浙江省建德市新安江第一小學 余志軍 中學高級教師
【內容提要】研究素材是承載數學教學內容、實現教師教學意圖，指引學生獲取數學知識，理解數學本質，提高數學素養的基本載體。實踐證明：合理有效的探究素材能增強學生的探究興趣，引發學生積極地進行數學思考，從而提升學生的思維能力；而不適當的素材有可能導致課堂教學的功敗垂成。本文從兩次“烙餅問題”教學的經歷為例，試圖以“典型課例研究”為載體，管窺“精選素材，合理使用”的一般規律，并探索激活學生思維的有效策略。
【關鍵詞】小學數學 研究素材
本文所說的研究素材是指承載數學教學內容、實現教師教學意圖，指引學生獲取數學知識、理解數學本質，提高數學素養的基本載體。2011版《數學課程標準》特別強調：數學素材應盡量貼近現實生活，盡量聯系學生的已有知識和經驗。這樣，我們的數學教學就能夠運用貼近生活的素材，借助學生的已有經驗，引導學生探究內在的規律，提高學生的數學素養，發展學生的數學思維。這里說的數學思維主要是以抽象、推理和建模為主要特征的思維活動。基于這樣理念，多數數學課堂我們至少需要組織學生經歷如下三個過程：首先是在理解素材中發現問題、提出問題；其次是借助適當的方法進行思考和探索，得出一定的猜想或規律；接著回到具體情境進行驗證，并概括和抽象出數學模型。所以，問題來源于素材，探究依賴于素材，建模更要素材來支撐。
研究素材選擇得是否合適，呈現方式是否多樣，活動組織得是否合理，甚至關系到一節數學課的成敗。
案例重現
不久之前，本人承擔了一節市級公開課，內容是人教版實驗教科書四年級上冊數學第七單元的“烙餅問題”。本類問題的綜合性比較強，具有一定的思考余地和探索空間，特別適合引導學生經歷解決問題的過程和對問題的探索理解，積累數學活動經驗、感悟數學基本思想。經過思考，本人基本設想是分四個板塊引導學生把握其中的一般規律和基本數學思想。
整個過程大致是這樣的：
第一個板塊，簡單討論“烙一個餅”和“烙兩個餅”的方法，作為鋪墊。
第二個板塊，重點操作并交流討論“烙3個餅”的方法，并在此基礎上推想“烙4個、5個、6個、7個、8個、9個……”的方法，探究其中的規律。
第三個板塊，解決生活中類似“烙餅”的問題，建立模型。
第四個板塊，拓展思維，想象“鍋子可同時烙3只餅”。
當課進行到第二板塊，進行重點突破的時候，遭遇了小小的尷尬：
經過討論、演示、交流、體會，正要取得“3只餅，交替烙法最合理”共識的時候，有一只手高高地舉了起來，似乎有重要的發現要說。
生：老師，把那只餅拿出來過3分鐘再放回去烙，還好吃嗎？生活中是不會有人這么烙的！
下面聽課老師發出了輕輕的笑聲，其他學生的思維受到吸引也議論紛紛起來……
經過一番周折，好不容易形成了比較一致的意見：相同點是每次都是兩只餅同時在烙，鍋子始終不空著；不同的是2個餅是同時烙正反面，而3個需要交替烙。
……
課總算“有驚無險”地按計劃完成了預定任務。
為什么會遭遇這樣的尷尬？當靜下心來仔細回味，事出偶然而其中又有一定的必然。
第一，素材考慮了生活化，但并不符合兒童的認識經驗。“烙餅”這個現象，孩子經常在
街頭小吃店看到，素材來自現實生活，但在我們看來符合現實生活的素材，由于兒童受自身經歷和獨特視角的影響，學生看起來并不一定是“現實”的。
第二，體驗性操作和實踐從數學角度看有相同本質，但畢竟不是直接經驗。“烙餅”要節約時間，關鍵是“鍋子不能空著，始終要以最大量烙”，關于這一點，課堂通過組織模擬活動，學生盡管經歷了，由于與他們的直接經驗還有一定距離，感悟還是不夠深。
第三，經歷探究、推理的過程對獲取知識很重要，但探究材料是否典型直接決定了效果。在操作、探究、觀察基礎上進行的推理中，學生還不能綜合運用知識進行歸因，不能有效對數據進行處理和分析，實質上是對本質缺乏必要領悟和把握，即實際上需要把“餅數”分為幾個2或幾個3或幾個2加一個3，研究數據不夠典型應該是原因之一。
第四，知識之間還需要縱橫建立幾個對應關系：比如烙一個時間和烙一面時間的關系；烙的次數與餅的面數的關系；餅數與烙餅次數之間的關系等。建立這些關系，對學生的綜合能力是個考驗，也需要素材的寬度、長度來保障。
由此可見，即使教學的總體思路對了，如果素材不理想，活動不到位，都會造成課的“節外生枝”，不小心還會“功敗垂成”！所以，本課還有待進一步地斟酌。
深入思考
“小學生的數學學習，應從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型，并進行解釋和應用的過程。”在這樣的理念指導下，老師把數學研究素材生活化，生活世界數學化的現象十分普遍。但是，操作上一不小心，易把生活和數學等同起來，誤以為只有生活中的數學才是有價值的數學，把數學和生活本末倒置，生活味在一定程度上淹沒了數學味。就像上例“烙餅”問題：“烙餅”既然是來自現實生活的一個素材，學生從自己的視角出發，從日常觀察生活的聯想出發，想到“把那只餅拿出來過3分鐘再放回去烙，還好吃嗎？生活中是不會有人這么做的！”就一點都不奇怪了。教學關注的是從數學角度看怎么更節約時間，而兒童思維的感性成分比較多，他們常常被“生活”、被“人文”的東西所干擾。生活原生態素材到底能收到多大的教學效益？這是個必須考慮的問題。那么怎樣精選、使用研究素材才能促進學生有效地學習數學呢？
于是我們不由得產生這樣的疑問：“烙餅”這個情境真的符合學生經驗嗎？有沒有既有“烙餅”的數學結構、不會引發歧義、又很貼近學生生活實際的其他素材呢？選取哪幾個“餅數”開展研究、整理、觀察、推理，既節約時間，又便于學生把握本質、啟發學生思維？
1.素材選擇需要滿足的幾個基本要求。
(1)符合班級學生的認知基礎和生活背景。
學生為什么會認為數學枯燥乏味、麻煩難懂？最主要的原因是因為教學脫離兒童實際。小學生以形象思維為主，有不少數學教學內容相對有些抽象。教學中為了解決好這對矛盾，教師要將數學知識化解在生動活潑的情境中，讓數學貼近兒童生活，順應兒童經驗。用具體生動、形象可感的素材來承載數學知識，讓學生感到數學原來是很現實的，是很常見的，是不難學的，激發學生學習數學的興趣，增強學好數學的信心。準備素材時，不僅僅要有心理學意義上的兒童觀念，更關鍵的是要有班級兒童觀念，農村兒童是怎么樣的，城鎮兒童又是怎么樣的，心里要有數。如果是來自班級兒童的，也許就是效果最好的。
(2)幫助學生把握本質和建立模型。
數學是研究數量關系和空間形式的科學，數量關系和空間形式都是現實生活的反映。所以說，數學來源于生活，又高于生活。當我們把數學知識生活化、情境化后，既有利，也有弊。有利的是學生可以通過“生活原型”，溝通生活數學與課堂數學的聯系，把數學知識獲取的過程與已有的生活經驗融合，實現知識的遷移或提煉，這樣就是對生活的提煉，對生活的超越，實現數學模型的建立。學習難度降低了，理解加深了。不利的是，生活化素材并不是一下子就能找到“數學原型”的，生活化素材，信息往往更復雜，有可能還是不連貫的片段，干擾性因素也比較多。這就需要教師在選擇素材時要有敏銳的觀察力，要注意排除一些不必要因素的干擾，有利于學生抓住本質，便于讓學生從中去提煉數學知識，構建數學模型。
(3)素材要有地方特色和時代氣息。
時代在發展，信息技術日新月異，兒童能獲得的信息或許比老師都新。陳舊的、枯燥的、虛假的信息，必定激不起學生的學習欲望。只有緊跟時代步伐，把富有時代氣息的知識及時納入課堂教學；只有緊盯社會發展，把富有地方特色的內容及時引入數學課堂，才能培養運用意識和實踐能力，才能讓學生體會到時代進步、社會發展，才能體會到數學的生動活潑，體會到數學的多方運用，才能體會到數學的價值，樹立起數學的信心。
經過思考和篩選，我們選中了“電玩中的數學”,它本質上與“烙餅問題”相通，又能借助兒童直接經驗，還有現代元素。
2.合理使用素材促學生經驗升級。
素材是知識的載體，研究的主體是學生。使用素材要合理有度，這樣才能激發學生的學習興趣，又能喚醒學生已有經驗，使學生頭腦里原生態概念升級為比較完整的數學概念。
(1)橫向有寬度
“數與代數”、“圖形與幾何”、“統計與概率”、“綜合與實踐”是組成數學的四大領域，我們可以把它們看成是互相聯系的橫向結構，每冊教材都是這樣橫向排列。那么，不同領域的知識，所需的素材不都是一樣的。同一領域的不同內容，運用過的素材也各有側重。
教學經驗告訴我們，貼近生活、與學生經驗對接的素材，絕大多數確實鮮活了課堂、激活了學生的思維。但是，也有不少適得其反的例子：就像前面的“烙餅”；還有不少計算課，當情境調動了學生已有經驗后，學生的思維囿于定勢，就再也沒有求異性了。所以，我們并不能不分知識類別、性質都用上差不多的素材，而應聯系教學實際，創設多樣性的題材。有時，與生活實際不相聯系、與學生經驗基本無關的素材，對數學課堂卻同樣很有價值。比如，“因數和倍數”的教學中，就是這樣大量使用純數學素材和完全新的題材。
這就體現了素材的豐富性和涵蓋面的寬廣。
(2)點上有深度
如果把全冊教材看成一個橫向結構，則每一節課就成為組成這個系統的一個節點。點的教學 ，素材的前期處理需要生活化，后期就需要數學化。只有這樣才能在落實基礎知識和基本技能的同時，自然而然結合生活實踐，在引導學生探究運用所學知識解決問題的過程中，獲得初步的活動經驗，感悟粗淺的數學思想方法。橫向素材的安排主要考慮形式多樣、與領域匹配；作為一節課的素材，更關注的是怎樣為一個知識要點、思維訓練點服務，怎么突出本質，怎么激活思維是考慮的重中之重。為了突出本質，素材必須具有典型性、針對性。“烙餅問題”，應該從3個開始研究，弄清關鍵；用6個，7個，8個，9個，11個這幾個典型數據的研究突破難點、突出重點。這樣的設計，不僅符合知識本身的邏輯發展，而且貼近學生最近發展區，能真正激活學生的思維，培養他們的發現問題、探索研究、數學推理、解決問題的創新能力。同時，作為一節課，從引入，到探究，到建模，到運用，每個環節的素材盡管可以不同，本質上都該圍繞“統籌安排”這個核心而設計，就是說素材有必要的長度，能前后貫通整個點。
素材的典型性、針對性以及貫通長度，可以稱為深度。它和素材的寬度相輔相成，使我們數學課堂擁有“牛奶咖啡”那樣的可口味道。
3.動態把握促數學課堂簡約高效。
(1)動態生成數學研究素材。
研究材料為知識和技能的學習提供了合適的載體，為學生的數學思考創造了必要的條件。但是，如果素材的選擇單一而且沒有創新，那么，效果一定不會理想。
活用教材資源。教材上的素材絕大部分是經過專家學者精心篩選過的，具有科學性、適切性、普遍性，是學生學習數學的重要線索。一般都可直接拿來利用，這樣既節約準備時間，又不至于出現科學性錯誤。但是，由于不同的學生所處的環境不盡相同，所具備的知識背景與數學活動經驗也各異，不同教師的教學風格也不同。所以，教材素材的動態處理很重要。教師應當根據本班實際、自身條件，對教材提供的素材修改、補充、替換等。
捕捉生活資源。為了拓寬教學素材的面，教師要有敏銳的觀察力，把平時觀察、感受到的生活數學問題，轉化為具有地方特色、符合兒童視角的研究素材。在遵循教材知識體系的的同時，使教學與生活結合得緊密，使課堂教學更活潑、更開放。
多用課堂生成的素材。課堂教學過程是一個動態變化、發展的過程，課堂的精彩往往來自學生即時迸發的奇思妙想。作為教師如果善于捕捉這一瞬間，把握動態生成的問題情境，創設為有思考性的問題情境，帶來的的是真正意義數學思考。因為素材來源于課堂、來自于學生，就讓學生產生出非要解決它的強烈欲望，從而促進他們積極探索，丙在探索中積累了知識和經驗。
根據這樣的思路，我們直接選用了教材上的“炒菜上菜問題”，選定了平時學習生活中的“復印試卷問題”促建構。
(2)靈活呈現數學研究素材。
不管素材是來自教材，還是來自生活，亦或是來自課堂生成，無論是那種，教師必須采用多種方式呈現材料，為課堂上學生思維的激活設計通道。從教學實踐看，變靜態為動態、變單一文字為圖文結合、變有序排列為非連續信息，更能調動學生多感官參與學習活動，促進思維條理性、邏輯性和敏捷性的發展，提升數學學習品質。“烙餅問題”的教學，素材可以靜態呈現、動態演示、書面出示、口頭描述、實驗操作等方式相結合。
再次“烙餅”
經過慎重思考和重新設計，借班和學生再次“烙餅”。
教學的第一層次
呈現如下情境：“一個電腦小游戲，可以單人玩，也可以雙人玩，每局的時間是10分鐘。現在甲、乙、丙三個小朋友每人都想玩2局，你打算怎樣安排？最少需幾分鐘？”
引導學生直接從“3人玩”開始獨立研究。然后組織交流不同的安排方法和所需時間。學生的思維有如下幾種：
第一種，一個一個地輪流玩，每人2局，共要60分鐘。
持這樣思維的是少數，稍有經驗或略會反思的學生，憑直覺都知道“太浪費時間了！”
第二種，先甲、乙同時玩一局，接著丙玩一局；再甲、乙同時玩一局，接著丙玩一局。合計要40分鐘。
第三種，先甲、丙同時玩一局，接著乙玩一局；再甲、丙同時玩一局，接著乙玩一局。合計要40分鐘。
第四種，先乙、丙同時玩一局，接著甲玩一局；再乙、丙同時玩一局，接著甲玩一局。合計要40分鐘。
第五種，先甲、乙同時玩兩局，接著丙玩兩局。合計要40分鐘。
第六種，先甲、丙同時玩兩局，接著乙玩兩局。合計要40分鐘。
第七種，先乙、丙同時玩兩局，接著甲玩兩局。合計要40分鐘。
事實上，第二至第七種其實一種，都是其中兩人先玩，再第三人玩。所以都需要40分鐘。多數學生的思維屬于其中的一種。
第八種，甲、乙；甲、丙；乙、丙每局兩人同時交替著玩。只要30分鐘。
這是最節約時間，而且是“最不讓人等得著急”的玩法。有這種思維的學生接近班級的五分之一。
這時，引導學生把上述方法歸為三類：
第一類，一個一個地輪流玩，每人2局，共要60分鐘（上述第一種）；
第二類先其中兩人先玩，再第三人玩，每人2局，共要40分鐘（上述第二至第七種）；
第三類，每局兩人，3人交替著玩，只要30分鐘（上述第八種）。
更重要的是，引導學生對比發現“時間是怎么節約下來的”。得出本類問題的基本思想是“盡量不讓電腦空著、每局都盡量兩人同時玩”。
這個素材，我們姑且稱為“電玩中的數學”，學生既熟悉、有興趣，又包含“烙餅問題”的結構。這樣引入和鋪墊，既從學生的知識積累和直觀經驗出發，又不至于旁生枝節。直接從3個“餅”開始討論，并適時合理歸類，有利于學生學會思考，有利于第二層次教學感悟“盡量不讓鍋子空著，每次最多地烙”這一基本思想。
教學的第二層次
課件動態呈現情境：一個鍋子每次最多可以同時烙2個餅，每個餅每面需烙2分鐘。如果現在要烙3個餅，怎么烙時間最短？最短需要幾分鐘？
討論并歸納：“交替烙餅”，每次都烙2個，烙3次，需2×3=6分鐘。
再呈現研究問題：如果是要烙6個、7個、8個、9個、11個……怎么烙餅時間最節約？各需要幾分鐘？
放手讓學生探究后反饋，抓住兩個問題組織學生交流：“你是分成幾個幾個烙的？”“最少用了幾分鐘？”
接著抓住關鍵數據，著重引導比較“9個、11個”的不同分法，如9=2+2+2+3=3+3+3，時間是否一樣，哪種更方便、更符合實際。
在此基礎上，引導學生觀察、思考和歸納：你有什么發現？
學生得出如下不同結論：當餅數是等于或大于2的雙數，就2個2個同時烙；餅數是大于3的單數，可以先2個2個同時烙，再3個交替玩，有時也可以3個3個地烙；烙餅次數=餅數；總時間=每次時間×餅數；……
教學的第三層次
呈現“復印問題”和“炒菜問題”，引導學生獨立解決，然后說說想的過程。
1.要復印5張A4試卷，正、反面都要復印。如果一次最多放兩張試卷，那么你認為最少要復印多少次？你是怎么安排的？
2.某排檔有兩位廚師，這天午飯時間，同時來了甲、乙、丙三位顧客，每人點了兩個菜。假設兩位廚師炒每個菜的時間相等，應該安排怎樣的順序炒菜上菜？
反饋提問：什么相當于“鍋子”，什么相當于“餅”？
因為“烙餅問題”本身具有比較強的綜合性，具有一定的思考性，所以只要素材合適，活動安排恰當，開展探究教學是可以實現的。以“電玩中的數學”實現學生經驗的遷移，以烙3個餅切入解決關鍵，選擇烙6個、7個、8個、9個、11個的研究突破本質，最后走進生活運用并抽象模型。教學這樣安排，“逼得”學生不得不既獨立思考，又要合作討論；既動腦、動眼、動手，又要動口和動筆記錄。我們發現，當餅數多了后，有學生想象出現了困難，而自己的學具又不夠，他只得和鄰近同學一起共同用學習用品代替“餅”操作一番，自然而然形成小組合作學習。當學生對研究的情況交流之后，教師適時引導學生進行數據整理，再有目的地進行觀察，比較異同和分析聯系，突破了“分”和“交替烙”的難點，感悟到本質。進一步研究和分析數據，對“烙一個時間和烙一面時間”，“烙的次數與餅的面數”，“餅數與烙餅次數”，“餅數與總時間”等之間的對應關系有了初步的感悟。對得出的猜想和規律初步運用，從不同的角度進行驗證，然后再概括和抽象出數學模型，符合創造思維的一般過程。
經過上面三個層次的教學，學生對“烙餅問題”蘊含的統籌方法有所感悟，而且數學模型也得以初步建立。
第四層次教學
布置學生創造一個類似于“烙餅”這樣的問題。
建立模型，必須打通不同情境之間的本質聯系；理解模型，有賴于問題的變式運用。這個環節的教學平常，但作用卻不簡單。
是否真正領會了“烙餅問題”的基本思想方法，這個層次是最好的“試金石”。
再次“烙餅”一課，組織學生探究和思考，即借助了學生的已有經驗，降低了理解的難度，又避免了不必要的尷尬。把教學重點放在引導學生經歷解決問題的過程和對問題的探索理解上，定位更準確。更重要的是，學生在學習知識和技能的同時，積累了“烙餅”的基本活動經驗，獲得了類似“烙餅”的精簡節約、統籌安排思想。
總之，數學研究材料的選擇既要關注現實性，又要體現數學知識的生活原型，既要體現適度的開放性，又不宜過分繁雜，既要關注趣味性，還要減少負面經驗對數學思考的干擾，使素材有利于學生構建數學模型。使用研究素材要合理適度，不能盲目追求和濫用。同時課堂上還要動態把握素材，使好的生成資源為提高課堂教學效率起到積極的作用。
主要參考文獻：
[1]鄭毓信.數學思維與小學數學[M]江蘇：江蘇教育出版社，2008年.
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2015.08再改