主要內(nèi)容
比例尺、面積變化、確定位置
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、使學(xué)生在具體情境中理解比例尺的意義，能看懂線段比例尺。會(huì)求一幅圖的比例尺，能按給定的比例尺求相應(yīng)的實(shí)際距離或圖上距離，會(huì)把數(shù)值比例尺與線段比例尺進(jìn)行轉(zhuǎn)化。
2、使學(xué)生在經(jīng)歷“猜想－驗(yàn)證”的過程中，自主發(fā)現(xiàn)平面圖形按比例放大后面積的變化規(guī)律。
3、在解決問題的過程中，進(jìn)一步體會(huì)比例以及比例尺的應(yīng)用價(jià)值，感知不同領(lǐng)域數(shù)學(xué)內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系，增強(qiáng)用數(shù)和圖形描述現(xiàn)實(shí)問題的意識(shí)和能力，豐富解決問題的策略。
4、使學(xué)生在具體情境中初步理解北偏東（西）、南偏東（西）的含義，初步掌握用方向和距離確定物體位置的方法，能根據(jù)給定方向和距離在平面圖上確定物體的位置或描述簡(jiǎn)單的行走路線。
5、使學(xué)生在用方向和距離確定物體位置的過程中，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察能力、識(shí)圖能力和有條理的進(jìn)行表達(dá)的能力。發(fā)展空間觀念。
6、使學(xué)生積極參與觀察、測(cè)量、畫圖、交流等活動(dòng)，獲得成功的體驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)與生活實(shí)際的聯(lián)系，拓展知識(shí)視野，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。
考點(diǎn)分析
1、圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
2、比例尺 = ，比例尺有兩種形式：數(shù)值比例尺和線段比例尺。
3、把一個(gè)平面圖形按照一定的倍數(shù)（n）放大或縮小到原來的幾分之一（ ）后，放大（或縮小）后與放大（或縮小）前圖形的面積比是n:1（或1:n）。
4、知道 了物體的方向和距離，就能確定物體的位置。
5、根據(jù)物體的位置，結(jié)合比例尺的相關(guān)知識(shí)，可以在平面圖上畫出物體的位置。畫的時(shí)候先按方向畫一條射線，在根據(jù)圖上距離找出點(diǎn)所在的位置。
6、描述行走路線要依次逐段地說，每一段都應(yīng)說出行走的方向與路程。
典型例題：
例1、（認(rèn)識(shí)比例尺）
王伯伯家有一塊長(zhǎng)方形的菜地，長(zhǎng)40米，寬30米。把這塊菜地按一定的比例縮小，畫在平面圖上長(zhǎng)4厘米，寬3厘米。你能分別寫出菜地長(zhǎng)、寬的圖上距離和實(shí)際距離的比嗎？
分析與解：圖上距離和實(shí)際距離的單位不同，先要統(tǒng)一成相同的單位，寫出比后再化簡(jiǎn)。
40米 = 4000厘米 3厘米 = 0.03米
= = =
圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
圖上距離 : 實(shí)際距離 = 比例尺或 = 比例尺
圖上距離和實(shí)際距離的比是1:1000，這幅圖的比例尺是1:1000，也可寫成 ，仍讀作1比1000。
點(diǎn)評(píng)：求一幅地圖的比例尺是一種比較簡(jiǎn)單的題目。做的時(shí)候唯一要注意的就是末尾0的問題：一是米、千米化成厘米的時(shí)候要在米、千米那個(gè)數(shù)的末尾加上2、5個(gè)0；二是在求比例尺的結(jié)果時(shí)要注意0的個(gè)數(shù)。多數(shù)一數(shù)、想一想，是不會(huì)有錯(cuò)的。
例2、（對(duì)比例尺的理解及比例尺的兩種表示方法）
比例尺1:1000表示圖上距離是實(shí)際距離的幾分之幾？實(shí)際距離是圖上距離的多少倍？圖上1厘米表示實(shí)際距離多少米？
分析與解：比例尺1:1000表示圖上距離是實(shí)際距離的 ，實(shí)際距離是圖上距離的1000倍，圖上1厘米的距離代表實(shí)際距離1000厘米，即10米。
像形如1:1000這樣的比例尺叫做數(shù)值比例尺。比例尺1:1000還可以這樣表示
0 10 20 30米
，這是線段比例尺，它表示圖上1厘米的距離代表實(shí)際距離10米。
例3、一個(gè)手表零件長(zhǎng)2毫米，畫在一幅圖上長(zhǎng)4厘米，這幅圖的比例尺是多少？
錯(cuò)誤解法：4厘米 = 40毫米 2 : 40 = 1 : 20
思路分析：無論什么樣的圖紙，比例尺始終是圖上距離與實(shí)際距離的比，根據(jù)比例尺的定義，用“圖上距離 : 實(shí)際距離 = 比例尺”去求。
正確解答：4厘米 = 40毫米 40 : 2 = 20 : 1
點(diǎn)評(píng)：比例尺通常情況下都應(yīng)該寫成前項(xiàng)是1的比。但比例尺的作用除了把實(shí)際距離縮小，還可以把實(shí)際距離擴(kuò)大，這樣比例尺的前項(xiàng)就比后項(xiàng)大，這時(shí)后項(xiàng)通常化成1。在解答時(shí)，只要堅(jiān)持好“圖上距離 : 實(shí)際距離 = 比例尺”，圖上距離在前就可以了。
例4、（根據(jù)比例尺求圖上距離或?qū)嶋H距離）
在比例尺是 的地圖上，量得甲、乙兩地的距離是2.5厘米。兩地的實(shí)際距離是多少米？
分析與解：方法1：比例尺是 ，說明實(shí)際距離是圖上距離的60000倍。
2.5×60000 = 150000（厘米）
150000（厘米）= 1500米
方法2：比例尺是 ，也就是圖上1厘米的距離代表實(shí)際距離60000厘米，即600米。
2.5×600 = 1500（米）
方法3：根據(jù) = 比例尺，可以用“圖上距離 ÷ 比例尺”或“解比例”的方法來求實(shí)際距離。
2.5 ÷ = 2.5×60000 = 150000（厘米）= 1500米
解：設(shè)兩地的實(shí)際距離是ⅹ厘米。
=
1ⅹ = 2.5 × 60000
ⅹ = 150000
150000（厘米）= 1500米
答：兩地的實(shí)際距離是1500厘米。
例5、（平面圖形按照一定的比放大后，面積擴(kuò)大了比的平方倍）
下面的大長(zhǎng)方形是由一個(gè)小長(zhǎng)方形按比例放大后得到的圖形。分別量出它們的長(zhǎng)和寬，算算大長(zhǎng)方形與小長(zhǎng)方形面積的比是幾比幾。
分析與解：量得小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是2.5厘米，寬是1厘米；大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是7.5厘米，寬是3厘米。大長(zhǎng)方形與小長(zhǎng)方形長(zhǎng)的比是7.5 : 2.5 = 3 : 1，寬的比是3 : 1。
= = × = 9 : 1 = 3 : 1
答：大長(zhǎng)方形與小長(zhǎng)方形面積的比是9 : 1。
例6、（認(rèn)識(shí)北偏東（西）若干度、南偏東（西）若干度等方向）
如圖，一輛汽車向正北方向行駛，你能說出商場(chǎng)和書店分別在汽車的什么方向嗎？
N
商場(chǎng) 北
45
60 書店
0 3 6 9千米
汽車
分析與解：從圖上可以看出，以汽車為中心，書店在汽車的東北方向，商場(chǎng)在汽車的西北方向。
怎樣才能更準(zhǔn)確地表示它們的位置呢？
東北方向也叫做北偏東方向，書店在汽車的北偏東60方向。
西北方向也叫做北偏西方向，商場(chǎng)在汽車的北偏西45方向。
答：書店在汽車的北偏東60方向，商場(chǎng)在汽車的北偏西45方向。
例7、（知道了物體的方向和距離，才能確定物體的具體位置）
量出上圖中書店到汽車的圖上距離，根據(jù)比例尺算一算，書店在汽車北偏東60方向的多少千米處？商場(chǎng)呢？
分析與解：從圖中量得書店和商場(chǎng)到汽車的圖上距離分別是1.2厘米和2.3厘米，根據(jù)比例尺，圖上距離1厘米代表實(shí)際距離3千米，分別算出實(shí)際距離。
1.2 × 3 = 3.6（千米）┄┄┄書店
2.3 × 3 = 6.9（千米）┄┄┄商場(chǎng)
答：書店在汽車北偏東60方向的3.6千米處，商場(chǎng)在汽車北偏西45方向的6.9千米處。
點(diǎn)評(píng)：只有在方向詞的后面添上角的度數(shù)，才能準(zhǔn)確描述物體所在的位置。確定方向時(shí)，一定要先確定好南或北，再看是偏東還是偏西，如果圖中沒有畫線，要先連線。算實(shí)際距離就根據(jù)前面比例尺的相關(guān)知識(shí)去求。
例8、（辨析）書店在汽車的北偏東60方向，表示汽車也在書店的北偏東60方向。
分析與解：書店在汽車的北偏東60方向，是以汽車為中心，由北向東旋轉(zhuǎn)60；而以書店為中心，汽車在書店的西南方向，即南偏西60方向。
書店在汽車的北偏東60方向，表示汽車在書店的南偏西60方向。
例9、（根據(jù)給定的方向和距離，有序地確定物體的具體位置）
海面上有一座燈塔，燈塔北偏西30方向30千米處是鳳凰島。
N
北
W西 東E
燈塔
0 10 20 30千米
南
S
你能在圖上指出鳳凰島大約在什么位置嗎？
分析與解：（1）先確定北偏西30的方向，畫一條射線。
N
30
燈塔
（2）再算出燈塔到鳳凰島的圖上距離是多少厘米。
30 ÷ 10 = 3（厘米）
鳳凰島 ● N
30
燈塔
點(diǎn)評(píng)：在表示鳳凰島的具體位置時(shí)，先要畫出表示方向的射線，再確定燈塔到鳳凰島的圖上距離。且在畫表示方向的射線時(shí)，應(yīng)從表示燈塔的點(diǎn)開始畫起，并注意正確擺好量角器。
例10、（用方向和距離描述簡(jiǎn)單的行走路線）
下圖是某市旅游1號(hào)車行駛的線路圖，請(qǐng)根據(jù)線路圖填空。
（1）旅游1號(hào)車從起點(diǎn)站出發(fā)，向（ ）行駛到達(dá)青水公園，再向（ ）偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到達(dá)抗戰(zhàn)紀(jì)念碑。
（2）由綠博園向南偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到達(dá)購(gòu)物中心，再向北偏（ ）（ ）的方向行（ ）千米到達(dá)人民公園。
分析與解：先找準(zhǔn)方向，再說出具體的路程。（1）旅游1號(hào)車從起點(diǎn)站出發(fā)，向（ 東 ）行駛到達(dá)青水公園，再向（ 北 ）偏（東）（40）的方向行（1.8 ）千米到達(dá)抗戰(zhàn)紀(jì)念碑。
（2）由綠博園向南偏（東）（60）的方向行（1.7）千米到達(dá)購(gòu)物中心，再向北偏（ 東 ）
（70）的方向行（1.5）千米到達(dá)人民公園。
點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行描述的時(shí)候，一定要先說清楚方向再說路程。說方向的時(shí)候?yàn)榱苏f清楚，通常情況下不用東北、西北、東南、西南等說法，而用南偏東、南偏西、北偏東、北偏西多少度的說法更為準(zhǔn)確。
小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題講解及訓(xùn)練（七）
模擬試題
１、說出下面各比例尺表示的意思。
1∶40000
2、判斷：
①小華在繪制學(xué)校操場(chǎng)平面圖時(shí)，用20厘米的線段表示地面上40米的距離，
這幅圖的比例尺為1︰2。 ┈┈┈┈ （ ）
②某機(jī)器零件設(shè)計(jì)圖紙所用的比例尺為1︰1，
說明了該零件的實(shí)際長(zhǎng)度與圖上是一樣的 ┈┈┈┈ （ ）
③一幅圖的比例尺是6︰1，這幅圖所表示的實(shí)際距離大于圖上距離。┈┈┈ （ ）
3、選擇：
①如果某圖紙所用的比例尺小于1，那么這幅圖所表示的圖上距離（ ）實(shí)際距離。
A.小于 B.大于 C.等于
②學(xué)校操場(chǎng)長(zhǎng)100米，寬60米，在練習(xí)本上畫圖，選用（ ）作比例尺較合適。
A.1︰20 B.1︰2000 C.1︰200
4、一幅地圖的線段比例尺是 ，這幅圖上3厘米表示實(shí)際距離多少千米？
5、 一種精密零件，畫在圖上是12厘米，而實(shí)際的長(zhǎng)度是3毫米。求這幅圖的比例尺。
6、英華小學(xué)有一塊長(zhǎng)120米、寬80米的長(zhǎng)方形操場(chǎng)，畫在比例尺為1 ：4000的平面圖上，長(zhǎng)和寬各應(yīng)畫多少厘米？
7、在比例尺為1 ：200000的一幅地圖上， 城和 城相距5厘米，兩城實(shí)際相距多少千米？
8、 一幅地圖的線段比例尺是：
0 40 80 120 160千米，甲乙兩城在
這幅地圖上相距18厘米，兩城間的實(shí)際距離是多少千米？丙丁兩城相距660千米，在這幅地圖上兩城之間的距離是多少厘米？
9、在一幅比例尺為1:500的平面圖上量得一間長(zhǎng)方形教室的長(zhǎng)是3厘米，寬是2厘米。
（1）求這間教室的圖上面積與實(shí)際面積。
（2）寫出圖上面積和實(shí)際面積的比。并與比例尺進(jìn)行比較。
10、下圖是按1︰50000的比例尺繪出的方位圖。說一說商店、公園、電影院的位置。
電影院
●30
● ●
40 廣場(chǎng) 公園
● 商店
（1）公園在廣場(chǎng)的東面（ ）千米處。
（2）電影院在廣場(chǎng)的（ ）偏（ ）（ ）方向（ ）千米處。
（3）商店在廣場(chǎng)的（ ）。
11、小明家在百貨商場(chǎng)的北偏西40°方向2500米處，圖書館在農(nóng)業(yè)銀行東偏南40°方向1500米處。下面是小明坐出租車從家去圖書館的路線圖。已知出租車在3千米以內(nèi)（含3千米）按起步價(jià)9元計(jì)算，以后每增加1千米車費(fèi)就增加2元。請(qǐng)你按圖中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租車費(fèi)？
參考答案：
１、說出下面各比例尺表示的意思。
1∶40000 表示圖上距離是實(shí)際距離的 ，實(shí)際距離是圖上距離的40000倍，圖上1厘米的距離代表實(shí)際距離40000厘米，即400米。
表示圖上1厘米的距離代表實(shí)際距離200千米。
2、判斷：
①小華在繪制學(xué)校操場(chǎng)平面圖時(shí)，用20厘米的線段表示地面上40米的距離，這幅圖的比例尺為1︰2。 ┈┈┈┈ （ × ）
②某機(jī)器零件設(shè)計(jì)圖紙所用的比例尺為1︰1，說明了該零件的實(shí)際長(zhǎng)度與圖上是一樣的。 ┈┈┈┈ （ √ ）
③一幅圖的比例尺是6︰1，這幅圖所表示的實(shí)際距離大于圖上距離。┈┈┈ （ × ）
3、選擇：
①如果某圖紙所用的比例尺小于1，那么這幅圖所表示的圖上距離（ A ）實(shí)際距離。
A.小于 B.大于 C.等于
②學(xué)校操場(chǎng)長(zhǎng)100米，寬60米，在練習(xí)本上畫圖，選用（ B ）作比例尺較合適。
A.1︰20 B.1︰2000 C.1︰200
4、一幅地圖的線段比例尺是 ，這幅圖上3厘米表示實(shí)際距離多少千米？這幅圖上3厘米表示實(shí)際距離6千米。
5、 一種精密零件，畫在圖上是12厘米，而實(shí)際的長(zhǎng)度是3毫米。求這幅圖的比例尺。
圖上距離 : 實(shí)際距離 = 比例尺
12厘米 = 120毫米 120 : 3 = 40 : 1
答：這幅圖的比例尺是40 : 1。
6、 英華小學(xué)有一塊長(zhǎng)120米、寬80米的長(zhǎng)方形操場(chǎng)，畫在比例尺為1 ：4000的平面圖上，長(zhǎng)和寬各應(yīng)畫多少厘米？
長(zhǎng)：120米 = 12000厘米 12000 × = 3厘米
寬：80米 = 8000厘米 8000 × = 2厘米
答：長(zhǎng)應(yīng)畫3厘米，寬應(yīng)畫2厘米。
7、在比例尺為1 ：200000的一幅地圖上， 城和 城相距5厘米，兩城實(shí)際相距多少千米？
5 ÷ = 1000000厘米 = 10千米
答：兩城實(shí)際相距10千米。
8、 一幅地圖的線段比例尺是：
0 40 80 120 160千米，甲乙兩城在
這幅地圖上相距18厘米，兩城間的實(shí)際距離是多少千米？丙丁兩城相距660千米，在這幅地圖上兩城之間的距離是多少厘米？
18 × 40 = 720千米
660 ÷ 40 = 16.5厘米 或 66000000 × = 16.5厘米
答：兩城間的實(shí)際距離是720千米，在這幅地圖上兩城之間的距離是16.5厘米。
9、在一幅比例尺為1:500的平面圖上量得一間長(zhǎng)方形教室的長(zhǎng)是3厘米，寬是2厘米。
（1）求這間教室的圖上面積與實(shí)際面積。
圖上面積：3 × 2 = 6平方厘米
實(shí)際長(zhǎng)：3 × 500 = 1500厘米 實(shí)際寬：2 × 500 = 1000厘米
實(shí)際面積：1500 × 1000 = 1500000平方厘米 = 150平方米
答：這間教室的圖上面積6平方厘米，實(shí)際面積是150平方米。
（2）寫出圖上面積和實(shí)際面積的比。并與比例尺進(jìn)行比較。
圖上面積和實(shí)際面積的比是：6 : 1500000 = 1 : 250000
與比例尺進(jìn)行比較1 : 250000 = （1:500）
10、下圖是按1︰50000的比例尺繪出的方位圖。說一說商店、公園、電影院的位置。
電影院
●30
● ●
40 廣場(chǎng) 公園
● 商店
（1）公園在廣場(chǎng)的東面（ 0.75 ）千米處。
量得公園到廣場(chǎng)的圖上距離是1.5厘米，1.5 × 50000 = 75000厘米 = 0.75千米
（2）電影院在廣場(chǎng)的（ 北 ）偏（ 東 ）（ 60 ）方向（ 0.75 ）千米處。
（3）商店在廣場(chǎng)的（ 南偏西 50方向1.5千米處 ）。量得商店到廣場(chǎng)的圖上距離是3厘米
11、小明家在百貨商場(chǎng)的北偏西40°方向2500米處，圖書館在農(nóng)業(yè)銀行東偏南40°方向1500米處。下面是小明坐出租車從家去圖書館的路線圖。已知出租車在3千米以內(nèi)（含3千米）按起步價(jià)9元計(jì)算，以后每增加1千米車費(fèi)就增加2元。請(qǐng)你按圖中提供的信息算一算，小明一共要花多少元出租車費(fèi)？
由圖中信息可知小明家到百貨商場(chǎng)有2500米，百貨商場(chǎng)到農(nóng)業(yè)銀行與農(nóng)業(yè)銀行到圖書館都是1500米，小明坐出租車從家去圖書館一共要行2500 + 1500 + 1500 = 5500米，需要車費(fèi)：9 + 2 × （5.5 – 3）= 14元