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二階導數等于零的意義

回答
瑞文問答

2024-08-10

當一階導數等于0,而二階導數大于0時,為極小值點。當一階導數等于0,而二階導數小于0時,為極大值點;當一階導數和二階導數都等于0時,為駐點。

擴展資料

  二階導數幾何意義

  (1)切線斜率變化的速度,表示的是一階導數的變化率。

  (2)函數的凹凸性(例如加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一側)。

  這里以物理學中的瞬時加速度為例:

  a=dv/dt=dx/dt根據定義有

  可如果加速度并不是恒定的,某點的加速度表達式就為:

  a=limΔt→0,Δv/Δt=dv/dt(即速度對時間的一階導數)

  又因為v=dx/dt,所以就有:

  a=dv/dt=dx/dt,即元位移對時間的二階導數

  將這種思想應用到函數中,即是數學所謂的二階導數

  f'(x)=dy/dx (f(x)的一階導數)

  f''(x)=dy/dx=d(dy/dx)/dx (f(x)的二階導數)

  二階導數的意義

  簡單來說,一階導數是自變量的變化率,二階導數就是一階導數的變化率,也就是一階導數變化率的變化率。

  連續函數的一階導數就是相應的切線斜率。一階導數大于0,則遞增;一階倒數小于0,則遞減;一階導數等于0,則不增不減。

  而二階導數可以反映圖象的凹凸。二階導數大于0,圖象為凹;二階導數小于0,圖象為凸;二階導數等于0,不凹不凸。

  結合一階、二階導數可以求函數的極值。當一階導數等于零,而二階導數大于零時,為極小值點;當一階導數等于零,而二階導數小于零時,為極大值點;當一階導數、二階導數都等于零時,為駐點。

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