
如果把一個圖形繞著某一點旋轉180°后能與另一個圖形完全重合，那么，我們就說，這兩個圖形構成中心對稱。
特別地，如果把一個圖形繞著某一點旋轉180°后能與自身重合，那么，我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學數學研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,第189-191頁。]
對稱的性質
在對稱的定義中，對稱的性質已經基本上全部給出。只有中心對稱還具有一些特殊的性質：
在中心對稱變換下：
過對稱中心的直線是不變直線。
對應點連線過對稱中心且被它平分；對應線段相等且反向平行或共線。
不過對應中心的直線與其對應的直線平行；反之，若兩直線平行，則他們是某個中心對稱變換下的兩條對應直線。[ 王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學出版社，2006,第143頁.]
關于對稱的問題
圖9
圖10
圖9和圖10出自于人教版小學數學五年級下冊。作為例題，圖9和圖10都非常有代表性。首先，圖9沒有立即解釋對稱，而是讓學生觀察生活中常見的幾幅圖，通過直觀的印象告訴同學，這種現象就是對稱。然后運用了折紙和剪紙這兩種學生較喜歡而且可以帶動學生學習積極性的活動，帶領學生進一步認識對稱，并且認識一個新概念：對稱軸。圖10中水中的倒影、鏡中的影像，都非常貼近生活，可以讓學生課下自己去觀察對稱，切身體會對稱帶給生活的美。
圖11
圖11出自人教版小學數學五年級下冊。該題和圖10相對應，是圖10中例題的練習題，都是以鏡面作為對稱的工具。鏡子是日常生活中非常常見的物品之一，學生大可以在回家以后自己親身體驗鏡子對稱的奧妙。像右圖中那個小女孩兒，她明明是左手拿本右手拿筆的，可是在鏡子里她就變成了左手拿筆右手拿本，這是為什么呢。引起了學生的好奇心，引導學生切身體驗，通過觀察自己積累經驗解決問題，并加深印象。
圖12
圖12出自人教版小學數學五年級下冊。這道練習題提問的角度和別的題目不大一樣，給出的不是一整幅圖，然后讓學生做對稱，而是給出一半的圖，讓學生填完另一半。在做題的過程中，自然而然的讓學生了解了更多的對稱圖形，同時向學生滲透一種對稱美的觀點。
圖13
圖13兩幅圖出自百度文庫。
學生學習對稱，學習對稱軸，自然而然就會想到一些軸對稱的圖形。這里列舉了三個較典型且非常常見的軸對稱圖形，長方形、正方形和圓形。給學生看這三個圖形，讓他們判斷這三個圖形是否是軸對稱圖形，如果是，有沒有對稱軸。可以幫助學生更好的認識圖形。
圖14
圖14出自百度文庫。該題是求梯形的面積公式。由圖可知，梯形面積公式的推導方法和三角形面積公式的推導方法非常相近。都是先畫出來一個和題目給出的梯形一模一樣的梯形，然后將其中一個梯形以上底為對稱軸做軸對稱，之后將兩個梯形拼在一起，形成了一個平行四邊形。平行四邊形的底就是梯形的上底加下底，平行四邊形的高就是梯形的高。由平行四邊形面積公式S=ah可知，梯形面積公式為S= (a+b)h。
圖15
圖15是大家很常見的折紙圖，在很常見，學生也很感興趣的折紙活動中，我們也可以看到對稱的身影。 通過折紙活動，分析留在紙張上的折痕，我們能夠揭示出大量幾何的對象和性質：軸對稱、中心對稱、全等、相似性、比例及類似于幾何分形結構的迭代（在圖案內不斷地重復圖案）等幾何性質。這些鮮活的、可視的過程，給學生提供了彌補思維過程中的斷缺部分，更能符合學生的認知習慣。
平面幾何中的軸對稱與中心對稱概念，不僅在日常生活中應用廣泛，同時，也是幾何學的重要內容。簡單郵路問題就是應用這類內容的典型案例。下面就是簡單郵路問題的教學設計的一個典型案例。[ 本部分參考：上海市金匯學校課題組。簡單郵路問題與對稱教學[J]，數學教學，1999，（2）：31,4.]
（1）提出問題
郵遞員從郵局出發，要把信件送到8個地方，再回到原地，請為郵遞員設計送信的線路，在完成任務的前提下使得路程盡可能短。即如圖16所示， △ ● ●
有3×3=9（個）整齊排列的點，其中左上角帶△的點表示郵局， ● ● ●
請用線段把這些點連接起來，并且線段不重復。 ● ● ●
解決問題； 圖16
發給學生每人16個如圖16所示的圖形。
先由學生根據要求，獨立畫出線路圖；
通過組內交流去掉重復的線路圖；
選取其中一個小組的所有設計方案，將其張貼在黑板上。
要求學生：
一方面，去掉不合理的線路圖，即去掉從郵局出發而最后沒法回到郵局的情況，以及8個送信地點中有遺漏或重復的情況。
另一方面，挑選其中的最優設計方案。那么，怎么樣的設計方案才是符合問題要求的最優方案呢？回答是“線路不重復，而且距離必須最短”。
圖16中9點之間的連線有直線段和斜線段兩種，每種設計方案最后的送信距離，我們都可以用“m條直線段+n條斜線段”來表示。于是，引導學生計算每一個方案中的直線段和斜線段的數目，比如有：
直線段（m）：8 7 8
斜線段（n）：1 2 2
要是距離最短，必須滿足什么條件呢？
由于連接9個點，至少要有9條線段，而且斜線短長與直線段，所以，盡可能使斜線段的數目最少。因為連接9點得9條線段中，必須有一條是斜線段。因此，滿足最短距離的設計方案其直線段是8條，斜線段是1條。
小組交流；
在得到什么是最優設計方案的基礎上，要求其他小組的學生，根據判斷標準，補充符合要求的不同的最優設計方案。
歸納總結
將實際問題轉化為數學問題，把設計方案抽象為幾何圖形。
通過對圖形的觀察、比較，發現其中的關系和規律。比如：
一個圖形可以通過另一個圖形的旋轉而得到。
一個圖形可以通過另一個圖形的翻轉（即軸對稱）而得到。
一個圖形可以通過另一個圖形的翻轉（即軸對稱）再旋轉得到。
通過分類，總結歸納出所有可能的圖形。比如：
按斜線的缺口方向可分成四類，每個方向有兩個圖形，所以，一共有8個圖形。
將其中一個圖形按順時針方向各旋轉90°，得到四個圖形；將其中的一個圖形翻轉，再按順時針方向各旋轉90°，又可得到四個圖形。即：
a b c d
▼ ● ● 旋轉 ▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
翻轉
▼ ● ● 旋轉▼ ● ● ▼ ● ● ▼ ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ●
e f g h
圖17
其中：a與e，c與g，d與f是上下對稱關系，a與g，b與f，c與e，d與h是左右對稱關系，而任意一個圖形，都可以通過另一個圖形的旋轉和對稱而得到（圖17）。
由圖形再回到實際問題。
由③的討論，我們得到，符合條件的最優設計方案的圖形共有8種，考慮到實際問題，對每種圖形，郵遞員可有順時針和逆時針兩種行走方，所以，原問題的最優線路有16種。[ 張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學數學研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,185-186.]
平移、旋轉和對稱之間的關系
對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸互相平行，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次平移；
對同一個圖形連續進行兩次軸對稱，如果兩個對稱軸相交，那么，這兩次軸對稱的結果等同于一次旋轉，旋轉中心就是兩條對稱軸的交點。
反過來，對一個圖形實施一次平移，都可以通過連續的兩次軸對稱來替代完成；對一個圖形實施一次旋轉，可以通過連續的兩次軸對稱來完成。
小學幾何變換的數學問題需要具象的、直觀的操作，讓學生親自經歷直觀操作，是小學生幾何學習所必需的。小學生的數學學習立足在生活經驗基礎之上，這些生活化、零散的經驗和常識，為開展直觀的幾何學習奠定了必要的基礎。
與此同時，小學幾何變換的課程教學僅限于在方格紙上進行，也就是沿著平行、垂直于方格紙的兩個格的邊緣線進行，不涉及直接按斜線方向運動的情形。
參考文獻
[1]張奠宇，孔凡哲，黃建弘，黃榮良，唐采斌，等。小學數學研究[M]。北京：高等教育出版社，2009,178-202.
[2]王家鏵，沈文選。幾何課程研究[M]。北京：科學出版社，2006,142-147.
[3]李一帆，角的認識[N]，新課程小學，2010-7-8,96.
[4]袁康榮，板塊設計，以點帶畫--“角的認識”第一課時教學設計[J]，小學時代（教師），2010-2.
[5]卞恩鴻，射線、直線和角的認識[J]，新課程（小學版），2010-6.
[6]林靜，淺談幾何變換在初中平面幾何教學的探究[J]，福建論壇（社科教育版）2010-4.
[7]胡軍，以不同圖形為背景的旋轉變換[J]，初中數學教與學，2011年第5期.
[8]陳紹華，運用幾何變換巧解題[J]，數學學習與研究：教研版，2010年18期.
[9]吳復，用旋轉變換解題[J]，數學大世界：初中生數學輔導，2010年4期.
[10]鄔佩芬，幾何變換在數學解題中的作用[J]，寧波教育學院學報北京，2003年1期.
[11]上海市金匯學校課題組。簡單郵路問題與對稱教學[J]，數學教學，1999，（2）：31,4.