例 4 在圖 8 中的 A，B，C，D 處填上適當的數，使其成為一個三階幻方。
分析與解 從第一行和對角線可得，
A＋7＋D=A＋10＋6
7＋D=16
D=9
這樣幻和=9＋15＋6=30
從第一行中可求出
54
A=30-（7＋9）=14；
從第二行中可求出 B=30-（10＋15）=5；
從第三行中可求出 C=30-（11+6）=13。
例 5 在 3×3 的陣列中，第一行第三列的位置上填 5，第二行第一列的位置上填 6，如
圖 9。請你在其他方格中填上適當的數，使方陣橫、縱、斜三個方向的三個數之和均
為 36。
分析與解 為了敘述方便，我們將其余格內的數用字母表示，如圖 10。
因為幻和為 36，所以可求出中心數為：
36÷3=12，即 C=12。
從第二行中可求出 D=36-（6＋12）＝18；
從對角線中可求出 E＝36-（5＋12）=19；
從第一列中可求出 A=36-（6＋19）=11；
從第一行中可求出 B=36-（11＋5）=20；
從第二列中可求出 F=36-（20+12）＝4；
55
從第三列中可求出 G=36-（5＋18）=13。
得到的三階幻方如圖 11。
從上面的例題我們不難看出：要填出一個三階幻方，中心數起著至關重要的作用。
利用幻和=中心數×3 這個關系式，在已知幻和的情況下，可先求出中心數；在已知中
心數的情況下，可求出幻和，以便其他數的求出。
練習七
1.用 1～9 這九個數字補全圖 12 中的幻方，并求出幻和。
2.用 3～11 這九個數補全圖 13 中的幻方，并求出幻和。
3.在圖 14 的空格中填入不大于 15 且互不相同的自然數（其中已填好一個數），
使每一橫行、豎列和對角線上的三個數之和都等于 30。
56
每一豎行、兩條對角線中三個數的和都相等。
的圓內，使每一橫行、
5.將九個連續自然數填入 3 行 3 列的九個空格中，使每一橫行、每一豎列及每一
條對角線上三個數的和都等于 45。
6.將從 1 開始的九個連續奇數填入 3 行 3 列的九個空格中，使每一橫行、每一豎
列及兩條對角線上的三個數之和都相等。
八、邏輯推理
在有些問題中，條件和結論中不出現任何數和數字，也不出現任何圖形，因而，
它既不是一個算術問題，也不是一個幾何問題。
也有這樣的題目，表面看來是一個算術或幾何問題，但在解決它們的過程中卻很
少用到算術或幾何知識。
57
所有這些問題的解決，需要我們深入地理解條件和結論，分析關鍵所在，找到突
破口，由此入手，進行有根有據的推理，做出正確的判斷，最終找到問題的答案。這
類問題我們稱它為邏輯推理。
例 1 在一樁謀殺案中，有兩個嫌疑犯甲和乙。另有四個證人正在受到訊問。
第一個證人說：“我只知道甲是無罪的。”
第二個證人說：“我只知道乙是無罪的。”
第三個證人說：“前面兩個證詞中至少有一個是真的。”
第四個證人說：“我可以肯定第三個證人的證詞是假的。”
通過調查研究，已證實第四個證人說了實話，請你分析一下，兇手是誰？
分析與解 題目中條件較多，且四個人的證詞有真有假，在這種情況下，要善于抓住關
鍵，由此入手進行有根有據的逐步推理。本題的關鍵是：第四個人說了實話。
因為第四個人說了實話，所以第三個人的證詞是偽證，也就是說“前兩個證詞中
至少有一個是真的”是句假話。由此可以斷定，第一個和第二個證人都說了假話。從
而判斷出甲和乙都是兇手。
注意：像上面的例題，從眾多的條件中抽取關鍵的條件，往往是進行分析和推理
的突破口。
例 2 某車間新調來三名青年工人，車間趙主任問他們三人的年齡。
58
小劉說：“我 22 歲，比小陳小 2 歲，比小李大 1 歲。”
小陳說：“我不是年齡最小的，小李和我差 3 歲，小李是 25 歲。”
小李說：“我比小劉年歲小，小劉 23 歲，小陳比小劉大 3 歲。”
這三位青年工人在他們每人說的三句話中，都有一句是錯的。請你幫助趙主任分
析出他們三人各是多少歲？
分析與解 本題類似于例 1，首先應找到解決問題的突破口。但本題又不完全同于例 1，
并不知道哪句話真，哪句話假。所以解決本題的首要目標是先確定一句話是真還是假。
經過審題，仔細分析這九句話，不難發現有兩句話是相互矛盾的。一句話是小劉
說的第一句話：“我 22 歲”，另一句話是小李說的第二句話：“小劉 23 歲”。這兩
句話不能都真，必有一句是假的。為了確定這兩句話的真假性。可以先假設某一句為
真，如果推不出矛盾，本題就獲得了解決；如果推出矛盾，就說明這句話是假的，從
而也就找到了突破口。
先假設小劉說的第一句話“我 22 歲”為真，那么小李說的第二句話“小劉 23 歲”
就為假，因此小李的另外兩句話就應該是真話，從“小陳比小劉大 3 歲”就推出小陳
是 25 歲；又從“我比小劉年歲小”推出小李小于 22 歲。可是這樣一來，小陳說的三
句話中，“小李和我差 3 歲”和“小李 25 歲”這兩句話都不能成立，這與本題中的要
求（“每人說的三句話中，都有一句是錯的”，即三句話中有兩句話是真的）相矛盾。
因此，小劉說的“我 22 歲”這句話是假的。
59
由于小劉說的第一句話是假的，所以后兩句話就是真的。因此，小李說的第三句
話“小陳比小劉大 3 歲”就是假的，所以，小李說的第二句話“小劉 23 歲”就是真的。
于是就可以推出：小李 22 歲，小陳 25 歲，小劉 23 歲。
注意：這道題我們采用的解題方法是：先假設，然后根據已知條件，進行正確的
推理。如果推出矛盾，則說明假設不合理，由此得到與假設相反的結果。如果由假設
出發，沒有推出矛盾的結果，則說明假設合理。這種方法就叫假設法，是我們解題中
常用的一種方法，希望同學們能夠掌握。