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冪指函數求極限

回答
瑞文問答

2024-10-23

冪指函數求極限的方法主要有三種,分別是取對數法,等價代換法和配湊法。取對數法是“冪指型”函數極限求解最普遍、最一般的方法,利用的是冪指型通過取對數可以轉化為復合函數的特點等。

擴展資料

  方法一:取對數法

  這是“冪指型”函數極限求解最普遍、最一般的方法,利用的是冪指型通過取對數可以轉化為復合函數的特點。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x),f(x)g(x)=eg(x)lnf(x)。由于指數函數的連續性,求解冪指型f(x)g(x)的極限的問題就歸結為求g(x)lnf(x)的極限問題。

  方法二:等價代換法

  利用等價無窮小(或無窮大)作代換是很重要并且有技巧性的一種求極限的方法。由于lnf(x)g(x)=g(x)lnf(x),如果f(x)~?(x),g(x)~ψ(x),自然有g(x)lnf(x)~ψ(x)ln?(x),于是f(x)g(x)~?(x)ψ(x)。由此我們可以得到:如果f(x)>0,?(x)>0,f(x)~?(x),g(x)~ψ(x),而limf(x)g(x)存在,那么lim?(x)ψ(x)=limf(x)g(x)。

  方法三:配湊法

  一般來說,配湊法往往利用重要極限limx→0(1+x)1x=e,所以一般用于求解“1∞”型極限。若α(x)>0,α(x)是無窮小量,那么

  如果α(x)β(x)的極限存在,那么就達到配湊法求解極限的目的了,因此我們可以考慮先求α(x)β(x)的極限。

  上述三種方法為冪指型函數求極限的主要方法,最常規的方法是取對數法,后面兩種方法有一定技巧性,不過也可以歸結為取對數的方法。掌握好它們,我們在遇到這類問題的時候就不再會感到非常吃力了。

  冪指函數

  將形如y=[f(x)]^g(x)的函數稱為冪指函數。也就是說,它既像冪函數,又像指數函數,二者的特點兼而有之。作為冪函數,其冪指數確定不變,而冪底數為自變量;相反地,指數函數卻是底數確定不變,而指數為自變量。冪指函數就是冪底數和冪指數同時都為自變量的函數。這種函數的推廣,就是廣義冪指函數。

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