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有物不知數(shù)-文言文中的數(shù)學(xué)

時(shí)間:2021-06-11 18:03:22 文言文 我要投稿

有物不知數(shù)-文言文中的數(shù)學(xué)

  (依據(jù):《孫子問題》;編詩:陳鋼) 有物不知數(shù),讓我數(shù)一數(shù);

有物不知數(shù)-文言文中的數(shù)學(xué)

  三個(gè)三個(gè)數(shù),剩二好孤獨(dú);

  五五數(shù)剩三,七七又二單;

  此物多少數(shù),誰能說清楚?

  【解說】這是依據(jù)《孫子算經(jīng)》上有名的“孫子問題”(又稱“物不知數(shù)題”)編寫而成的。原來的題目是:

  “今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二。問物幾何?”

  用通俗的話來說,題目的意思就是

  有一些物品,不知道有多少個(gè),只知道將它們?nèi)齻(gè)三個(gè)地?cái)?shù),會(huì)剩下2個(gè);五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù),會(huì)剩下3個(gè);七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù),也會(huì)剩下2個(gè)。這些物品的數(shù)量至少是多少個(gè)?

  (注:詩題及題目原文都無“至少”二字,但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題,否則就會(huì)有無數(shù)多個(gè)答案。所以,解釋題目意思時(shí),在語句中加上了“至少”二字。)

  《孫子算經(jīng)》解這道題目的“術(shù)文”和答案是:

  “三三數(shù)之剩二,置一百四十;五五數(shù)之剩三,置六十三;七七數(shù)之剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百十減之,即得。”“答曰:二十三。”

  這些話是什么意思呢?用通俗的話來說,就是:

  先求被3除余2,并能同時(shí)被5、7整除的數(shù),這樣的數(shù)最小是140;

  再求被5除余3,并能同時(shí)被3、7整除的數(shù),這樣的數(shù)最小是63;

  然后求被7除余2,并能同時(shí)被3、5整除的數(shù),這樣的數(shù)最小是30。

  于是,由140+63+30=233,得到的233就是一個(gè)所要求得的`數(shù)。但這個(gè)數(shù)并不是最小的。

  再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數(shù)“105”的倍數(shù),就得到許許多多這樣的數(shù):

  {23,128,233,338,443,…}

  從而可知,23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解,而其中最小的解是23。

  答:這些物品的數(shù)目至少是23個(gè)。

  需要指出的是,在《孫子算經(jīng)》上,有一段關(guān)于這類題目的解題“術(shù)文”:

  “凡三三數(shù)之剩一則置七十,五五數(shù)之剩一則置二十一,七七數(shù)之剩一則置十五,一百六以上以一百五減之,即得。”

  (注:古稱“106”和“105”為“一百六”和“一百五”,而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以,這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”,而不是“160”和“150”。)

  明代著名的大數(shù)學(xué)家程大位,在他所著的《算法統(tǒng)宗》中,對(duì)于這種解一般“孫子問題”的方法,還編出了四句歌訣,名曰《孫子歌》:

  三人同行七十稀,

  五樹梅花廿一枝;

  七子團(tuán)圓正半月,

  除百零五便得知。

  歌中的“廿”,讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

  這一歌訣的“詩意”,我們可以不去理會(huì),只需注意它的數(shù)字就行了。歌訣中的每一句話,都指出了一步解題方法:

  “三(3)人同行七十(70)稀”——是說除以3所得的余數(shù),要用“70”去乘它;

  “五(5)樹梅花廿一(21)枝”——是說除以5所得的余數(shù),要用“21”去乘它;

  “七(7)子團(tuán)圓正半月(15)”——“半月”是一個(gè)月30天的一半,即15日,這是說,除以 7所得的余數(shù),要用“ 15”去乘它;

  “除百零五(105)便得知”——這是說要把上面所乘得的三個(gè)數(shù)相加,加得的和如果大于105,便應(yīng)減去105,或者減去105的倍數(shù)。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六(106)以上,以一百五(105)減之”。這樣得出的差,便是所要求的這個(gè)最小的未知數(shù)了。

  運(yùn)用這一歌訣來解答這道“物不知數(shù)”問題,便是

  2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

  233-105-105=23(答略)

  不過,用這種方法解這類問題,有它的局限性,它只能解答用3、5、7作除數(shù)的題目,遇到用其他數(shù)作除數(shù)的算題,它就行不通了。這一點(diǎn)必須引起我們的注意。

  這種“物不知數(shù)(孫子)問題”,在我國古代流傳的算法名稱很多。宋朝周宓稱它為“鬼谷算”、“隔墻算”(之所以稱“鬼谷算”,大概是因?yàn)樗c傳說中的哲學(xué)家鬼谷子有某些關(guān)系);13世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家楊輝則稱它為“剪管術(shù)”。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶將它推廣,并又發(fā)現(xiàn)一種算法,稱它為“大衍求一術(shù)”。它被傳入西方后,外國人又稱它為“中國剩余定理”。但是大多數(shù)人較為通俗的叫法,還是稱它為“韓信點(diǎn)兵”(也有稱“秦王暗點(diǎn)兵”的)。傳說我國漢朝的大將韓信,計(jì)算士兵數(shù)目的方法十分特別,他不是五個(gè)五個(gè)或十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù),也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報(bào)數(shù),而是叫他們排起隊(duì)伍,依次在他面前列隊(duì)行進(jìn):先是一排三人,再是一排五人,然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來,就知道了士兵的總數(shù)。他旁邊的人見他并沒有數(shù)士兵的數(shù)目,有時(shí)甚至還閉上了眼睛,而居然知道士兵的總數(shù),都感到十分驚奇。所以,后人就把這種算法稱為“韓信點(diǎn)兵”了。“韓信點(diǎn)兵問題”在數(shù)學(xué)史上,是個(gè)極有名的問題。西洋人直到18世紀(jì)才被瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)這一問題的解題規(guī)律。只拿我國南宋秦九韶的研究與他們相比,他們也晚了五百年左右的時(shí)間。

  【思考、練習(xí)】

  1.有一道用詩的形式表達(dá)的謎題是:

  花生若干粒,三數(shù)即余一;

  五數(shù)無剩余,七數(shù)余三粒。

  你能猜出得數(shù)是多少粒嗎?(答案:10粒)

  2.有一道民間詩題如下:

  秦皇暗點(diǎn)衛(wèi)隊(duì)兵,三三數(shù)來余二名;

  五數(shù)七數(shù)都余一,衛(wèi)隊(duì)共是多少人?

  請(qǐng)仿照上面的方法解出這道題目。(答案:71人)

  3.有總數(shù)不滿五十人的一隊(duì)士兵,“一至三報(bào)數(shù)”,最后一人報(bào)“一”;“一至五報(bào)數(shù)”,最后一人報(bào)“二”;“一至七報(bào)數(shù)”,最后一人也報(bào)“二”。這隊(duì)士兵有多少人?(答案:37人)

  4.用三輪小貨車運(yùn)一批糧食,每次運(yùn)7袋,最后余下2

  袋;每次運(yùn)8袋,最后余下3袋;每次運(yùn)9袋,最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋?(答案:163袋)

  5.有一個(gè)數(shù),被5除余2,被7除余6,被11除余9。那么這個(gè)數(shù)最小是多少?(答案:97)

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