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微分的通俗理解

回答
瑞文問答

2024-07-09

高數里的定義是當dx靠近自己時,函數在dx處的極限,叫作函數在dx處的微分。y=f(x)的微分又可記作dy=f(x)dx。即函數因變量的微分與自變量的微分之商等于該函數的導數,實際上就理解微分是導數再乘以dx即可。

擴展資料

  簡介

  在數學中,微分是對函數的局部變化率的一種線性描述。微分可以近似地描述當函數自變量的取值作足夠小的改變時,函數的值是怎樣改變的。

  微分與積分

  籠統的說,微分和積分是對函數的一種變換——從已知函數經過某種過程變成一個新的函數,是一種“定義域”和“值域”都是函數集合的映射(對應)。

  如果不考慮相差一個常數的話,微分和積分互為逆變換:對一個函數先求微分,再求積分,等于其本身;對一個函數先求積分,再求微分,等于其本身。除法是乘法的逆運算,積分是微分的逆運算。就像在整數的范圍內乘法一定可行而除法不一定可行(比如5除以3,結果超出了整數范圍。)一樣,在初等函數的范圍內,微分一定可行,但是積分卻不一定可行(比如對初等函數e^(-x^2)求積分,結果超出了初等函數的范圍)。

  說明一下,初等函數,就是常數函數(e.g.y=3)、指數函數(e.g.y=e^x)、對數函數(e.g.y=lnx)、各種三角反三角函數、冪函數(e.g.y=x^2) 經過有限次加、減、乘、除、復合后所得到的函數。微分學的應用包括:求一曲線在給定點的切線,求一曲面在給定點的切面,已知路程函數求速度和加速度等;積分學的應用包括:求曲線長度,求曲面面積(包括某些平面圖形比如說圓的面積),求立體體積,已知加速度函數求速度和路程等。

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