淺談?dòng)?jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)實(shí)用心得
淺談?dòng)?jì)算機(jī)和數(shù)學(xué)實(shí)用心得
計(jì)算機(jī)理論的一個(gè)核心問(wèn)題——從數(shù)學(xué)談起：
記得當(dāng)年大一入學(xué)，每周六課時(shí)高等數(shù)學(xué)，天天作業(yè)不斷(那時(shí)是六日工作制)。頗有些同學(xué)驚呼走錯(cuò)了門(mén):咱們這到底念的是什么系？不錯(cuò)，你沒(méi)走錯(cuò)門(mén)，這就是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)系。我國(guó)計(jì)算機(jī)科學(xué)系里的傳統(tǒng)是培養(yǎng)做學(xué)術(shù)研究，尤其是理論研究的人（方向不見(jiàn)得有問(wèn)題，但是做得不是那么盡如人意）。而計(jì)算機(jī)的理論研究，說(shuō)到底了，如網(wǎng)絡(luò)安全，圖形圖像學(xué)，視頻音頻處理，哪個(gè)方向都與數(shù)學(xué)有著很大的關(guān)系，雖然也許是正統(tǒng)數(shù)學(xué)家眼里非主流的數(shù)學(xué)。這里我還想闡明我的一個(gè)觀點(diǎn)：我們都知道，數(shù)學(xué)是從實(shí)際生活當(dāng)中抽象出來(lái)的理論，人們之所以要將實(shí)際抽象成理論，目的就在于想用抽象出來(lái)的理論去更好的指導(dǎo)實(shí)踐，有些數(shù)學(xué)研究工作者喜歡用一些現(xiàn)存的理論知識(shí)去推導(dǎo)若干條推論，殊不知其一：?jiǎn)栴}考慮不全很可能是個(gè)錯(cuò)誤的推論，其二：他的推論在現(xiàn)實(shí)生活中找不到原型，不能指導(dǎo)實(shí)踐。嚴(yán)格的說(shuō)，我并不是一個(gè)理想主義者，政治課上學(xué)的理論聯(lián)系實(shí)際一直是指導(dǎo)我學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)的航標(biāo)（至少我認(rèn)為搞計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)的應(yīng)當(dāng)本著這個(gè)方向）。
其實(shí)我們計(jì)算機(jī)系學(xué)數(shù)學(xué)光學(xué)高等數(shù)學(xué)是不夠的（典型的工科院校一般都開(kāi)的是高等數(shù)學(xué)），我們應(yīng)該像數(shù)學(xué)系一樣學(xué)一下數(shù)學(xué)分析（清華計(jì)算機(jī)系開(kāi)的好像就是數(shù)學(xué)分析），數(shù)學(xué)分析這門(mén)科學(xué)，咱們學(xué)計(jì)算機(jī)的人對(duì)它有很復(fù)雜的感情。在于它是偏向于證明型的數(shù)學(xué)課程，這對(duì)我們培養(yǎng)良好的分析能力極有幫助。我的軟件工程學(xué)導(dǎo)師北工大數(shù)理學(xué)院的王儀華先生就曾經(jīng)教導(dǎo)過(guò)我們，數(shù)學(xué)系的學(xué)生到軟件企業(yè)中大多作軟件設(shè)計(jì)與分析工作，而計(jì)算機(jī)系的學(xué)生做程序員的居多，原因就在于數(shù)學(xué)系的學(xué)生分析推理能力，從所受訓(xùn)練的角度上要遠(yuǎn)遠(yuǎn)在我們之上。當(dāng)年出現(xiàn)的怪現(xiàn)象是：計(jì)算機(jī)系學(xué)生的高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)在全校數(shù)一數(shù)二(希望沒(méi)有冒犯其它系的同學(xué))，教學(xué)課時(shí)數(shù)也僅次于數(shù)學(xué)系，但學(xué)完之后的效果卻不盡如人意。難道都是學(xué)生不努力嗎，我看未見(jiàn)得，方向錯(cuò)了也說(shuō)不一定，其中原因何在，發(fā)人深思。
我個(gè)人的淺見(jiàn)是：計(jì)算機(jī)系的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)的要求固然跟數(shù)學(xué)系不同，跟物理類(lèi)差別則更大。通常非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的所謂“高等數(shù)學(xué)”，無(wú)非是把數(shù)學(xué)
分析中較困難的理論部分刪去，強(qiáng)調(diào)套用公式計(jì)算而已。而對(duì)計(jì)算機(jī)系來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)分析里用處最大的恰恰是被刪去的理論部分。說(shuō)得難聽(tīng)一點(diǎn)，對(duì)計(jì)算機(jī)系學(xué)生而言，追求算來(lái)算去的所謂“工程數(shù)學(xué)”已經(jīng)徹底地走進(jìn)了誤區(qū)。記上一堆曲面積分的公式，難道就能算懂了數(shù)學(xué)？那倒不如現(xiàn)用現(xiàn)查，何必費(fèi)事記呢？再不然直接用Mathematics或是Matalab好了。
我在系里最?lèi)?ài)做的事情就是給學(xué)弟學(xué)妹們推薦參考書(shū)。中文的數(shù)學(xué)分析書(shū)，一般都認(rèn)為以北大張筑生老師的“數(shù)學(xué)分析新講”為最好。萬(wàn)一你的數(shù)學(xué)實(shí)在太好，那就去看菲赫金哥爾茨的“微積分學(xué)教程”好了--但我認(rèn)為沒(méi)什么必要，畢竟你不想轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)系去。吉米多維奇的“數(shù)學(xué)分析習(xí)題集”也基本上是計(jì)算型的東東。書(shū)的名氣很大，倒不見(jiàn)得適合我們，還是那句話，重要的是數(shù)學(xué)思想的建立，生活在信息社會(huì)里我們求的是高效，計(jì)算這玩意還是留給計(jì)算機(jī)吧。不過(guò)現(xiàn)在多用的似乎是復(fù)旦大學(xué)的《數(shù)學(xué)分析》也是很好的教材。中國(guó)的所謂高等代數(shù)，就等于線性代數(shù)加上一點(diǎn)多項(xiàng)式理論。我以為這有好的一面，因?yàn)榭梢宰寣W(xué)生較早感覺(jué)到代數(shù)是一種結(jié)構(gòu)，而非一堆矩陣翻來(lái)覆去。這里不得不提南京大學(xué)林成森，盛松柏兩位老師編的“高等代數(shù)”，感覺(jué)相當(dāng)舒服。此書(shū)相當(dāng)全面地包含了關(guān)于多項(xiàng)式和線性代數(shù)的基本初等結(jié)果，同時(shí)還提供了一些有用的又比較深刻的內(nèi)容，如Sturm序列，Shermon-Morrison公式，廣義逆矩陣等等。可以說(shuō)，作為本科生如能吃透此書(shū)，就可以算高手。國(guó)內(nèi)較好的高等代數(shù)教材還有清華計(jì)算機(jī)系用的那本，清華出版社出版，書(shū)店里多多，一看就知道。從抽象代數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)看，高等代數(shù)里的結(jié)果不過(guò)是代數(shù)系統(tǒng)性質(zhì)的一些例子而已。莫宗堅(jiān)先生的《代數(shù)學(xué)》里，對(duì)此進(jìn)行了深刻的討論。然而莫先生的書(shū)實(shí)在深得很，作為本科生恐怕難以接受，不妨等到自己以后成熟了一些再讀。
正如上面所論述的，計(jì)算機(jī)系的學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)：知其然更要知其所以然。你學(xué)習(xí)的目的應(yīng)該是：將抽象的理論再應(yīng)用于實(shí)踐，不但要掌握題目的解題方法，更要掌握解題思想，對(duì)于定理的學(xué)習(xí)：不是簡(jiǎn)單的應(yīng)用，而是掌握證明過(guò)程即掌握定理的由來(lái)，訓(xùn)練自己的推理能力。只有這樣才達(dá)到了學(xué)習(xí)這門(mén)科學(xué)的目的，同時(shí)也縮小了我們與數(shù)學(xué)系的同學(xué)之間思維上的`差距。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門(mén)課很重要，可惜大多數(shù)院校講授這門(mén)課都會(huì)少些東西。少了的東西現(xiàn)在看至少有隨機(jī)過(guò)程。到畢業(yè)還沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)Markov過(guò)程，此乃計(jì)算機(jī)系學(xué)生的恥辱。沒(méi)有隨機(jī)過(guò)程，你怎么分析網(wǎng)絡(luò)和分布式系統(tǒng)？怎么設(shè)計(jì)隨機(jī)化算法和協(xié)議？據(jù)說(shuō)清華計(jì)算機(jī)系開(kāi)有“隨機(jī)數(shù)學(xué)”，早就是必修課。另外，離散概率論對(duì)計(jì)算機(jī)系學(xué)生來(lái)說(shuō)有特殊的重要性。而我們國(guó)家工程數(shù)學(xué)講的都是連續(xù)概率。現(xiàn)在，美國(guó)已經(jīng)有些學(xué)校開(kāi)設(shè)了單純的“離散概率論”課程，干脆把連續(xù)概率刪去，把離散概率講深些。我們不一定要這么做，但應(yīng)該更加強(qiáng)調(diào)離散概率是沒(méi)有疑問(wèn)的。這個(gè)工作我看還是盡早的做為好。
計(jì)算方法學(xué)（有些學(xué)校也稱(chēng)為數(shù)學(xué)分析學(xué)）是最后一門(mén)由數(shù)理學(xué)院給我們開(kāi)的課。一般學(xué)生對(duì)這門(mén)課的重視程度有限，以為沒(méi)什么用。不就是照套公式嘛！其實(shí)，做圖形圖像可離不開(kāi)它，密碼學(xué)搞深了也離不開(kāi)它。而且，在很多科學(xué)工程中的應(yīng)用計(jì)算，都以數(shù)值的為主。這門(mén)課有兩個(gè)極端的講法：一個(gè)是古典的“數(shù)值分析”，完全講數(shù)學(xué)原理和算法；另一個(gè)是現(xiàn)在日趨流行的“科學(xué)與工程計(jì)算”，干脆教學(xué)生用軟件包編程。我個(gè)人認(rèn)為，計(jì)算機(jī)系的學(xué)生一定要認(rèn)識(shí)清楚我們計(jì)算機(jī)系的學(xué)生為什么要學(xué)這門(mén)課，我是很偏向于學(xué)好理論后用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的，最好使用C語(yǔ)言或C++編程實(shí)現(xiàn)。向這個(gè)方向努力的書(shū)籍還是挺多的，這里推薦大家高等教育出版社（CHEP）和施普林格出版社(Springer)聯(lián)合出版的《計(jì)算方（ComputationalMethods）》,華中理工大學(xué)數(shù)學(xué)系寫(xiě)的（現(xiàn)華中科技大學(xué)），這方面華科大做的工作在國(guó)內(nèi)應(yīng)算是比較多的，而個(gè)人認(rèn)為以這本最好，至少程序設(shè)計(jì)方面涉及了：任意數(shù)學(xué)函數(shù)的求值，方程求根，線性方程組求解，插值方法，數(shù)值積分，場(chǎng)微分方程數(shù)值求解。李慶揚(yáng)的那本則理論性過(guò)強(qiáng)，與實(shí)際應(yīng)用結(jié)合得不太緊。
每個(gè)學(xué)校本系里都會(huì)開(kāi)一門(mén)離散數(shù)學(xué)，涉及集合論，圖論，和抽象代數(shù)，數(shù)理邏輯。不過(guò)，這么多內(nèi)容擠在離散數(shù)學(xué)一門(mén)課里，是否時(shí)間太緊了點(diǎn)？另外，計(jì)算機(jī)系學(xué)生不懂組合和數(shù)論，也是巨大的缺陷。要做理論，不懂組合或者數(shù)論吃虧可就太大了。從理想的狀態(tài)來(lái)看，最好分開(kāi)六門(mén)課：集合，邏輯,圖論，組合，代數(shù)，數(shù)論。這個(gè)當(dāng)然不現(xiàn)實(shí)，因?yàn)闆](méi)那么多課時(shí)。也許將來(lái)可以開(kāi)三門(mén)課：集合與邏輯，圖論與組合，代數(shù)與數(shù)論。
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