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怎么證明一個(gè)數(shù)是無理數(shù)

回答
瑞文問答

2024-07-10

證明根號(hào)2是無理數(shù):若根號(hào)2是有理數(shù),則設(shè)它等于m/n(m、n為不為零的整回?cái)?shù),m、n互質(zhì)),(m/n)^2=根號(hào)2 ^2 =2, m^2/n^2=2,m^2=2*n^2,即 m^2是偶數(shù),設(shè)m=2k,m^2=4k^2=2n^2,n^2=2k^2,即n是偶數(shù),所以根號(hào)2不是有理數(shù),它是無理數(shù)。

擴(kuò)展資料

  無理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù),即無限不循環(huán)小數(shù). 如圓周率、2的平方根等.

怎么證明一個(gè)數(shù)是無理數(shù)

  有理數(shù)是所有的分?jǐn)?shù),整數(shù),它們都可以化成有限小數(shù),或無限循環(huán)小數(shù).如7/22等。

  1、把有理數(shù)和無理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí),有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù),比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無理數(shù)只能寫成無限不循環(huán)小數(shù),比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn),人們把無理數(shù)定義為無限不循環(huán)小數(shù)。

  2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比;而無理數(shù)不能.根據(jù)這一點(diǎn),有人建議給無理數(shù)摘掉“無理”的帽子,把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”,把無理數(shù)改叫為“非比數(shù)”。本來嘛,無理數(shù)并不是不講道理,只是人們最初對(duì)它不太了解罷了。

  利用有理數(shù)和無理數(shù)的主要區(qū)別,可以證明√2是無理數(shù).

  證明:假設(shè)√2不是無理數(shù),而是有理數(shù).

  既然√2是有理數(shù),它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式:√2=p/q

  又由于p和q沒有公因數(shù)可以約去,所以可以認(rèn)為p/q 為最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù),即最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)形式。

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