數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)味
作者:富源縣大河鎮(zhèn)腦上小學(xué) 楊 波
在幾年來的教學(xué)實(shí)踐與探索中，我始終注重?cái)?shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)味研究，在教學(xué)中不斷挖掘、呈現(xiàn)、彰顯數(shù)學(xué)內(nèi)容自身的數(shù)學(xué)味。下面舉幾則案例，談?wù)勛约旱囊稽c(diǎn)教學(xué)體會。
一、“交換律”一課的教學(xué)實(shí)踐。如果單純地由具體現(xiàn)實(shí)情境引出3+6=6+3，并引發(fā)學(xué)生形成猜想：“是否任意兩數(shù)相加，交換位置后和都不變?”進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生通過舉例，試圖驗(yàn)證猜想，并最終得出相應(yīng)的結(jié)論。雖然這個(gè)教學(xué)過程輪廓清晰，思路涇渭分明，探討的主要問題也基本在數(shù)學(xué)范疇內(nèi)展開，但不能充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)味。我們要做更進(jìn)一步的思考，即數(shù)學(xué)課堂上的數(shù)學(xué)味顯然不應(yīng)該僅停留在表層，應(yīng)該注重?cái)?shù)學(xué)內(nèi)容、數(shù)學(xué)方法及數(shù)學(xué)思想的實(shí)質(zhì)等更里層問題的探討。從而，在試圖對本課進(jìn)行重新梳理時(shí)，下述問題自然就成了我關(guān)注的興奮點(diǎn)：“由僅有的一個(gè)例子鼓勵(lì)學(xué)生提出猜想是否適宜?”“什么是數(shù)學(xué)上的不完全歸納法?”“對四年級學(xué)生來說，試圖用不完全歸納法獲得結(jié)論，舉出多少個(gè)例子比較合適?”“例子越多越好嗎?”“怎樣的例子是好的例子，怎樣的例子是不好的例子?”“舉例驗(yàn)證猜想時(shí)，我們要不要關(guān)注反例?反例對猜想意味著什么?”進(jìn)而，“舉例的過程僅僅是一個(gè)模仿與復(fù)制的過程，還是一個(gè)主動思考并進(jìn)行試探與甄別的過程?”“經(jīng)由不完全歸納法所給出的能不能算作結(jié)論?如果不算，小學(xué)課堂該不該引入必要的證明?”在具體的教學(xué)語境中，好的數(shù)學(xué)味一定還伴隨著必要的兒童視角和立場!
二、“分?jǐn)?shù)的意義”一課的教學(xué)實(shí)踐。一節(jié)經(jīng)典的老課，教學(xué)線索與理路也基本定型。但在試圖對數(shù)學(xué)內(nèi)涵進(jìn)行深入梳理時(shí)，不經(jīng)意間卻被幾個(gè)小問題所梗住：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數(shù)是分?jǐn)?shù)，這是分?jǐn)?shù)意義的形式化表達(dá)，可這里的單位“1”究竟是什么?數(shù)學(xué)上，為什么我們把這些平均分的對象叫做單位“1”，而不是別的什么名稱，比如整體“1”或是對象“1”?稱其單位“1”究竟只是一種純粹的數(shù)學(xué)規(guī)定，還是另有其數(shù)學(xué)的合理性?進(jìn)而，與百分?jǐn)?shù)不同的是，分?jǐn)?shù)既可以表示兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系，還可以表示一個(gè)具體的數(shù)，用數(shù)學(xué)上的專業(yè)術(shù)語來講，分?jǐn)?shù)既有其無量綱性，同時(shí)還具有量綱性。事實(shí)上，理解到這一點(diǎn)，對于未來學(xué)生更深入地理解分?jǐn)?shù)的實(shí)質(zhì)，以及對分?jǐn)?shù)直接進(jìn)行大小比較(不提供直觀圖的情況下)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化以及理解分?jǐn)?shù)乘除法實(shí)際問題的數(shù)量關(guān)系等，無疑具有重要的意義。然而，反觀各版本教材，在安排這一內(nèi)容時(shí)所選擇的素材與呈現(xiàn)的情境，仍局限在“部分與整體的關(guān)系”這單一的維度，即分?jǐn)?shù)的無量綱性上，分?jǐn)?shù)始終只是在“把整體看作1時(shí)，其中的一部分如何用數(shù)學(xué)符號來表征”的情境下得以呈現(xiàn)的，而其所理應(yīng)具備的有量綱性的一面，卻未能在具體的教學(xué)編排中得到相應(yīng)的體現(xiàn)。事實(shí)上，由無量綱性向著有量綱性的跨越對學(xué)生來說是有一定的難度的，默認(rèn)這種跨越可以自然而然地生成，實(shí)際上缺乏理論的支撐，在實(shí)踐層面也不具備說服力。此外，教材在編排分?jǐn)?shù)意義這一內(nèi)容時(shí)，似乎對如何更好地溝通分?jǐn)?shù)、1及整數(shù)之間的關(guān)系也缺乏必要的關(guān)注，從而，“分?jǐn)?shù)的意義”一課在許多時(shí)候還只停留在就分?jǐn)?shù)論分?jǐn)?shù)的層面，對于如何促進(jìn)學(xué)生更好地形成有關(guān)數(shù)的整體認(rèn)知圖景，還缺乏相應(yīng)的實(shí)踐指導(dǎo)。
由此，筆者執(zhí)教這一內(nèi)容時(shí)，由對單位“1”的探討引入：先引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識“1”這個(gè)數(shù)的包容性，即所謂“1個(gè)梨可以看做1，3個(gè)梨也能看做1，6個(gè)、12個(gè)梨同樣能看做1”。然后經(jīng)由討論，使他們進(jìn)一步理解到，一旦在某一語境下，我們將3個(gè)梨看做了“1”，那么，6個(gè)或12個(gè)梨通常就不再看做“1”，而應(yīng)該看做“2”或“4”了。理由很簡單，3個(gè)梨既已看做“1”，6個(gè)梨中包含2個(gè)這樣的“1”，當(dāng)然就是“2”，12個(gè)梨亦然。事實(shí)上，在上述情境及過程中，我們已然發(fā)現(xiàn)，3個(gè)梨所構(gòu)成的“1”其實(shí)已經(jīng)成為一個(gè)計(jì)數(shù)或計(jì)量的單位，此時(shí)，稱其為單位“1”已是自然而然的事了。
三、“平均數(shù)”一課的教學(xué)實(shí)踐。作為反映一組數(shù)據(jù)整體水平的一種統(tǒng)計(jì)量，平均數(shù)與眾數(shù)及中位數(shù)既有相似之處，又有明顯的不同。無疑，如何將平均數(shù)置于統(tǒng)計(jì)的角度來審視，并努力開掘出其應(yīng)有的統(tǒng)計(jì)意義與價(jià)值，當(dāng)是這節(jié)課首要關(guān)注的問題。教材多采取“比較”的情境，由于“兩組人數(shù)不均的小組開展相應(yīng)比賽，比總數(shù)不公平，所以應(yīng)比平均每人的個(gè)數(shù)”，由此引入平均數(shù)。但在備課過程中，隨著思考的不斷深入，新的問題不斷涌現(xiàn)。首先，作為一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)學(xué)概念，平均數(shù)是否首先或主要地源自于比較的現(xiàn)實(shí)需求?其次，“平均每人投中的個(gè)數(shù)”和“每人投中個(gè)數(shù)的平均數(shù)”之間是否可以直接畫上等號?再者，平均數(shù)既是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)重要概念，那么，其誕生理應(yīng)處于一個(gè)統(tǒng)計(jì)的活動背景之中，這是比較合理的一種預(yù)期。為此，設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，我微調(diào)了教材中的情境結(jié)構(gòu)，通過呈現(xiàn)如下的活動序列，將平均數(shù)重新置于統(tǒng)計(jì)背景下，并力圖還原其作為“一組數(shù)據(jù)的代表”的角色與身份，再現(xiàn)平均數(shù)的本來面目。
老師和小明、小紅、小強(qiáng)進(jìn)行一分鐘投籃賽，以每分鐘進(jìn)球多少論勝負(fù)。
小明先投，結(jié)果一分鐘僅投中5個(gè)，他不滿意自己的成績，提出想再投兩次的要求。老師該不該同意他的要求?經(jīng)過討論并最終獲得同意后，小明再投，結(jié)果第二、三分鐘均投中5個(gè)。此時(shí)引導(dǎo)思考：小明一分鐘究竟能投中幾個(gè)?用哪個(gè)數(shù)表示他一分鐘的成績比較合適?為什么?
小紅第二個(gè)出場，結(jié)果一分鐘投中3個(gè)，他會提出怎樣的要求?當(dāng)征得同意后，他第二、第三分鐘分別投中4個(gè)、5個(gè)。引導(dǎo)思考：3次成績各不相同，用哪個(gè)數(shù)表示小剛一分鐘的個(gè)數(shù)比較合適?為什么?
小強(qiáng)第三個(gè)出場，3分鐘各投中3個(gè)、7個(gè)和2個(gè)。此時(shí)，又該用哪個(gè)數(shù)表示他一分鐘的水平?為什么?至此，在“移多補(bǔ)少”的直觀操作和“先合并再均分”的抽象算法的基礎(chǔ)上，揭示平均數(shù)，并幫助學(xué)生認(rèn)識到平均數(shù)對于描述一組數(shù)據(jù)的整體水平的意義。
老師最后出場，一開始便提出“水平不行，想投4次”的打算，如果是你，你會同意老師的請求嗎?在征得同意后，老師前3分鐘的成績分別是4個(gè)、6個(gè)、5個(gè)，你覺得最后老師會贏得這場比賽嗎?為什么?出示第四次成績(1個(gè))后，學(xué)生再度討論：老師贏了沒有?為什么輸了?如果最后一次投中5個(gè)或者9個(gè)，結(jié)果會怎樣?等等。至此，概念建立告一段落。
回顧上述環(huán)節(jié)，同樣是比賽的主題情境，但其根本立場和視角已然發(fā)生轉(zhuǎn)變。其一，由于相關(guān)數(shù)據(jù)是由同一個(gè)體所產(chǎn)生，求其總數(shù)顯然不具備充分的現(xiàn)實(shí)意義，而相對來說，從產(chǎn)生的這組數(shù)據(jù)中選擇一個(gè)或“另外創(chuàng)造”一個(gè)以代表這組數(shù)據(jù)的一般水平，對學(xué)生而言似乎更容易理解。其二，情境中大量充斥著“他想再投兩次，該不該給他這個(gè)機(jī)會?”“老師想多投一分鐘，行還是不行?”“你覺得老師最后一定會贏嗎?”“最后，老師為什么反而輸了?”這樣的問題，看似與平均數(shù)無關(guān)，但實(shí)則高度相關(guān)。僅以第一問為例，當(dāng)小明一分鐘投完僅得5個(gè)時(shí)，我們究竟該不該讓他再投兩分鐘?試想，當(dāng)學(xué)生最終通過討論與思維交鋒，同意小明的這一請求時(shí)，對學(xué)生而言，這究竟意味著什么?--投籃的次數(shù)并不是決定最后輸贏的關(guān)鍵要素，多次成績背后所呈現(xiàn)出的一組數(shù)據(jù)的分布、離散情況及其所反映出的一般水平，才最終決定著一個(gè)人的實(shí)際水平，并最終決定著他的輸贏。試想，經(jīng)由這樣的思考、獲得類似的體驗(yàn)后，學(xué)生如何能夠不對平均數(shù)獲得更為豐富的理解和把握呢?
同樣在對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行深入思考與內(nèi)涵開掘后，本課選擇了以兒童能夠悅納的一種姿態(tài)介入--游戲、討論、對話、思辨。盡管教師于其中也有竭力想傳達(dá)和滲透的教學(xué)意圖和數(shù)學(xué)內(nèi)涵，但避開了抽象的說教和示范，而是選擇了以一種更具親和力、更富情境化的思維場域，讓學(xué)生在思考、交流的過程中去獲得相關(guān)體驗(yàn)、領(lǐng)悟相關(guān)意圖、獲得某種建構(gòu)。具有良好數(shù)學(xué)內(nèi)涵的課堂，一定是深入淺出的，它能夠?qū)⒔處燁I(lǐng)悟到的深刻的數(shù)學(xué)理解以一種平和的、學(xué)生可以理解并悅納的姿態(tài)介入課堂活動，并努力在數(shù)學(xué)內(nèi)涵與兒童趣味之間找到一種良好的平衡。
作者簡介：楊波，女，漢族，出生于1982年3月，中共黨員，云南省富源縣竹園鎮(zhèn)人，小學(xué)一級教師，本科文化，西南師范大學(xué)漢語言文學(xué)專業(yè)，現(xiàn)在富源縣大河鎮(zhèn)腦上小學(xué)任教，教學(xué)科目為五年級數(shù)學(xué)。