──“長方形和正方形的周長”教學案例與評點
說明：
本案例運用北師大《九年義務教育課程》第五冊。它在前一課經歷許多測量實踐活動并了解周長的一般意義（并未給周長下定義）的基礎上進行的。本課教學目標是能夠探索并掌握長方形、正方形周長的多種計算方法，培養學生的主動精神和抽象概括能力，會解決簡單實際問題。
案例：
一、 復習“周長”的意義
師：上一節課，我們已經學習了“周長”，誰來舉例說說，周長是什么意思呢？
生：我首先是從周長的名字想到──周長就是一周的長。比如，三角板的周長就是三角板一周的長度。
生：圍成一個物體的一周的長度，就是物體的周長。如我的腰圍、胸圍等等（邊說邊比劃），還有一棵古樹的樹干的周長，就是圍繞樹干的一周的長度，我上次看到一本書講，有一棵古樹的樹干的周長有十幾米呢。
生：圍成一個圖形各條邊的總和，就是這個圖形的周長。比如三角形就是三條邊的總和，四邊形就是四條邊的總和，五邊形就是五條邊的總和，六邊形就是六條邊的總和……反正有幾條邊，就是把幾條邊加起來的總和。
師：（拿出一個長方形、正方形）誰愿意來指一指，長方形、正方形的周長是指哪里的長度？（學生上來指出）
（學生討論、反饋）
師：（多媒體出示長方形、正方形、三角形、平行四邊形、多邊形、圓形）老師這里有許多的平面圖形。現在請同學們拿出紅筆描一描各個圖形的周長。
（同學們拿出桌上同樣圖形的紙描起來）
［通過舉例子、指一指、描一描等方法復習“周長”的含義，體現“周長”與兒童生活密切相關，摒棄傳統教學中讓學生“背定義”的復習方式。］
二、 探究求“周長”的方法
師：剛才，我們通過舉例、指一指、描一描等方法，知道了周長的意思。周長是有長短的。你能判斷下面的長方形和正方形的周長，哪一個長一些？
［以“長方形和正方形的周長誰長一些”來引導學生的猜想，激發探究欲望。］
生：長方形的周長長一些。
生：正方形的周長長一些。
生：兩個圖形的周長一樣長。
師：現在有三處不同意見，誰能想出一個比較好的辦法，證明你的判斷是正確的，讓大家心服口服。可以獨立思考，也可以同桌討論。
(學生討論，或同桌交流)
生：我想用一根細線來“圍”住圖形，然后再量一下繩子的長就可以了。
生：我想把這兩個圖形都圍繞一個尺子滾動一周，就能知道論誰的周長大一些了。
生：我想先量出每條邊的長度，再把幾條邊的長度加起來就可以比較了。
師：大家想到的方法，都可以求出這兩個圖形的周長，也能比較出它們的長短。但是，如果我們要大家比較的不是兩個圖形，而是兩個不同操場的周長，那么用哪一種方法比較方便又比較準確呢？
生：用“滾”的方法是不行的，“圍”的方法太麻煩了，用“先量再算”的方法比較方便準確。
［讓學生尋求各種解決問題的策略，并不強求一致，同時又注意引導學生：策略一定要合理而科學。］
師：今天，我們就一起來研究長方形和正方形周長的計算方法。（板書）
師：我們先來量一量、算一算長方形的周長。剛才這位同學想到先量后算的方法。那么該怎樣量？又怎樣算呢？
生：我認為只要量出長方形的長和寬就能算出長方形的周長了。
師：對！現在，一個操場的長和寬已經量好了，請同學們看題（出示課本上的例題：學校操場是來一個長方形，長105米，寬80米，小強繞操場四周走一圈，走了多少米？），求小強走了一周，就是求什么？
生：長方形的周長。
師：操場的周長怎樣算呢？請大家獨立思考完成。
（同學們獨自進行計算后，再進行交流，教師根據反饋情況，用多媒體動態、隨機演示把長方形拆成四條邊又合并起來的過程，展示學生的三種不同算法）
（1）105＋80＋105＋80＝370（米）
周長＝長＋寬＋長＋寬
（2）105×2＝210（米）
80×2＝160（米）
210＋160＝370（米）
周長＝長×2＋寬×2
（3）105＋80＝185（米）
185×2＝370（米）
周長＝（長＋寬）×2
師：大家自己已經總結了長方形周長的三種計算方法。請同學們說說，你喜歡用哪一種方法？并說說這種方法的意思。
生：我喜歡第一種，它是把四條邊都加起來，就是操場的周長了。
（學生爭著要說，課堂有些吵鬧）
師：我覺得這位同學說的“把四條邊加起來算周長的方法”確實不錯！大家說，對不對？（同學們表示認同）
生：我喜歡第二種，它是先把兩條長和兩條寬分別算出來，再相加就行了。
（課堂氣氛更活躍了，顯得嘈雜）
師：同學們，我們還是要尊重別人的發言，等別人說完了，再想想它說得對不對，這樣才對我們的學習有更大的幫助。誰來說說，這位同學說得對不對？
［對于有些吵鬧嘈雜的課堂，教者進行及時進行了有效的調控與引導，保證后面的進程的順利進行。］
生：他說得是對的！原來我也是這么算的。后來又想：先算出一條長和一條寬的和，正好是長方形周長的一半，再乘2不就是長方形的周長嗎？所以我喜歡第三種方法。
師：這位同學既尊重別人的發言，又很有自己的見解，我們應該為這樣的同學鼓掌！（大家齊鼓掌）其實，大家剛才都在動腦筋、想辦法，都不錯！（多媒體發出掌聲和“你真棒！”的表揚聲）
師：今后，我們每個人都可以用自己喜歡的方法去求長方形的周長。但無論用哪一種方法，都必須知道什么條件？
生：求長方形的周長，一定要知道長方形的長和寬。
師：說得不錯。請同學們打開課本，根據自己的喜愛填出長方形的周長公式。(同學們閱讀課本，并填寫)
［肯定學生各種算法，并不要求學生一定要用哪種方法，也沒有十分強調哪種方法最簡便，體現了“不同的人學不同的數學”思想。］
師：那么，我們又怎樣來求正方形的周長呢？請同學們繼續看書，并填出求正方形周長的公式。(同學們閱讀并填寫)
師：現在誰來說說正方形的周長怎樣求？
生：就是把四條邊加起來。
生：正方形的周長只要用邊長乘4就行了，因為正方形的邊長都一樣長。
師：現在有一個操場，它是正方形，已知它的邊長是90米，它的周長和剛才長方形操場的周長比，哪個長一些呢？請同學們算一算，比一比。
(同學們自行計算后交流反饋)
生：還是長方形長一些。因為正方形的周長是90×4=360（米），而長方形是370（米）。
師：通過剛才的探究，我們已經知道長方形只要知道長和寬就能求出周長，正方形只要知道邊長就能求出周長。現在我們來做幾個練習。
三、 周長計算的應用
1、 周長的基本應用（此步略）。
2、 引深拓展。
出示書第55頁的第5題：A、B的周長相等嗎？
師：計算B圖的周長，光*圖上提供的數據行嗎？
生：不行。
師：那么，還必須知道哪些數據才行？
(請一名學生到說出來，并上面指出來，同時電腦閃爍顯示)
師：這樣，沒有標出數據的兩條線段就是幾厘米？
生：分別是3厘米和2厘米。
師：現在請同學們算出這兩個圖形的周長，你發現了什么？
生：我是這樣算的：第一個圖形的周長是：10×2＋5×2＝30（厘米），第二個圖形的周長是：10＋5＋7＋2＋3＋3＝30（厘米），它們是一樣長的。
生：噢！我發現──（有一個同學迫不及待想說，教師示意他到前面來指著B圖形接著說））如果把這兩條短邊分別移到外邊去，就和A圖形是一樣的了！所以B圖形的周長的算法也和A圖形是一樣的！
（教師用多媒體配合演示，下略）
［對于B圖，學生用“逐次計算每條邊長度”或“通過移動，知道與A圖算法一樣”也均予以肯定，使不同的學生得到不同程度的最大發展。］
案例評析：
1、 以持續發展為著眼點，重組教材，引導探究
按傳統數學教材，周長的概念描述為“圍成一個圖形的所有邊長的總和叫做它的周長”。但教者從數學新課程“空間與圖形”的整體目標出發，從學生持續、和諧的發展出發，加強了“周長”與日常生活聯系，讓學生用自己的語言來描述對“周長”的理解，并一一進行充分肯定，這是難能可貴的。這樣教學，充分反映教者了對新課程理念的正確認識。
教學中，教師尊重學生，發揚教學民主，以學生為探究主體，盡可能讓學生充分暴露自己的思維過程，引導學生自主評價，自我感悟，老師成了學生學習的組織者、引導者、合作者和共同參與者。在策略的比較中，促進了學生認知能力和圖形周長推理能力的發展，體現了“跳出數學教數學”的教學思想，充分地讓學生經歷了“數學化”和“再創造”的學習探究過程，為學生個性的發展提供了充分的時間和空間。
2、 以解決實際問題為準則，強調算法的多樣化
計算長方形、正方形的周長是計算圖形周長中的一種特例。它是經過人們的不斷總結而獲得的。它的特點是計算簡便、迅速。但對初次接觸的小學生來說，是把重點放在周長公式的結果上，還是注重引導學生在測量具體圖形中探索周長的過程，則是兩種不同教育觀的反映。
在教學過程中，教者并沒有采用傳統的“公式─例題─習題”的教學結構模式，而是采用新課程努力倡導的“問題情景─猜想─建立模型─驗證與解釋─應用與拓展”新型教學模式進行的。
在聯系實際復習“周長”的含義之后，教者就設置了一個問題情境：一個長方形和一個正方形（看上去周長差不多），哪個周長長一些呢？引發學生探究欲望。學生通過討論與交流，想出了“滾”、“圍”、“先量再算”等多種策略。對于這些方法，教師沒有簡單地加以肯定或否定，而是又恰到好處地拋出一個新的問題：“如果長方形和正方形是兩個操場，我們又該怎樣計算呢？”又一次激發孩子們的探究熱情，學生他們興致勃勃地投入新的、現實的、有意義的又富有挑戰性的問題情境之中了。通過小組交流，學生從實踐的角度對其可行性加以思考、比較與取舍。這不僅驗證了剛才的策略是否合理，同時又從中領悟到解決問題的新方法、新策略。最后，又一個挑戰的問題出現了：圖A與圖B，它們的周長相等嗎？再一次進行學習與探究、
需要強調指出的是，在三輪的學習探究與討論交流中，教者始終沒有以一個“權威者”的角色指出哪個方法是最簡便、最科學、最合理的，而是讓學生通過獨立思考、探究與計算的過程，自己會去體會他喜歡或者能夠理解的算法，真正體現了“算法的多樣化”和“讓不同的人學不同的數學”的新課程理念。
顯然，從這樣的立場出發，我們就不僅應當承認這種“時間差”，而且還應承認“路徑差”。正如數學教育專家鄭毓信所說：“（學生）所選用的策略，在教師眼中或許有優劣之分，但在孩子眼里并沒有好壞之別，只要解題過程及答案具合理性，就值得肯定。”
因此，在我們的教學中，既要強調數學思想方法的滲透，但又不應該追求任何強制的統一。在類似的“計算周長”教學中，學生會有各種不同的算法，對他們的不同算法，教師不要急于歸納到公式中去，可以讓他們說說算的道理。在多次的測量和計算的過程中，學生自己逐步會掌握用周長公式計算的方法。當然，對一些不善于用周長公式計算的學生，也不必強求統一，隨著計算周長經驗的積累，他們慢慢也能悟出周長公式的意義的。
3、采用多種有效策略，調控探究進程，做到“自由而不散亂”
新課程強調“算法的多樣化”，就必然要引導學生。但放手讓學生進行討論時，又可能出現吵吵鬧鬧、課堂氣氛嘈雜甚至失控的現象。因此，面對新課程的教學，如何讓學生充分討論，又保證學習進程的順利進行呢？
對于這些情況，教師首先能夠有一顆“平常心”，同時有一些“容忍”，即在討論與交流的過程中，有一些吵鬧是難免的，但有兩點原則必須把握好：一是吵鬧的東西必須是討論話題相關的，二是吵鬧要不影響別人和教學進程。違反了這兩個原則，教師就不能再坐視不管了。
本堂課討論過程中，學生也有些吵鬧。教者首先是寬容與容忍，但教者并沒有處于消極被動地位，恰恰相反，通過一些科學的調控手段，有效地控制了課堂的學習探究進程，保證新一輪討論、交流與探究的進行。教者主要通過以下策略來改善課堂一些不良狀況的：
一是“重復和確認”。美國著名數學教育家瑞思尼克曾：“重復學生的語言，再一次確認學生的意思，是教師控制教室對話的兩種最明顯的策略，這兩種策略可以讓學生的發言，從個體自我意思的表達，轉化為全班可以共同溝通的語言。”在討論三種算法時，有同學對第一種解法的同學顯得不屑一顧，而且顯得有些不耐煩，這時教者及時肯定并重復這名同學的發言，使課堂討論得以順利進行。
其二，還可以通過“強化和淡化”的策略來改善課堂的不良氣氛。即對于教室運作有用的信息就予以增強，對于干擾或暫不能處理的信息則予以忽略或淡化處理。這樣，有用的信息將被有意的放大，而無效的信息則被在課堂學習中逐步忽略不計了。如當有同學說他喜歡第二種算法時，又有同學顯得不耐煩，這時教師通過語言提醒學生“聽取別人的發言，既是尊重別人，同時對自己學習也有幫助”，同時對隨后的學生發言鼓掌表揚，強化“傾聽別人發言”的交流風氣；對隨便亂發言的人不予理睬（淡化），一下子就改善了課堂中出現的不良狀況。
其三，要充分建立學生的自信心。這種策略在本節課也得到較為充分的體現。教學中，教師能盡量退到“后臺”，盡量縮小自己（的權威）。學生能說的盡量讓學生說，學生能做的盡量讓學生做，學生能總結的盡量讓學生總結，這樣學生在建構知識的同時也建構起自己對學習的自信心。此外，通過多媒體中設置的“鼓掌聲與表揚語”也起到較為明顯的效果。