高等數(shù)學(xué)極限求法總結(jié)
極限的判斷定義是:單調(diào)遞增有上界則有極限,單調(diào)遞減有下界則有極限。下面是小編整理的高等數(shù)學(xué)極限求法總結(jié)，希望對你有幫助！
函數(shù)極限可以分成而運用ε-δ定義更多的見諸于已知的極極限值的證明題中。掌握這類證明對初學(xué)者深刻理解運用極限定義大有裨益。 限為例，f(x) 在點以A為極限的定義是： 對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)，使得當(dāng)x滿足不等式時，對應(yīng)的f(x)函數(shù)值都滿足不等式：，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng) x→x時的極限。
1.利用極限的四則運算法則 ：
極限四則運算法則的條件是充分而非必要的 ，因此，利用極限四則運算法則求函數(shù)極限時，必須對所給的函數(shù)逐一進行驗證它是否滿足極限四則運算法則條件 ，滿足條件者。方能利用極限四則運算法則進行求之。不滿足條件者 ，不能直接利用極限四則運算法則求之。但是，井非不滿足極限四則運算法則條件的函數(shù)就沒有極限 ，而是需將函數(shù)進行恒等變形 ，使其符合條件后 ，再利用極限四則運算法則求之。而對函數(shù)進行恒等變形時，通常運用一些技巧如拆項、分子分母同時約去零因子、分子分母有理化、通分、變量替換等等。 例 1
求 lim( x 2 3x + 5).
x→ 2
解： lim( x 2 3x + 5) = lim x 2 lim 3x + lim 5
= (lim x) 2 3 lim x + lim 5
= 2 2 3 2 + 5 = 3.
x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2
2.利用洛必達法則
洛必達(L Hopital)法則是在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法.簡單講就是，在求一個含分式的函數(shù)的極限時，分別對分子和分母求導(dǎo)，在求極限，和原函數(shù)的極限是一樣的。一般用在求導(dǎo)后為零比零或無窮比無窮的類型。
利用洛必達求極限應(yīng)注意以下幾點：
設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：
（1）x→a時,lim f(x)=0,lim F(x)=0;
（2）在點a的某去心鄰域內(nèi)f(x)與F(x)都可導(dǎo),且F(x)的導(dǎo)數(shù)不等于0;
（3）x→a時,lim(f(x)/F(x))存在或為無窮大
則 x→a時,lim(f(x)/F(x))=lim(f(x)/F(x))
例1：
1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2
xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2)
原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x
對分子分母同時求導(dǎo)（洛必達法則）
(tgx) = 1 / (cosx)^2
(x) = 1
原式 = lim 1/(cosx)^2
當(dāng) x --> 0 時,cosx ---> 1
原式 = 1
3.利用兩個重要極限：
應(yīng)用第一重要極限時 ，必須同時滿足兩個條件：
① 分子、分母為無窮小 ，即極限為 0 ；
② 分子上取正弦 的角必須與分母一樣。
應(yīng)用第二重要極限時 ，必須同時滿足四個條件：
①帶有“1”；
② 中間是“+ ”號 ；
③“+ ”號后面跟無窮小量 ；
④指數(shù)和“+ ”號后面的數(shù)要互為倒數(shù)。
例1：
求lim(arcsinx/x),x趨于0
解A.令x=sint,則當(dāng)t 趨于0時,x趨于0,且arcsinx=t
所以 B.lim(arcsinx/x),x趨于0.=lim(t/sint),t趨于0=1
4.利用等價無窮小代換定理
利用此定理求函數(shù)的極限時 ，一般只在以乘除形式出現(xiàn)時使用。若以和或差形式出現(xiàn)時，不要輕易代換 ，因為經(jīng)此代換后 ，往往會改變無窮小之比的階數(shù)。要用好等價無窮小代換定理 ，必須熟記一些常 用的等價無窮小 。
例1
lim√(1-cosx)/tanx
=lim-√2sin(x/2)/tanx
=lim-√2/2x/x
=-√2/2
lim√(1-cosx)/tanx
=lim√2sin(x/2)/tanx
=lim√2/2x/x
=√2/2
因為lim√(1-cosx)/tanx≠lim=√(1-cosx)/tanx
所以極限不存在
5.柯西收斂準則
數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是對于任意給定的正數(shù)ε存在著這樣的正整數(shù)N使得當(dāng)m>N,n>N時就有|Xn-Xm|<ε這個準則的幾何意義表示，數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中足夠靠后的任意兩項都無限接近。
例1
證明：xn=1-1/2+1/3-1/4+......+ [(-1)^(n+1)]/n 有極限
證：
對于任意的m,n屬于正整數(shù)，m>n
|xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
當(dāng)m-n為奇數(shù)時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-1)m
=(1/n-1/m)→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
當(dāng)m-n為偶數(shù)時 |xn-xm|=| [(-1)^(n+2)]/(n+1)+......+[(-1)^(m+1)]/m |
<1/n(n+1)+1/(n+1)(n+2)+......+1/(m-2)(m-1)-1/m
=(1/n-1/(m-1)-1/m）→0
由柯西收斂原理得{xn}收斂
綜上{xn}收斂，即{xn}存在極限
6.利用函數(shù)連續(xù)性：
（就是直接將趨向值帶出函數(shù)自變量中，此時要要求分母不能為0）
描述函數(shù)的一種連綿不斷變化的狀態(tài)，即自變量的微小變動只會引起函數(shù)值的微小變動的情況。確切說來，函數(shù)在某點連續(xù)是指：當(dāng)自變量趨于該點時，函數(shù)值的極限與函數(shù)在該點所取的值一致。
例1
設(shè) f（x）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，試求：
當(dāng)a，b為何值時，f（x）在x=0處的極限存在？
當(dāng)a，b為何值時，f（x）在x=0處連續(xù)？
注：f（x）=xsin 1/x +a, x< 0
b+1, x=0
X^2-1, x>0
解：f(0)＝b+1
左極限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a＝a
左極限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1
f(x)在x＝0處連續(xù)，則lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)，
所以a＝-1＝b+1，
所以a＝-1，b＝-2
7.利用等價無窮小量代換求極限
tanxsinx例 8 求極限lim． x0sinx3
解 由于tanxsinxsinx1cosx，而 cosx
x2
sinx~xx0，1cosx~x0，sinx3~x3x02
故有
x2
xtanxsinx11． limlimx0x0cosxsinx3x32
注 在利用等價無窮小量代換求極限時，應(yīng)注意只有對所求極限式中相乘或相除的`因式才能用等價無窮小量替代，而對極限式中的相加或相減部分則不能隨意替代，如在例題中，若因有tanx~xx0，sinx~xx0，而推出
limtanxsinxxxlim0， x0x0sinx3sinx3
則得到的式錯誤的結(jié)果．
附 常見等價無窮小量
x2
sinx~xx0，tanx~xx0，1cosx~x0， 2
arcsinx~xx0，arctanx~xx0，ex1~xx0，
ln1x~xx0，1x1~xx0．
8 利用洛比達法則求極限
0洛比達法則一般被用來求型不定式極限及型不定式極限．用此種方法求極限要求在0
點x0的空心領(lǐng)域U
例1
求極限lim0x0內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且作分母的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不為零． 1cosx． xtan2x
xx解 由于lim1cosxlimtan2x0，且有
1cosxsinx，tan2x2tanxsec2x0，
由洛比達法則可得
lim1cosx xtan2x
xlisinx 22tanxsexc
cos3xlimx21． 2
9.利用定義求極限
1．fxlimxx0fxfx0， xx0
fx0hfx0． h2．fx0limh0
其中h是無窮小，可以是xxxx0，x的函數(shù)或其他表達式．
例1
求極限x0p0,q0．
0 分析 此題是x0時型未定式，在沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念之前，常用的方法是消去分母0
中的零因子，針對本題的特征，對分母分子同時進行有理化便可求解．但在學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)的定義式之后，我們也可直接運用導(dǎo)數(shù)的定義式來求解．
解 令f
xg
x 則
x0fxf0
lim x0gxg0x0
f0g0p． q
10. 利用歸結(jié)原則求極限
歸結(jié)原則設(shè)f在U0x0;內(nèi)有定義，limfx存在的充要條件是：對任何含于xx0
U0x0;且以x0為極限的數(shù)列xn，極限limfxn都存在且相等． n
例1 11求極限lim12． nnn
x1分析 利用復(fù)合函數(shù)求極限，令ux12x
x1解 令ux12x
nnnx2x1，vxx1求解． xx2x1，vxx1則有 xlimuxe；limvx1，
由冪指函數(shù)求極限公式得
vx11lim12limuxe， xxxxx
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