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《提公因式法》數學教案

時間:2024-08-24 22:32:01

《提公因式法》數學教案

《提公因式法》數學教案

《提公因式法》數學教案

  教學目標

  1.使學生了解因式分解的意義,理解因式分解的概念及其與整式乘法的區別和聯系.

  2.使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.

  3.通過學生自行探求解題途徑,培養學生觀察、分析和創新能力,深化學生逆向思維能力.

  教學重點及難點

  教學重點:

  因式分解的概念及提公因式法.

  教學難點:

  正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區別和聯系.

  教學過程

  一、復習提問

  乘法對加法的分配律.

  二、新課

  1.新課引入:用類比的方法引入課題.

  在學習分數時,我們常常要進行約分與通分,因此常常要把一個數分解因數(即分解約數).例如,把15分解成3×5,把42分解成2×3×7.

  在第七章我們學習了整式的乘法,幾個整式相乘可以化成一個多項式,那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢?這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法.

  2.因式分解的概念:

  請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子,并計算出其結果.(老師按學生所說在黑板寫出幾個.)

  如:m(a+b+c)=ma+mb+mc

  2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

  (a+b)(a-b)=a2-b2

  (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

  (x-5)(2-x)=-x2+7x-10 等等.

  再請學生觀察它們有什么共同的特點?

  特點:左邊,整式×整式;右邊,是多項式.

  可見,整式乘以整式結果是多項式,而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積,我們就把這種多項式的變形叫做因式分解.

  定義:把一個多項式化為幾個整式的積的形式,叫做把這個多項式因式分解,也叫做把這個多項式分解因式.

  如:因式分解:ma+mb+mc=m(a+b+c).

  整式乘法:m(a+b+c)=ma+mb+mc.

  讓學生說出因式分解與整式乘法的聯系與區別.

  聯系:同樣是由幾個相同的整式組成的等式.

  區別:這幾個相同的整式所在的位置不同,上式是因式分解;下式是整式乘法.兩者是方向相反的恒等變形,二者是一個式子的不同表現形式,一個是多項式的表現形式,一個是兩個或幾個因式積的表現形式.

  例1 下列各式從左到右哪些是因式分解?(投影)

  (1)x2-x=x(x-1) (√)

  (2)a(a-b)=a2-ab (×)

  (3)(a+3)(a-3)=a2-9 (×)

  (4)a2-2a+1=a(a-2)+1 (×)

  (5)x2-4x+4=(x-2)2 (√)

  下面我們學習幾種常見的因式分解方法.

  3.提公因式法:

  我們看多項式:ma+mb+mc

  請學生指出它的特點:各項都含有一個公共的因式m,這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式.

  注意:公因式是各項都含有的公共的因式.

  又如:a是多項式a2-a各項的公因式.

  ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式.

  2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式.

  根據乘法的分配律,可得

  m(a+b+c)=ma+mb+mc,

  逆變形,便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

  ma+mb+mc=m(a+b+c).

  這說明,多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面,將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

  定義:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多 項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.

  顯然,由定義可知,提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式.讓學生觀察上面的公因式的特點,找出確定公因式的萬法:(1)公因式的系數應取各項系數的最大公約數:(2)字母取各項的相同字母,而且各字母的指數取次數例2 指出下列各多項式中各項的公因式:

  (1)ax+ay+a (a)

  (2)3mx-6mx2 (3mx)

  (3)4a2+10ah (2a)

  (4)x2y+xy2 (xy)

  (5)12xyz-9x2y2 (3xy)

  例3 把8a3b2-12ab3c分解因式.

  分析:分兩步:第一步,找出公因式;第二步,提公因式.

  先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2.

  解:8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc).

  說明:

  (1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取.

  (2)開始講提公因式法時,最好把公因式單獨寫出.①以顯提醒;③強調提公因式;③強調因式分解.

  例4 把3x2-6xy+x 分解因式.

  分析:先引導學生找出公因式x,強調多項式中x=x·1.

  解:3x2-6xy+x

  =x·3x-x·6y+x·1

  =x(3x-6y+1).

  說明:當多項式的某一項恰好是公因式時,這項應看成它與1的乘積,提公因式后剩下的應是1,1作為項的系數通常可以省略,但如果單獨成一項時,它在因式分解時不能漏掉,這類題常常有些學生犯下面的錯誤,3x2-6xy+x=x(3x-6y),這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因.還應提醒學生注意:提公因式后的因式的項數應與原多項式的項數一樣,這樣可以檢查是否漏項.

  課堂練習:(投影)

  把下列各式分解因式:

  (l)2πR+2πr;

  (2)

  (3)3x3+6x2;

  (4)21a2+7a;

  (5)15a2+25ab2;

  (6)x2y+xy2-xy.

  例5 把-4m3+16m2-26m分解因式.

  分析:此多項式第一項的系數是負數,與前面兩例不同,應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了,所以應先提負號轉化,然后再提公因式,提"-"號時,注意添括號法則.

  解:-4m3+16m2-26m

  =-(4m3-16m2+26m)

  =-2m(2m2-8m+13).

  說明:通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時,應先觀察第一項系數的正負,負號時,運用添括號法則提出負號,此時一定要把每一項都變號;然后再提公因式.

  課堂練習:(投影)

  把下列各式分解因式:

  (1)-15ax-20a;

  (2)-25x8+125x16;

  (3)-a3b2+a2b3;

  (4)-x3y3-x2y2-xy;

  (5)-3ma3+6ma2-12ma;

  (6)

  三、小結

  1.因式分解的意義及其概念.

  2.因式分解與整式乘法的聯系與區別.

  3.公因式及提公因式法.

  4.提公因式法因式分解中應注意的問題.

  四、作業

  教材 P.10中 1、2、3、4.

  五、板書設計

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