數(shù)列求和的解題方法總結(jié)

關(guān)于數(shù)列求和的解題方法總結(jié)

　　總結(jié)就是把一個時間段取得的成績、存在的問題及得到的經(jīng)驗和教訓(xùn)進行一次全面系統(tǒng)的總結(jié)的書面材料，它可以促使我們思考，讓我們來為自己寫一份總結(jié)吧。總結(jié)一般是怎么寫的呢？下面是小編整理的數(shù)列求和的解題方法總結(jié)，僅供參考，希望能夠幫助到大家。

　　數(shù)列求和的教學(xué)設(shè)計

　　一教學(xué)知識點：

　　數(shù)列通項與數(shù)列求和

　　二.教學(xué)要求：

　　掌握數(shù)列的通項公式的求法與數(shù)列前n項和的求法。能通過轉(zhuǎn)化的思想把非等差數(shù)列與非等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為兩類基本數(shù)列來研究其通項與前n項的和。

　　三.教學(xué)重點、難點：

　　重點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和，及其通項公式的求法。

　　難點：轉(zhuǎn)化的思想以及轉(zhuǎn)化的途徑。

　　四.基本內(nèi)容及基本方法

　　1、求數(shù)列通項公式的常用方法有：觀察法、公式法、待定系數(shù)法、疊加法、疊乘法、Sn法、輔助數(shù)列法、歸納猜想法等;

　　(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出它的一個通項公式，關(guān)鍵在于找出這些項與項數(shù)之間的關(guān)系，常用的方法有觀察法、通項法，轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列法等.

　　(2)由Sn求an時，用公式an=Sn-Sn-1要注意n≥2這個條件，a1應(yīng)由a1=S1來確定，最后看二者能否統(tǒng)一.

　　(3)由遞推公式求通項公式的常見形式有：an+1-an=f(n)，

　　=f(n)，an+1=pan+q，分別用累加法、累乘法、迭代法(或換元法).

　　2、數(shù)列的前n項和

　　(1)數(shù)列求和的常用方法有：公式法、分組求和法、錯位相減法、裂項相消法、倒序求和法等。

　　求數(shù)列的前n項和，一般有下列幾種方法：

　　(2)等差數(shù)列的前n項和公式：

　　Sn==.

　　(3)等比數(shù)列的前n項和公式：

　　①當(dāng)q=1時，Sn=.

　　②當(dāng)q≠1時，Sn=.

　　(4)倒序相加法：將一個數(shù)列倒過來排列與原數(shù)列相加.主要用于倒序相加后對應(yīng)項之和有公因子可提的數(shù)列求和.

　　(5)錯位相減法：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘構(gòu)成的數(shù)列求和.

　　(6)裂項求和法：把一個數(shù)列分成幾個可直接求和的數(shù)列.

　　方法歸納：①求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”。其一是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的求和，或者轉(zhuǎn)化為求自然數(shù)的方冪和，從而可用基本求和公式;其二是消項，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項的和。

　　②對通項中含有(-1)n的數(shù)列，求前n項和時，應(yīng)注意討論n的奇偶性。

　　③倒序相加和錯位相減法是課本中分別推導(dǎo)等差、等比數(shù)列前n項和用到的方法，在復(fù)習(xí)中應(yīng)給予重視。

　　【典型例題】

　　例1.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2-9n.

　　(1)求證：{an}為等差數(shù)列;

　　(2)求Sn的最小值及相應(yīng)的n;

　　(3)記數(shù)列{

　　}的前n項和為Tn，求Tn的表達式。

　　解：(1)n=1時，a1=S1=-8

　　n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-10

　　∴an=2n-10an+1-an=2

　　∴{an}是等差數(shù)列.

　　(2)Sn=n2-9n=(n-

　　)2-

　　∴當(dāng)n=4或n=5時，Sn有最小值-20.

　　(3)an=2n-10∴|an|=|2n-10|

　　令an≥0

　　n≥5∴當(dāng)n≤4時，|an|=10-2n

　　Tn=

　　，當(dāng)n≥5時，

　　Tn=-a1-a2-a3-a4+a5+a6+…+an

　　=(a1+a2+…+an)-(a1+a2+a3+a4)=Sn-2S4

　　=n2-9n-2×(-20)=n2-9n+40

　　∴Tn=

　　《數(shù)列求和》教學(xué)設(shè)計

　　等比數(shù)列這個名詞是我們在數(shù)學(xué)中經(jīng)常會用到的一個名詞，我們在初中的時候就開始學(xué)習(xí)等比數(shù)列，但是在升入高中以后可能還是對這一個難題束手無策，在這里，小編就要教教大家如何用等比數(shù)列求和，攻克這一個數(shù)學(xué)難題!

　　一.等比數(shù)列求和的教學(xué)基礎(chǔ)

　　1.知識結(jié)構(gòu)

　　先用錯位相減法推出等比數(shù)列前項和公式，而后運用公式解決一些問題，并將通項公式與前項和公式結(jié)合解決問題，還要用錯位相減法求一些數(shù)列的前n項.

　　2.重點、難點分析

　　教學(xué)重點、難點是等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.公式的推導(dǎo)中蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想、方法(如分類討論思想，錯位相減法等)，這些思想方法在其他數(shù)列求和問題中多有涉及，所以對等比數(shù)列前n項和公式的要求，不單是要記住公式，更重要的是掌握推導(dǎo)公式的方法.等比數(shù)列前n項和公式是分情況討論的，在運用中要特別注意q=1和q=1兩種情況.

　　3.學(xué)習(xí)建議

　　①本節(jié)內(nèi)容分為兩課時，一節(jié)為等比數(shù)列前項和公式的推導(dǎo)與應(yīng)用，一節(jié)為通項公式與前項和公式的綜合運用，另外應(yīng)補充一節(jié)數(shù)列求和問題.

　　②等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)是重點內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生觀察實例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，歸納總結(jié)，證明結(jié)論

　　③等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)的其他方法可以給出，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣

　　④編擬例題時要全面，不要忽略的情況.

　　⑤通項公式與前n項和公式的綜合運用涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量，但解指數(shù)方程難度大

　　⑥補充可以化為等差數(shù)列、等比數(shù)列的數(shù)列求和問題.

　　二、等比數(shù)列求和公式

　　一個數(shù)列，如果任意的后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)，且數(shù)列中任何項都不為0，

　　即：A(n+1)/A(n)=q(n∈N*)，這個數(shù)列叫等比數(shù)列，其中常數(shù)q叫作公比。

　　如：2、4、8、16......2^10就是一個等比數(shù)列，其公比為2，可寫為an=2×2^(n-1)通項公式an=a1×q^(n-1);

　　1.通項公式與推廣式

　　推廣式：an=am×q^(n-m)[^的意思為q的(n-m)次方];

　　2.求和公式

　　Sn=n×a1(q=1)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=(a1-an*q)/(1-q)(q≠1)S∞=a1/(1-q)(n->∞)(|q|<1)(q為公比，n為項數(shù))

　　3.等比數(shù)列求和公式推導(dǎo)

　　①Sn=a1+a2+a3+...+an(公比為q)

　　②q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q=a2+a3+a4+...+a(n+1)

　　③Sn-q*Sn=a1-a(n+1)

　　④(1-q)Sn=a1-a1*q^n

　　⑤Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)

　　⑥Sn=(a1-an*q)/(1-q)

　　⑦Sn=a1(1-q^n)/(1-q)

　　4性質(zhì)簡介

　　①若m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，則am×an=ap×aq;

　　②在等比數(shù)列中，依次每k項之和仍成等比數(shù)列;等比數(shù)列的性質(zhì)

　　③若m、n、q∈N，且m+n=2q，則am×an=(aq)^2;

　　④若G是a、b的等比中項，則G^2=ab(G≠0);

　　⑤在等比數(shù)列中，首項a1與公比q都不為零

　　三.學(xué)習(xí)等比數(shù)列的方法

　　1知識與技能目標(biāo)

　　理解用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的過程，掌握公式的特點，并在此基礎(chǔ)上能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題.

　　2.過程與方法目標(biāo)

　　通過對公式的研究過程，提高學(xué)生的建模意識及探究問題、分析與解決問題的能力，體會公式探求過程中從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì).

　　3.情感、態(tài)度與價值目標(biāo)

　　通過學(xué)生自主對公式的探索，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，并從中獲得成功的體驗，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美、數(shù)學(xué)的嚴謹美.

　　4..教學(xué)重點、難點

　　①重點：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及公式的簡單應(yīng)用.突出重點的方法：“抓三線、突重點”，即一是知識技能線：問題情境→公式推導(dǎo)→公式運用;二是過程方法線:從特殊、歸納猜想到一般→錯位相減法→數(shù)學(xué)思想;三是能力線：觀察能力→初步解決問題能力

　　.②難點：錯位相減法的生成和等比數(shù)列前n項和公式的運用.突破難點的手段：“抓兩點，破難點”,即一抓學(xué)生情感和思維的興奮點，激發(fā)他們的興趣，鼓勵學(xué)生大膽猜想、積極探索，并及時給予肯定;二抓知識的切入點，從學(xué)生原有的認知水平和所需的知識特點入手，教師在學(xué)生主體下給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo).

　　淺析數(shù)列求和法

　　摘要：數(shù)列求和是高中數(shù)學(xué)知識中的重點和難點，它在高考中出現(xiàn)的頻率高，題型多種多樣，考查方式靈活。將數(shù)列求和的方法進行總結(jié)和歸納能夠幫助學(xué)生找到其中的解題規(guī)律，提高該類型題的成功率。

　　關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)列求和；方法；歸納

　　求數(shù)列的前n項和是數(shù)列題中的高頻考點。它的考查十分靈活，題型變化多樣，有以選擇題的方式出現(xiàn)，有的則是填空題，甚至還會以一道綜合大題的方式進行考查。本文通過用列舉典型題的方式，總結(jié)歸納了6種常見的數(shù)列求和方法，供大家參考。

　　一、倒序相加法

　　如果一個數(shù)列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，就得到一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。倒序相加法是數(shù)列求和當(dāng)中應(yīng)用最廣的一種解題方法，它的基本類型可以用公式表示為：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3…具體解法見下面的例題。

　　例：設(shè)等差數(shù)列{an},公差為d,求證：{an}的前n項和Sn=n（a1+an）/2

　　解：Sn=a1+a2+a3+…+an①

　　倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

　　①+②得：2Sn=（a1+an）+（a2+an-1）+（a3+an-2）+…+（an+a1）

　　又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1

　　∴2Sn=n（a2+an）Sn=n（a1+an）/2

　　倒序相加法的解題關(guān)鍵就是要能夠看到首項和末項之間的關(guān)系，這就需學(xué)生要有一定的敏感度，一眼就能找準(zhǔn)解題的方法，然后就是要細心地做。()因此，做數(shù)列題除了要注意總結(jié)和歸納解題方法外，大量的習(xí)題訓(xùn)練也是十分必要的。

　　二、用公式法

　　對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進行求解。等差數(shù)列的基本求和公式為：Sn=（a1+an）n/2;變形公式為Sn=na1+n（n-1）d/2（d為公差）。等比數(shù)列的求和公式為：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q為公比，n為項數(shù)）。利用公式來求數(shù)列之和是一種比較基本的題型，它的難度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做對這類型的題。

　　三、裂項相消法

　　裂項相消法是數(shù)列求和中比較難的一類題型，因為它不好看出數(shù)列之間的規(guī)律。如果裂項不對，也不能將問題解出。裂項相消法的解題原理是：將數(shù)列的一項拆成兩項或多項，使得前后項相抵消，留下有限項，從而求出數(shù)列的前n項和。

　　四、錯位相減法

　　若在數(shù)列{an·bn}中，{an}成等差數(shù)列，{bn}成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯位相減整理后即可以求出{anbn}前n項和。

　　錯位相減法其實并不難，關(guān)鍵是要細心，要能找好兩個式子之間的對應(yīng)項，如果二者相減的時候沒有找準(zhǔn)對應(yīng)項，即便思路再對，也會滿盤皆輸。因此，做任何一道數(shù)列題，都要求書寫工整，格式規(guī)范，以免造成不必要的失分。

　　五、疊加法

　　疊加法主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f（n），其中f（n）在等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個式子變成an+1-an=f（n），代入各項，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過整理，可求出an,從而求出Sn.

　　六、分組求和法

　　分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，最后將其合并的方法。記住了這一類題型的特點，就能準(zhǔn)確找到解題思路。

　　總之，數(shù)列求和以其靈活多變的出題方式和較高的錯題率成為高中數(shù)學(xué)中的難點。這類題雖然難，但也并不是無規(guī)律可循的。萬變不離其宗，教師在講課當(dāng)中應(yīng)該幫助學(xué)生多多總結(jié)歸納相關(guān)的解題技巧和解題方法，并配合適當(dāng)?shù)脑囶}訓(xùn)練；學(xué)生自身也要多思考，可以準(zhǔn)備一個錯題記錄本時常翻看，有助于將這類問題消化吸收，最終將其完全掌握。

　　淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法新課改下高中數(shù)學(xué)教學(xué)存在的問題及對策在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中倡導(dǎo)積極主動的學(xué)習(xí)方式

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