多項式除以單項式的教學設計
多項式除以單項式的教學設計
●教學目標
(一)教學知識點
1.多項式除以單項式的運算法則及其應用.
2.多項式除以單項式的運算算理.
(二)能力訓練要求
1.經歷探索多項式除以單項式的運算法則的過程，會進行多項式除以單項式的除法運算.
2.理解多項式除以單項式的除法算理，發展有條理的思考及其表達能力.
(三)情感與價值觀要求
1.經歷探索多項式除以單項式的運算法則的過程，獲得成功的體驗，積累豐富的數學經驗.
2.鼓勵多樣化的算法，培養學生的創新能力.
●教學重點多項式除以單項式的運算法則的探索及其應用.
●教學難點
探索多項式除以單項式的運算法則的過程.
●教學方法
自主探索法
類比整數的除法：除以一個不等于0的數等于乘以這個數的倒數，憑借已經有的數學經驗自主探索多項式除以單項式的運算法則，并能用語言有條理的思考及表達.
●教學過程
Ⅰ.創設情景，引入新課
1.任意給一個非零數，按下列程序計算下去，寫出輸出結果(如圖1－26).
圖1－26
2.計算下列各題，說說你的理由.
(1)(ad+bd)÷d= ;
(2)(a2b+3ab)÷a= ;
(3)(xy3－2xy)÷(xy)= .
［師］任意給一個非零數，體會程序(算法)的思想.
［生］我輸入m=3,按下列程序可輸出3，即程序：m→m2→m2+m→m+1→m
如m=3→9→12→4→3;
m=4→16→20→5→4;
m=－1→1→0→0→－1.
［師］為什么按上述程序輸入m的值是幾，輸出的也是幾？你能用算式說明其中的道理嗎？
［生］上面的程序可用一個算式表示，即(m2+m)÷m－1.而算式中的(m2+m)÷m是多項式除以單項式，……
Ⅱ.講授新課
1.探求多項式除以單項式的除法法則
［師］上節課我們學習了單項式除以多項式，這節課我們就來學習多項式除以單項式.
憑同學們的數學經驗，我們先來試著做第2題及(m2+m)÷m.然后同學之間交流.
［生］我是這樣考慮的，類比數的除法把除以單項式看成是乘這個單項式的倒數，即：
(1)(ad+bd)÷d=(ad+bd)×
= + (利用乘法分配律)
=a+b
(2)(a2b+3ab)÷a
=(a2b+3ab)×
=a2b× +3ab× (利用乘法分配律)
= +
=ab+3b
(3)(xy3－2xy)÷(xy)
=(xy3－2xy)×
= －
=y2－2
同樣道理，按1題給出的程序為什么輸進m是幾，輸出也是幾呢？
原因是(m2+m)÷m－1
=(m2+m)× －1
= + －1
=m.
［生］上面各題的計算，我利用乘法和除法互為逆運算得出，即我們要想計算出(1)中(ad+bd)÷d是多少，試著想一下：( )×d=ad+bd.逆用乘方分配律就可以得出：(a+b)×d=ad+bd,所以(ad+bd)÷d=a+b;
同理，(2)題，由于(ab+3b)×a=a2b+3ab,所以(a2b+3ab)÷a=ab+3b;
(3)題，由于(y2－2)×xy=xy3－2xy.所以(xy3－2xy)÷xy=y2－2.
［師生共析］從以上兩個同學的分析，不難得出：
(1)(ad+bd)÷d=a+b=ad÷d+bd÷d;
(2)(a2b+3ab)÷a=ab+3b=a2b÷a+3ab÷a;
(3)(xy3－2xy)÷(xy)=y2－2=xy3÷(xy)－2xy÷(xy).
由此，你可以得出什么樣的結論？
(出示投影片§1.9.2 B)
議一議：如何進行多項式除以單項式的運算？
［生］多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.
［生］其實多項式除以單項式的除法運算可以轉化為單項式除以單項式的運算，只要注意每項前面的符號即可.
2.應用升華
［例3］計算：
(1)(6ab+8b)÷(2b);
(2)(27a3－15a2+6a)÷(3a);
(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy);
(4)(3x2y－xy2+ xy)÷(－ xy)
解：(1)(6ab+8b)÷(2b)
=(6ab)÷(2b)+(8b)÷(2b)
=3a+4;
(2)(27a3－15a2+6a)÷(3a)
=(27a3)÷(3a)－(15a2)÷(3a)+(6a)÷(3a)
=9a2－15a+2;
(3)(9x2y－6xy2)÷(3xy)
=(9x2y)÷(3xy)－(6xy2)÷(3xy)
=3x－2y;
(4)(3x2y－xy2+ xy)÷(－ xy)
=(3x2y)÷(－ xy)－(xy2)÷(－ ?xy)+(xy)÷(－ xy)
=－6x+2y－1
［例4］計算
(1)(28a3－14a2+7a)÷(7a);
(2)(36x4y3－24x3y2+3x2y2)÷(－6x2y);
(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷2x.
分析：1.多項式除以單項式，被除式有幾項，商仍有幾項，不可丟項，其中(1)容易丟掉最后一項；2.可以利用乘除是互逆運算，檢驗計算是否正確；3.每一步運算都要求學生說出變形的依據；4.(4)題要分清運算順序，把計算結果寫完整.
解：(1)(28a3－14a2+7a)÷(7a)
=(28a3)÷(7a)－(14a2)÷(7a)+(7a)÷(7a)
=4a2－2a+1
(2)(36x4y3－24x3y2+3x2y2)÷(－6x2y)
=(36x4y3)÷(－6x2y)－(24x3y2)÷(－6x2y)+(3x2y2)÷(－6x2y)
=－6x2y2+4xy－ y
(3)［(2x+y)2－y(y+4x)－8x］÷(2x)
=［4x2+4xy+y2－y2－4xy－8x］÷(2x)
=［4x2－8x］÷(2x)
=(4x2)÷(2x)－(8x)÷(2x)
=2x－4
Ⅲ.隨堂練習
1.(課本P42)計算
(1)(3xy+y)÷y;
(2)(ma+mb+mc)÷m;
(3)(6c2d－c3d3)÷(－2c2d);
(4)(4x2y+3xy2)÷(7xy).
解：(1)(3xy+y)÷y
=3xy÷y+y÷y
=3x+1
(2)(ma+mb+mc)÷m
=ma÷m+mb÷m+mc÷m
=a+b+c
(3)(6c2d－c3d3)÷(－2c2d)
=(6c2d)÷(－2c2d)－(c3d3)÷(－2c2d)
=－3+ cd2
(4)(4x2y+3xy2)÷(7xy)
=(4x2y)÷(7xy)+(3xy2)÷(7xy)
= x+ y
2.補充練習(出示投影片§1.9.2 D)
(1)(3x2－x)÷x;
(2)(24m3n－16m2n2+mn3)÷(－8m);
(3)［(x+1)(x+2)－2］÷x.
(由學生板演，師生一同訂正錯誤)
解：(1)(3x2－x)÷x=(3x2)÷x－x÷x
=3x－1
(2)(24m3n－16m2n2+mn3)÷(－8m)
=(24m3n)÷(－8m)－16m2n2÷(－8m)+mn3÷(－8m)
=－3m2n+2mn2－ n3.
(3)［(x+1)(x+2)－2］÷x
=［x2+2x+x+2－2］÷x
=［x2+3x］÷x=x+3
Ⅳ.課時小結
［師］本節課我們學習了多項式除以單項式的運算法則，你有何感想？
［生］多項式除以單項式實際上把除法轉化為乘法及乘法分配律的應用.
［師］多項式除以單項式實際是轉化為單項式除以單項式進行計算的.
［生］我認為計算完，可以檢驗，防止丟項或其他符號錯誤.
Ⅴ.課后作業
1.課本P43、習題1.16，第1、2題.
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