一、基本知識
一、數(shù)與代數(shù)A、數(shù)與式：1、有理數(shù)有理數(shù)：①整數(shù)→正整數(shù)/0/負(fù)整數(shù)②分?jǐn)?shù)→正分?jǐn)?shù)/負(fù)分?jǐn)?shù)
數(shù)軸：①畫一條水平直線,在直線上取一點(diǎn)表示0(原點(diǎn)),選取某一長度作為單位長度,規(guī)定直線上向右的方向?yàn)檎较?就得到數(shù)軸.②任何一個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示.③如果兩個數(shù)只有符號不同,那么我們稱其中一個數(shù)為另外一個數(shù)的相反數(shù),也稱這兩個數(shù)互為相反數(shù).在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個點(diǎn),位于原點(diǎn)的兩側(cè),并且與原點(diǎn)距離相等.④數(shù)軸上兩個點(diǎn)表示的數(shù),右邊的總比左邊的大.正數(shù)大于0,負(fù)數(shù)小于0,正數(shù)大于負(fù)數(shù).
絕對值：①在數(shù)軸上,一個數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)的絕對值.②正數(shù)的絕對值是他的本身、負(fù)數(shù)的絕對值是他的相反數(shù)、0的絕對值是0.兩個負(fù)數(shù)比較大小,絕對值大的反而小.
有理數(shù)的運(yùn)算：加法：①同號相加,取相同的符號,把絕對值相加.②異號相加,絕對值相等時和為0;絕對值不等時,取絕對值較大的數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值.③一個數(shù)與0相加不變.
減法：減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù).
乘法：①兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負(fù),絕對值相乘.②任何數(shù)與0相乘得0.③乘積為1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù).
除法：①除以一個數(shù)等于乘以一個數(shù)的倒數(shù).②0不能作除數(shù).
乘方：求N個相同因數(shù)A的積的運(yùn)算叫做乘方,乘方的結(jié)果叫冪,A叫底數(shù),N叫次數(shù).
混合順序：先算乘法,再算乘除,最后算加減,有括號要先算括號里的.
2、實(shí)數(shù) 無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù)
平方根：①如果一個正數(shù)X的平方等于A,那么這個正數(shù)X就叫做A的算術(shù)平方根.②如果一個數(shù)X的平方等于A,那么這個數(shù)X就叫做A的平方根.③一個正數(shù)有2個平方根/0的平方根為0/負(fù)數(shù)沒有平方根.④求一個數(shù)A的平方根運(yùn)算,叫做開平方,其中A叫做被開方數(shù).
立方根：①如果一個數(shù)X的立方等于A,那么這個數(shù)X就叫做A的立方根.②正數(shù)的立方根是正數(shù)、0的立方根是0、負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).③求一個數(shù)A的立方根的運(yùn)算叫開立方,其中A叫做被開方數(shù).
實(shí)數(shù)：①實(shí)數(shù)分有理數(shù)和無理數(shù).②在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),相反數(shù),倒數(shù),絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù),倒數(shù),絕對值的意義完全一樣.③每一個實(shí)數(shù)都可以在數(shù)軸上的一個點(diǎn)來表示.
3、代數(shù)式
代數(shù)式：單獨(dú)一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式.
合并同類項(xiàng)：①所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng),叫做同類項(xiàng).②把同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)就叫做合并同類項(xiàng).③在合并同類項(xiàng)時,我們把同類項(xiàng)的系數(shù)相加,字母和字母的指數(shù)不變.
4、整式與分式
整式：①數(shù)與字母的乘積的代數(shù)式叫單項(xiàng)式,幾個單項(xiàng)式的和叫多項(xiàng)式,單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.②一個單項(xiàng)式中,所有字母的指數(shù)和叫做這個單項(xiàng)式的次數(shù).③一個多項(xiàng)式中,次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個多項(xiàng)式的次數(shù).
整式運(yùn)算：加減運(yùn)算時,如果遇到括號先去括號,再合并同類項(xiàng).
冪的運(yùn)算：AM+AN=A(M+N)
(AM)N=AMN
(A/B)N=AN/BN 除法一樣.
整式的乘法：①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘,把他們的系數(shù),相同字母的冪分別相乘,其余字母連同他的指數(shù)不變,作為積的因式.②單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,就是根據(jù)分配律用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.③多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,先用一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另外一個多項(xiàng)式的每一項(xiàng),再把所得的積相加.
公式兩條：平方差公式/完全平方公式
整式的除法：①單項(xiàng)式相除,把系數(shù),同底數(shù)冪分別相除后,作為商的因式;對于只在被除式里含有的字母,則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式.②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式,再把所得的商相加.
分解因式：把一個多項(xiàng)式化成幾個整式的積的形式,這種變化叫做把這個多項(xiàng)式分解因式.
方法：提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法、十字相乘法.
分式：①整式A除以整式B,如果除式B中含有分母,那么這個就是分式,對于任何一個分式,分母不為0.②分式的分子與分母同乘以或除以同一個不等于0的整式,分式的值不變.
分式的運(yùn)算：
乘法：把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.
除法：除以一個分式等于乘以這個分式的倒數(shù).
加減法：①同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減.②異分母的分式先通分,化為同分母的分式,再加減.
分式方程：①分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.②使方程的分母為0的解稱為原方程的增根.
B、方程與不等式
1、方程與方程組
一元一次方程：①在一個方程中,只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的指數(shù)是1,這樣的方程叫一元一次方程.②等式兩邊同時加上或減去或乘以或除以(不為0)一個代數(shù)式,所得結(jié)果仍是等式.
解一元一次方程的步驟：去分母,移項(xiàng),合并同類項(xiàng),未知數(shù)系數(shù)化為1.
二元一次方程：含有兩個未知數(shù),并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程.
二元一次方程組：兩個二元一次方程組成的方程組叫做二元一次方程組.
適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值,叫做這個二元一次方程的一個解.
二元一次方程組中各個方程的公共解,叫做這個二元一次方程的解.
解二元一次方程組的方法：代入消元法/加減消元法.
一元二次方程：只有一個未知數(shù),并且未知數(shù)的項(xiàng)的最高系數(shù)為2的方程
1)一元二次方程的二次函數(shù)的關(guān)系
大家已經(jīng)學(xué)過二次函數(shù)(即拋物線)了,對他也有很深的了解,好像解法,在圖象中表示等等,其實(shí)一元二次方程也可以用二次函數(shù)來表示,其實(shí)一元二次方程也是二次函數(shù)的一個特殊情況,就是當(dāng)Y的0的時候就構(gòu)成了一元二次方程了.那如果在平面直角坐標(biāo)系中表示出來,一元二次方程就是二次函數(shù)中,圖象與X軸的交點(diǎn).也就是該方程的解了
2)一元二次方程的解法
大家知道,二次函數(shù)有頂點(diǎn)式(-b/2a,4ac-b2/4a),這大家要記住,很重要,因?yàn)樵谏厦嬉呀?jīng)說過了,一元二次方程也是二次函數(shù)的一部分,所以他也有自己的一個解法,利用他可以求出所有的一元一次方程的解
(1)配方法
利用配方,使方程變?yōu)橥耆椒焦?在用直接開平方法去求出解
(2)分解因式法
提取公因式,套用公式法,和十字相乘法.在解一元二次方程的時候也一樣,利用這點(diǎn),把方程化為幾個乘積的形式去解
(3)公式法
這方法也可以是在解一元二次方程的萬能方法了,方程的根X1={-b+√[b2-4ac)]}/2a,X2={-b-√[b2-4ac)]}/2a
3)解一元二次方程的步驟：
(1)配方法的步驟：
先把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,再把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1,再同時加上1次項(xiàng)的系數(shù)的一半的平方,最后配成完全平方公式
(2)分解因式法的步驟：
把方程右邊化為0,然后看看是否能用提取公因式,公式法(這里指的是分解因式中的公式法)或十字相乘,如果可以,就可以化為乘積的形式
(3)公式法
就把一元二次方程的各系數(shù)分別代入,這里二次項(xiàng)的系數(shù)為a,一次項(xiàng)的系數(shù)為b,常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為c
4)韋達(dá)定理
利用韋達(dá)定理去了解,韋達(dá)定理就是在一元二次方程中,二根之和=-b/a,二根之積=c/a
也可以表示為x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.利用韋達(dá)定理,可以求出一元二次方程中的各系數(shù),在題目中很常用
5)一元一次方程根的情況
利用根的判別式去了解,根的判別式可在書面上可以寫為“△”,讀作“diao ta”,而△=b2-4ac,這里可以分為3種情況：
I當(dāng)△>0時,一元二次方程有2個不相等的實(shí)數(shù)根;
II當(dāng)△=0時,一元二次方程有2個相同的實(shí)數(shù)根;
III當(dāng)△<0時,一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根(在這里,學(xué)到高中就會知道,這里有2個虛數(shù)根)
2、不等式與不等式組
不等式：①用符號〉,=,〈號連接的式子叫不等式.②不等式的兩邊都加上或減去同一個整式,不等號的方向不變.③不等式的兩邊都乘以或者除以一個正數(shù),不等號方向不變.④不等式的兩邊都乘以或除以同一個負(fù)數(shù),不等號方向相反.
不等式的解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.②一個含有未知數(shù)的不等式的所有解,組成這個不等式的解集.③求不等式解集的過程叫做解不等式.
一元一次不等式：左右兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的不等式叫一元一次不等式.
一元一次不等式組：①關(guān)于同一個未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起,就組成了一元一次不等式組.②一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分,叫做這個一元一次不等式組的解集.③求不等式組解集的過程,叫做解不等式組.
一元一次不等式的符號方向：
在一元一次不等式中,不像等式那樣,等號是不變的,他是隨著你加或乘的運(yùn)算改變.
在不等式中,如果加上同一個數(shù)(或加上一個正數(shù)),不等式符號不改向;例如：A>B,A+C>B+C
在不等式中,如果減去同一個數(shù)(或加上一個負(fù)數(shù)),不等式符號不改向;例如：A>B,A-C>B-C
在不等式中,如果乘以同一個正數(shù),不等號不改向;例如：A>B,A*C>B*C(C>0)
在不等式中,如果乘以同一個負(fù)數(shù),不等號改向;例如：A>B,A*C如果不等式乘以0,那么不等號改為等號
所以在題目中,要求出乘以的數(shù),那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式,如果出現(xiàn)了,那么不等式乘以的數(shù)就不等為0,否則不等式不成立;
3、函數(shù)
變量：因變量,自變量.
在用圖象表示變量之間的關(guān)系時,通常用水平方向的數(shù)軸上的點(diǎn)自變量,用豎直方向的數(shù)軸上的點(diǎn)表示因變量.
一次函數(shù)：①若兩個變量X,Y間的關(guān)系式可以表示成Y=KX+B(B為常數(shù),K不等于0)的形式,則稱Y是X的一次函數(shù).②當(dāng)B=0時,稱Y是X的正比例函數(shù).
一次函數(shù)的圖象：①把一個函數(shù)的自變量X與對應(yīng)的因變量Y的值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo),在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出它的對應(yīng)點(diǎn),所有這些點(diǎn)組成的圖形叫做該函數(shù)的圖象.②正比例函數(shù)Y=KX的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線.③在一次函數(shù)中,當(dāng)K〈0,B〈O,則經(jīng)234象限;當(dāng)K〈0,B〉0時,則經(jīng)124象限;當(dāng)K〉0,B〈0時,則經(jīng)134象限;當(dāng)K〉0,B〉0時,則經(jīng)123象限.④當(dāng)K〉0時,Y的值隨X值的增大而增大,當(dāng)X〈0時,Y的值隨X值的增大而減少.
二空間與圖形
A、圖形的認(rèn)識
1、點(diǎn),線,面
點(diǎn),線,面：①圖形是由點(diǎn),線,面構(gòu)成的.②面與面相交得線,線與線相交得點(diǎn).③點(diǎn)動成線,線動成面,面動成體.
展開與折疊：①在棱柱中,任何相鄰的兩個面的交線叫做棱,側(cè)棱是相鄰兩個側(cè)面的交線,棱柱的所有側(cè)棱長相等,棱柱的上下底面的形狀相同,側(cè)面的形狀都是長方體.②N棱柱就是底面圖形有N條邊的棱柱.
截一個幾何體：用一個平面去截一個圖形,截出的面叫做截面.
視圖：主視圖,左視圖,俯視圖.
多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形.
弧、扇形：①由一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫扇形.②圓可以分割成若干個扇形.
2、角
線：①線段有兩個端點(diǎn).②將線段向一個方向無限延長就形成了射線.射線只有一個端點(diǎn).③將線段的兩端無限延長就形成了直線.直線沒有端點(diǎn).④經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線.
比較長短：①兩點(diǎn)之間的所有連線中,線段最短.②兩點(diǎn)之間線段的長度,叫做這兩點(diǎn)之間的距離.
角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成,兩條射線的公共端點(diǎn)是這個角的頂點(diǎn).②一度的1/60是一分,一分的1/60是一秒.
角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的.②一條射線繞著他的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)終邊和始邊成一條直線時,所成的角叫做平角.始邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn),當(dāng)他又和始邊重合時,所成的角叫做周角.③從一個角的頂點(diǎn)引出的一條射線,把這個角分成兩個相等的角,這條射線叫做這個角的平分線.
平行：①同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線.②經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行.③如果兩條直線都與第3條直線平行,那么這兩條直線互相平行.
垂直：①如果兩條直線相交成直角,那么這兩條直線互相垂直.②互相垂直的兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足.③平面內(nèi),過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
垂直平分線：垂直和平分一條線段的直線叫垂直平分線.
垂直平分線垂直平分的一定是線段,不能是射線或直線,這根據(jù)射線和直線可以無限延長有關(guān),再看后面的,垂直平分線是一條直線,所以在畫垂直平分線的時候,確定了2點(diǎn)后(關(guān)于畫法,后面會講)一定要把線段穿出2點(diǎn).
垂直平分線定理：
性質(zhì)定理：在垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端點(diǎn)的距離相等;
判定定理：到線段2端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這線段的垂直平分線上
角平分線：把一個角平分的射線叫該角的角平分線.
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