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高中數(shù)學函數(shù)的單調(diào)性的教學設(shè)計
【教學目標】
1.知識與技能：從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握利用函數(shù)圖象和定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟。
2.過程與方法：通過觀察函數(shù)圖象的變化趨勢——上升或下降，初步體會函數(shù)單調(diào)性，然后數(shù)形結(jié)合，讓學生嘗試歸納函數(shù)單調(diào)性的定義，并能利用圖像及定義解決單調(diào)性的證明。
3.情感、態(tài)度與價值觀：在對函數(shù)單調(diào)性的學習過程中，讓學生感知從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程，增強學生由現(xiàn)象猜想結(jié)論的能力。
【教學重點】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷。
【教學難點】 根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性。
【教學方法】 教師啟發(fā)講授，學生探究學習。
【教學工具】 教學多媒體。
【教學過程】
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
師：同學們剛剛從樓下走到了教室，如果把每一個樓梯的臺階都標上數(shù)字
，我們一起來描述一下從樓下走到教室這一過程中，同學們的位置變化。
生：隨著樓梯臺階標號的增大，我們所處的位置在不斷地上升。
師：(積極反饋，全班鼓掌表揚)反之，我們下樓時，我們的位置顯然是在下降的。
師：(閱讀教材，人教
版
節(jié)首內(nèi)容，引導學生看圖
)結(jié)合上下樓的問題，引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考。
觀察圖
中的函數(shù)圖象，隨著函數(shù)自變量
的增大(減小)，你能得到什么信息?
二、歸納探索，形成概念
我們在學習函數(shù)概念時，了解了函數(shù)的定義域及值域，本節(jié)內(nèi)容其實就是針對自變量與函數(shù)值之間的變化關(guān)系進行的專題研究之一──函數(shù)單調(diào)性的研究。
同學們在初中已經(jīng)對函數(shù)隨著自變量取值的變化函數(shù)值相應(yīng)的變化情況有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義，今天我們的任務(wù)就是通過形象的函數(shù)圖象變化情況，為函數(shù)單調(diào)性建立嚴格定義。
1.借助圖象，直觀感知
首先，我們來研究一次函數(shù)
和二次函數(shù)
的單調(diào)性。
師：在沒有學習函數(shù)單調(diào)性的嚴格定義之前，函數(shù)的單調(diào)性可以理解為，
師：根據(jù)圖象，請同學們寫出你對這兩個函數(shù)單調(diào)性的描述。
生：(獨立完成，小組內(nèi)互相檢查，然后閱讀教材，對比參照)。
2.抽象思維，形成概念
函數(shù)的性質(zhì)離不開函數(shù)的定義域，在研究函數(shù)單調(diào)性時，我們也必須充分考慮到這一點，
在函數(shù)的定義區(qū)間上描述隨著自變量
值的變化，函數(shù)值
的變化情況。
師：思考，如何利用函數(shù)解析式
來描述函數(shù)隨著自變量
值的變化，函數(shù)值
的變化情況?(注意函數(shù)的定義區(qū)間)
生：在
上，隨著自變量
值的增大，函數(shù)值
逐漸減小;在
上，隨著自變量
值的增大，函數(shù)值
逐漸增大。
師：如果給出函數(shù)
，你能用準確的數(shù)學符號語言表述出函數(shù)單調(diào)性的定義嗎?
生：(師生共同探究，得出增函數(shù)嚴格的定義)一般地，設(shè)函數(shù)
的定義域為
：
①如果對于定義域上某個區(qū)間
上的任意兩個自變量的值
，當
時，都有
，那么就說函數(shù)
在區(qū)間
上是增函數(shù);
②如果對于定義域上某個區(qū)間
上的任意兩個自變量的值
，當
時，都有
，那么就說函數(shù)
在區(qū)間
上是減函數(shù)。
三、掌握證法，適當延展
【例1】下圖是定義在區(qū)間
上的函數(shù)
，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)?
【例2】物理學中的玻意耳定律
(
為正常數(shù))告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積
減小時，壓強
將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。
師：在解決完成這個例題后，根據(jù)解題步驟歸納總結(jié)用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般性算法步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論。
四、歸納小結(jié)，提高認識
學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，共同完成小結(jié)。
(1) 利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)性;
(2) 利用定義判斷函數(shù)單調(diào)性;
(3) 證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論。
五、布置作業(yè)，拓展探究
課后探究：研究函數(shù)
的單調(diào)性。
六、板書設(shè)計
函數(shù)的單調(diào)性
一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題
二、歸納探索，形成概念
三、掌握證法，適當延展
四、歸納小結(jié)，提高認識
七、教學反思
在有限的課堂時間，使學生掌握利用數(shù)形結(jié)合的思想方法準確理解函數(shù)單調(diào)性的有關(guān)概念，加深對基本概念的認識。首先，展示一個學生都熟悉無比的情境，在這個情境中讓學生直觀地理解上升(遞增)或下降(遞減)的現(xiàn)象，然后針對課本所給的三個圖象，結(jié)合情境中的直觀現(xiàn)象，讓學生描述這三個函數(shù)圖象的特征。學生在描述函數(shù)圖象特征(上升或下降)的時候較為順利，但總覺得有錯誤，可又說不清理由。此時，教師指出：在敘述函數(shù)圖像特征時要按照一定的標準，即觀察的順序應(yīng)沿x軸正方向，自變量從左向右變化時，函數(shù)值(圖像)的變化趨勢，這樣即可得到正確答案。學生在理解錯誤原因過程中亦得到了正確的研究方法。接下來，單刀直入地提出函數(shù)的單調(diào)性這個函數(shù)的性質(zhì)。在直觀上承認這一性質(zhì)以后，由學生按學習小組，仿照剛才的分析去研究一次函數(shù)和二次函數(shù)的單調(diào)性。繼而提出：圖象特征如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言?經(jīng)過學生探究思考，教師啟發(fā)，學生歸納總結(jié)函數(shù)單調(diào)性的定義。結(jié)合圖像，學生通過自主合作探索，自己給出了函數(shù)單調(diào)性的定義。然后讓學生打開書本，與書上的表述比較，肯定他們的成果，并提示注意書本敘述的精確用語。本課學生印象深刻，理解深入，合作探究激發(fā)了學生的內(nèi)驅(qū)力與自信心。
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