“分數乘整數”教學片段分析及反思
摘 要：本文通過“分數乘整數”這一教學片段。執教者利用兩種完全不同的引入方法來教學新知，其產生的后果截然不同。針對這一現象， 筆者試著從學生的角度進行思考分析，認為這是教師在教學時，對學生在新知轉化的途徑，算理與算法如何相依相存之間存在著誤區，沒有讀懂學生而導致，試著從這兩方面進行探討。
關鍵詞： 讀懂學生 轉化 算理與算法
在進行教學設計時，教師都會從教材、學生、教師這三方面來考慮。根據北師大版教材的特點，教師在教材的組織、過程的編排，練習的選擇方面擁有了更廣闊的空間。新課改倡導的課堂教學不是線性的、封閉的，而是開放的、動態生成的，面對多元的、不確定的、意料之外的信息與資源，是“放任自流”？是“適可而止”？還是“有收有放”？這些都取決于教師是否從學生的行為出發，去觀察、捕捉、判斷學生的思維，選擇、調整自己的意識，改變教學策略。而這些，都需要我們在課堂教學過程中主動觀察，主動反思，主動嘗試。
[案例1] “分數乘整數”第一課時原經驗階段教學片段
師：同學們，我們已經學習了“整數乘法”與“小數乘法”，今天我們學習“分數乘整數”，看了課題，你想知道什么？（教師板書課題：分數乘整數）
生1：分數乘整數怎么算的？
生2：分數乘整數表示什么意義？
生3：分數乘整數怎樣才能算得又對又快？
師：那么，我們就先來研究分數乘整數的意義。（教師板書：意義）
師：請記錄有關算式，5+5+5+5 2/9+2/9+2/9+2/9+2/9
（師報算式，學生記錄）
師：5+5+5+5還可以寫成什么算式？
（學生齊聲回答：“5×4”）
師：2/9+2/9+2/9+2/9+2/9還可以寫成什么算式？
生：2/9×5
（板書：5×4 2/9×5）
師：這兩個算式有什么相同之處和不同之處？
生1：這兩個都是乘法。
生2：5×4 是整數乘整數，2/9×5是分數乘整數。
生3：它們表示的意義不同？
師：不同嗎？
（班級內有80%的學生回答“相同”）
師：它們表示的意義相同，都表示求幾個相同加數的和。（板書：求幾個相同加數的和）
我們給全班48名學生做了前后測，前測中有33/48的學生說不出或說錯7×4表示的意義。后測中仍有25/48 的學生說不出或說錯2/9×4表示的意義。
[案例2] “分數乘整數”第一課時修正后行為階段教學片段
師：老師這里有三道題（投影出示：1/5×3 3/7×2 3/16×5），你有辦法解決這些題嗎？
（班級內有85%的學生回答“能”）
師：好，那么請你用你的方法來解決這些題，將你的想法記錄下來。
（學生們胸有成竹的進行計算，我則馬不停蹄地收集學生計算中出現的資源，并即時將學生的各種資源快速的呈現在黑板上，重點反饋 1/5×3，1/5×3這道題共收集到了以下四種資源。）
（1）1/5×3 （2）1/5×3 （3）1/5×3
=1/5+1/5+1/5 = 0.2+0.2+0.2 =1×3/5
=3/5 =0.6=3/5 = 3/5
（4）
1/5 1/5×3=3/5
師：黑板上的這些方法你都看懂了嗎，你認為都對嗎？
（學生齊聲說“看懂了”）
師：如果看懂了，請你與同桌說說他們是怎么想的？
（學生投入到與同桌進行討論交流，絕大部分學生都能積極參與活動，討論也十分激烈。）
師：下面，我們就一起來分析一下這四種方法。
生1：第一種方法轉化成分數加法來做，因為1/5×3就表示3個1/5相加。所以，這種算法是對的。
生2：第二種方法中，轉化成小數來做有局限性，像3/7×2中，3/7就不能化成有限小數。
生3：第四種方法中，畫圖太麻煩了。如果是1/5×100，那要畫到什么時候？
生4：第三種方法其實是根據第一種而來的。因為1/5×3就表示3個1/5相加，可以寫成（1+1+1）/5，也就是1×3/5=3/5。
師：同樣，那么……（師手勢提醒學生另兩題）
生5：3/7×2表示2個3/7相加，也可以3×2/7=6/7。
生6：3/16×5表示5個3/16相加，答案是15/16。
師：那你發現分數乘整數的計算方法了嗎？
（學生齊聲說“發現了”，并且爭先恐后的說給旁人聽。）
師：為什么可以這樣算呢？
生：因為1/5×3就表示3個1/5相加，3/7×2表示2個3/7相加，3/16×5表示5個3/16相加。
我們給全班48名學生做了前后測，前測中有33/48的學生說不出或說錯7×4表示的意義。后測中只有12/48 的學生說不出或說錯2/9×4表示的意義。
分析思考
“分數乘整數”是一節比較典型的教學課例。在案例1中，教師從整數乘法中遷移，沒有結合具體式題，生搬硬套，而且其結果造成了負遷移。在鞏固練習中，50%的學生喜歡用分數加法的計算方法來做分數乘法。在案例2中，學生利用式題，不但總結出了分數乘整數的計算方法，而且知道了算理（也就是分數乘整數的意義），真正做到了算理與算法相結合。
基于這兩者天壤之別，筆者有了深深的感觸，上述兩個案例讓我想到一個相同的問題，就是我們常說的備課之先“備學生”到底備到什么程度？對于學生的知識前測，教師心中有多大的把握？沒有對學情準確.嚴密.動態的”偵察”,便絕對不會”打贏”有效教學乃至高效教學這一勝仗.很多教師在備學生的時候,是借用別人的眼光來估計自己的學生,看教參上是怎么說的.教參說這時的學生應該具有什么樣的知識經驗,教師便堅信自己的學生也定是如此了.沒有或者很少考慮到雖然是同一個年齡段的孩子,但還有諸多不同的因素:也許你的學生是后進的,他的基礎沒你想象的那么牢固;也許他是絕頂聰明的,學習進度已經超過好多課業了.
如上述案例中,關注學生轉化的思想就是本課時教學的重中之重.數學知識有著本身固有的結構體系，往往是新知孕伏于舊知，舊知識點是新知識點的生長點，數學教學如何讓知識體系由點到線，線到面，使知識結構“見木又見林”是十分必要的。案例1從整數乘法遷移到分數乘整數，想法是可取的，但整數乘法的意義在二上年級就已經出現，而且教材中沒有出現整數乘法的抽象表達方式（即整數乘法表示求幾個相同加數的和），對于五下年級的學生來說，遺忘程度可想而知。而案例2中，以五上年級的分數加法為基礎，讓學生自由探索，效果是非常明顯的。轉化是需要條件的，只要“跳一跳”，就能摘到“桃子”，學生才會去嘗試。
今天這節課的算理看似簡單,其實理解還是有困難的.根據學生的認知心理,在遇到一個陌生的問題,如”1/5×3=?”時,學生對算法的興趣遠遠勝于算理.因為算法可以直接得到結果.一旦知道算法,多數學生會對算理失去興趣.甚至為了考試成績去死記硬背算理,算法與算理完全脫離.那么我們實際上不是教數學,而是在教一門計算程序;不是在培養研究者,而是在訓練操作工.這與”學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的思想方法和必要的應用技能”相違背的. 數學思想方法內容十分豐富，學生一接觸到數學知識，就聯系上許多數學思想方法。寓理于算的思想就是小學數學中的基本思想方法。在教學時,把重點放在讓學生充分體驗由直觀算理到抽象算法的過渡和演變過程,從而達到對算理的深層理解和對算法的切實把握. 小學是打基礎的教育，有了算理的支撐，算法才會多樣化，課堂才會更開放。
課標中，原來講“雙基”，現在變成“四基”，多了基本思想、基本活動經驗，筆者認為，只有具備了基本思想、基本活動經驗，才能在思維上促進基本知識、基本技能的發展。不但教給學生一個表層的知識，更要給學生思維的方法與思想。
參考文獻：
[1]《國家數學課程標準》
[2]《小學數學教師》