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復數復習教案

時間:2024-10-25 18:12:12

復數復習教案

復數復習教案

復數復習教案

  1.理解復數的基本概念、復數相等的充要條件.

  2.了解復數的代數表示法及其幾何意義.

  3.會進行復數代數形式的四則運算.了解復數的代數形式的加、減運算及其運算的幾何意義.

  4.了解從自然數系到復數系的關系及擴充的基本思想,體會理性思維在數系擴充中的作用. 本章重點:1.復數的有關概念;2.復數代數形式的四則運算.

  本章難點:運用復數的有關概念解題. 近幾年高考對復數的考查無論是試題的難度,還是試題在試卷中所占 比例都是呈下降趨勢,常以選擇題、填空題形式出現,多為容易題.在復習過程中,應將復數的概念及運算放在首位.

  知識網絡

  15.1 復數的概念及其運算

  典例精析

  題型一 復數的概念

  【例1】 (1)如果復數(m2+i)(1+mi)是實數,則實數m= ;

  (2)在復平面內,復數1+ii對應的點位于第 象限;

  (3)復數z=3i+1的共軛復數為z= .

  【解 析】 (1)(m2+i)(1+mi)=m2-m+(1+m3)i是實數1+m3=0m=-1.

  (2)因為1+ii=i(1+i)i2=1-i,所以在復平面內對 應的點為(1,-1),位于第四象限.

  (3)因為z=1+3i,所以z=1-3i.

  【點撥】 運算此類 題目需注意復數的代數形式z=a+bi(a,bR),并注意復數分為實數、虛數、純虛數,復數的幾何意義,共軛復數等概念.

  【變式訓練1】(1)如果z=1-ai1+ai為純虛數,則實數a等于()

  A.0 B.-1 C.1 D.-1或1

  (2)在復平面內,復數z=1-ii(i是虛數單位)對應的點位于()

  A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

  【解析】(1)設z=xi,x0,則

  xi=1-ai1+ai1+ax-(a+x)i=0 或 故選D.

  (2)z=1-ii=(1-i)(-i)=-1-i,該復數對應的點位于第三象限.故選C.

  題型二 復數的相等

  【例2】(1)已知復數z0=3+2i,復數z滿足zz0=3z+z0,則復數z= ;

  (2)已知m1+i=1-ni, 其中m,n是實數,i是虛數單位,則m+ni= ;

  (3)已知關于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實根,則這個實根為 ,實數k的值為.

  【解析】(1)設z=x+yi(x,yR),又z0=3+2i,

  代入zz0=3z+z0得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i,

  整理得 (2y+3)+(2-2x)i=0,

  則由復數相等的條件得

  解得 所以z=1- .

  (2)由已知得m=(1-ni)(1+i)=(1+n)+(1-n)i.

  則由復數相等的條件得

  所以m+ni=2+i.

  (3)設x=x0是方程的實根, 代入方程并整理得

  由復數相等的充要條件得

  解得 或

  所以方程的實根為x=2或x= -2,

  相應的k值為k=-22或k=22.

  【點撥】復數相等須先化為z=a+bi(a,bR)的形式,再由相等 得實部與實部相等、虛部與虛部相等.

  【變式訓練2】(1)設i是虛數單位,若1+2i1+i=a+bi(a,bR),則a+b的值是()

  A.-12 B.-2 C.2 D.12

  (2)若(a-2i)i=b+i,其中a,bR,i為虛數單位,則a+b=.

  【解析】(1)C.1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)= 3+i2,于是a+b=32+12=2.

  (2)3.2+ai=b+ia=1,b= 2.

  題 型三 復數的運算

  【例3】 (1)若復數z=-12+32i, 則1+z+z2+z3++z2 008= ;

  (2)設復數z滿足z+|z|=2+i,那么z= .

  【解析】 (1)由已知得z2=-12-32i,z3=1,z4=-12+32i =z.

  所以zn具有周期性,在一個周期內的和為0,且周期為3.

  所以1+z+z2+z3++z2 008

  =1+z+(z2+z3+z4)++(z2 006+z2 007+z2 008)

  =1+z=12+32i.

  (2)設z=x+yi(x,yR),則x+yi+x2+y2=2+i,

  所以 解得 所以z= +i.

  【點撥】 解(1)時要注意x3=1(x-1)(x2+x+1)=0的三個根為1,,-,

  其中=-12+32i,-=-12-32i, 則

  1++2=0, 1+-+-2=0 ,3=1,-3=1,-=1,2=-,-2=.

  解(2)時要注意|z|R,所以須令z=x +yi.

  【變式訓練3】(1)復數11+i+i2等于()

  A.1+i2 B.1-i2 C.-12 D.12

  (2)(2010江西鷹潭)已知復數z=23-i1+23i+(21-i)2 010,則復數z等于()

  A.0 B.2 C.-2i D.2i

  【解析】(1 )D.計算容易有11+i+i2=12.

  (2)A.

  總結提高

  復數的代數運算是重點,是每年必考內容之一,復數代數形式的運算:①加減法按合并同類項法則進行;②乘法展開、除法須分母實數化.因此,一些復數問題只需設z=a+bi(a,bR)代入原式后,就 可以將復數問題化歸為實數問題來解決.

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