(經(jīng)典)常用函數(shù)圖像15篇
常用函數(shù)圖像1
1.一定要留足時(shí)間讓學(xué)生自己作出二次函數(shù)的圖象
可能在教學(xué)過程中，有些教師會覺得作圖象是上一節(jié)課的重點(diǎn)，這一節(jié)主要是學(xué)生觀察、分析圖象，從而不讓學(xué)生畫圖象或者只是簡單的畫一兩個(gè)。這種做法看上去好像更加突出了重點(diǎn)、難點(diǎn)，卻沒有給學(xué)生探索與發(fā)現(xiàn)的過程，造成學(xué)生對于二次函數(shù)性質(zhì)的理解停留在表面，知識遷移相對薄弱，不利于培養(yǎng)學(xué)生自主研究二次函數(shù)的能力。
2. 相信學(xué)生并為學(xué)生提供充分展示自己的機(jī)會
在歸納二次函數(shù)性質(zhì)的'時(shí)候，也要充分的相信學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生大膽的用自己的語言進(jìn)行歸納，因?yàn)閷W(xué)生自己的發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)比老師直接講解要深刻得多。在教學(xué)過程中，要注重為學(xué)生提供展示自己聰明才智的機(jī)會，這樣也利于教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生分析問題解決問題的獨(dú)到見解，以及思維的誤區(qū)，以便指導(dǎo)今后的教學(xué)。課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和獲得學(xué)習(xí)能力放在教學(xué)首位，通過運(yùn)用各種啟發(fā)、激勵(lì)的語言，以及組織小組合作學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度。
3．注意改進(jìn)的方面
在讓學(xué)生歸納二次函數(shù)性質(zhì)的時(shí)候，學(xué)生可能會歸納得比較片面或者沒有找出關(guān)鍵點(diǎn)，教師一定要注意引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度進(jìn)行考慮，而且要組織學(xué)生展開充分的討論，把大家的觀點(diǎn)集中考慮，這樣非常有利于訓(xùn)練學(xué)生的歸納能力。
常用函數(shù)圖像2
一、說教材
1、教材的地位和作用
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心，而對數(shù)函數(shù)是高中階段所要研究的重要的基本函數(shù)之一。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及反函數(shù)的基礎(chǔ)上引入的，因此既是對上述知識的應(yīng)用，也是對函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步認(rèn)識與理解。對數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中都有許多應(yīng)用。本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生的知識體系更加完整、系統(tǒng)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)對數(shù)等提供了必要的基礎(chǔ)知識。
2、教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)
根據(jù)教學(xué)大綱要求，結(jié)合教材，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我制定了如下的教學(xué)目標(biāo)：
（1）知識目標(biāo)：掌握對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；初步學(xué)會用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決簡單的問題。
（2）能力目標(biāo)：滲透類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納等邏輯思維能力。
（3）情感目標(biāo)：構(gòu)造和諧的教學(xué)氛圍，增加互動，促進(jìn)師生情感交流，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，欣賞數(shù)學(xué)的精確和美妙之處，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。
3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)中對于在《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿與《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿兩種情況函數(shù)值的不同變化。
二、說教法
學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過程中始終是認(rèn)知的主體和發(fā)展的主體，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，應(yīng)充分地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，對于本節(jié)課我主要考慮了以下兩個(gè)方面：
1、教學(xué)方法：
（1）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察、聯(lián)想、思考、分析、歸納；
（2）采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法；
（3）滲透數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法。
（4）用探究性教學(xué)、提問式教學(xué)和分層教學(xué)
2、教學(xué)手段：
計(jì)算機(jī)多媒體輔助教學(xué)。
三、說學(xué)法
“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學(xué)生受益終身。本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時(shí)間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：
（1）探究定向性學(xué)習(xí)：學(xué)生在教師建立的情境下，通過思考、分析、操作、探索，歸納得出對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
（2）主動式學(xué)習(xí)：學(xué)生自己歸納得出對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。
四、說教程
1、溫故知新
我通過復(fù)習(xí)y＝log2x和y＝log0。5x的圖像，讓學(xué)生熟悉兩個(gè)具體的對數(shù)函數(shù)的圖像。
設(shè)計(jì)意圖：這與本節(jié)內(nèi)容有密切關(guān)系，有利于引出新課。為學(xué)生理解新知清除了障礙，有意識地培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力。
2、探求新知
研究對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)。關(guān)鍵是學(xué)生自主的對函數(shù)《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿和《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿的'圖像分析歸納，引導(dǎo)學(xué)生填寫表格（該表格一列填有《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿在《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿及《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿兩種情況下的圖像與性質(zhì)），采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法，歸納總結(jié)出《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿的圖像與性質(zhì)。
在學(xué)生得出對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)后，教師再加以升華，強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”記憶其性質(zhì)，做到“心中有圖”。另外，對于對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3和性質(zhì)4在用多媒體演示時(shí)，有意識地用（1）（2）進(jìn)行分類表示，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識。
設(shè)計(jì)意圖：教師建立了一個(gè)有助于學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探究的情境，學(xué)生通過觀察、聯(lián)想、思考、分析、探索，在此過程中，這充分體現(xiàn)了探究定向性學(xué)習(xí)和主動合作式學(xué)習(xí)。
3、課堂研究，鞏固應(yīng)用
例1主要利用對數(shù)函數(shù)《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿的定義域是《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿來求解。
例2利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)同底對數(shù)值的大小。在這個(gè)例題中，注意第三小題的點(diǎn)撥，選擇和中間量0或1比較，第四小題要分底數(shù)《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿及《對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)》說課稿兩種情況。
例3解對數(shù)不等式，實(shí)際是例2的一種逆向運(yùn)算，已知對數(shù)值的大小，比較真數(shù)，任然要使用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。
設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生可以加深對本節(jié)知識的理解和運(yùn)用，在此過程中充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法。同時(shí)為課外研究題的解決提供了必要條件，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)對數(shù)不等式埋下伏筆。
4、鞏固練習(xí)
使學(xué)生學(xué)會知識的遷移，兩個(gè)練習(xí)緊扣本節(jié)內(nèi)容，利用課堂研究中體現(xiàn)的重要的數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生課后完全有能力解決這個(gè)問題。
5、課堂小結(jié)
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識回顧，使學(xué)生對本節(jié)課有一個(gè)整體把握。從兩方面進(jìn)行小結(jié)：
（1）掌握對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法；
（2）會利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)同底對數(shù)值的大小，初步學(xué)會對數(shù)不等式的
解法，體會分類討論的思想方法。
6、作業(yè)：p97習(xí)題3，4，5
選做題6題
常用函數(shù)圖像3
一、教材分析
1、教學(xué)目標(biāo)：
（1）、能用列表、描點(diǎn)的方法探究反比例函數(shù)的圖象，并會畫出反比例函數(shù)的圖象。 （2）、進(jìn)一步理解函數(shù)的3種表示方法，即列表法、解析式法和圖象法及各自的特點(diǎn)。
（3）、經(jīng)歷畫圖、觀察、猜想、思考等數(shù)學(xué)活動，向?qū)W生滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法。
2、重點(diǎn)：畫反比例函數(shù)的圖象。
3、難點(diǎn)：根據(jù)反比例函數(shù)圖象初步感知反比例函數(shù)的性質(zhì)。
二、教后反思
1、優(yōu)點(diǎn)： （1）、讓學(xué)生經(jīng)歷“回憶——對比——猜想——分析——驗(yàn)證”的思維過程。先讓學(xué)生畫一次函數(shù)y=2x+4的圖象。回憶函數(shù)圖象的.畫法（列表，描點(diǎn)，連線），再讓學(xué)生猜想 的圖象，并引導(dǎo)學(xué)生圍繞圖象點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的符號特征，來預(yù)測它的圖象，并與y=2x+4的圖象進(jìn)行對比，最后，學(xué)生帶著疑問進(jìn)行探索，畫 的圖象，并最終驗(yàn)證了自己的猜想。
（2）、在學(xué)生親手畫出一次函數(shù)y=2x+4的圖象后，通過對比辨析反比例函數(shù)的圖象概念及其特點(diǎn)，使學(xué)生得到深刻的認(rèn)識和理解。
（3）、無限接近的理解。這是難點(diǎn)，學(xué)生沒有生活經(jīng)驗(yàn)。為了增加學(xué)生的感性認(rèn)識，我拓展介紹了“無限可分和無限接近”的概念。并用直尺進(jìn)行演示，使學(xué)生對于“無限”的理解有了實(shí)例的依托。
（4）、在講解 的圖象是中心對稱圖形時(shí)，列舉了特殊的點(diǎn)來對比認(rèn)識其中心對稱性，讓學(xué)生真正理解。
2、不足：
（1）、反比例函數(shù)圖象的概念出示過早，特別是圖象的兩個(gè)分支在“一、三或二、四”象限時(shí)，學(xué)生沒有感性認(rèn)識。
（2）、學(xué)案設(shè)計(jì)有缺陷。直角坐標(biāo)系和表格準(zhǔn)備不當(dāng)，給學(xué)生在操作畫圖時(shí)帶來了不必要的干擾。影響了教學(xué)效果。
（3）、習(xí)題練習(xí)不充分，講解時(shí)學(xué)生的主動性沒有發(fā)揮。
3、改進(jìn)：
（1）、學(xué)生畫函數(shù)圖象時(shí)，細(xì)節(jié)不夠重視，教師可在課前把范例準(zhǔn)備好，
以便學(xué)生能夠?qū)Ρ劝l(fā)現(xiàn)自己的不足，進(jìn)而改進(jìn)。
（2）、對于反比例函數(shù)圖象的畫法，可讓學(xué)生先小組討論完成，這樣有助于學(xué)生對反比例函數(shù)的深入理解，也可為后續(xù)學(xué)習(xí)其性質(zhì)和應(yīng)用增加一些思維鍛煉。
（3）、學(xué)案設(shè)計(jì)要簡明，要求和步驟應(yīng)在學(xué)案上清楚表明，以便學(xué)生能夠清楚認(rèn)識學(xué)習(xí)的任務(wù)和步驟，也方便教師掌握教學(xué)進(jìn)度。 也許您也喜歡下面的內(nèi)容：
常用函數(shù)圖像4
各位領(lǐng)導(dǎo) 教師同仁：
我說課的內(nèi)容是正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像。
教材理解分析
《1,4.3 正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像》是人教社A版必修4第一章第4節(jié)的第3小節(jié)的內(nèi)容。是前面系統(tǒng)的學(xué)習(xí)了正弦與余弦函數(shù)的概念，圖像及其性質(zhì)以后滴內(nèi)容
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1、掌握正切函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
2、理解并掌握作正切函數(shù)圖象的方法;
3、體會類比、換元、數(shù)形結(jié)合等思想方法。
學(xué)情分析
由于我們文科平行班基礎(chǔ)不太好加之學(xué)習(xí)函數(shù)的圖像及性質(zhì)又是一個(gè)難點(diǎn)，自主學(xué)習(xí)必然會出現(xiàn)困難。加之教學(xué)時(shí)間緊，任務(wù)重，前面地學(xué)習(xí)也不是很好。
根據(jù)教材結(jié)構(gòu)和學(xué)情我對具體地教學(xué)過程和設(shè)計(jì)作如下說明：
在學(xué)法上大膽采用高效課堂模式，讓學(xué)生探究，大膽去掉非主線知識內(nèi)容，內(nèi)容程序盡量簡潔明了，一課一得，便于學(xué)生掌握。教學(xué)過程共有這樣幾個(gè)方面
一、復(fù)習(xí)引入
(1)畫出下列各角的正切線
(2)復(fù)習(xí)相關(guān)誘導(dǎo)公式
二、探究新知
探究一 正切函數(shù)的性質(zhì)
探究二 正切函數(shù)的`圖像
三、新知運(yùn)用
例1 求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間.
四、課堂練習(xí)
1、求函數(shù)y=tan3x的定義域，值域，單調(diào)增區(qū)間。
2、 觀察正切曲線，寫出滿足下列條件x的范圍：
(1) ; (2) ; (3)
五.小結(jié)與課后作業(yè)
常用函數(shù)圖像5
課程標(biāo)準(zhǔn)對這一節(jié)的要求：知識技能方面，理解直線y=kx+b與直線y=kx之間的位置關(guān)系；會畫出一次函數(shù)的圖象；掌握一次函數(shù)的性質(zhì)。數(shù)學(xué)思考方面，通過一次函數(shù)圖象歸納性質(zhì)，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用；解決問題方面，通過一次函數(shù)圖象和性質(zhì)的研究，體會數(shù)形結(jié)合法在問題解決中的應(yīng)用，并能運(yùn)用性質(zhì)、圖象及數(shù)形結(jié)合法解決相關(guān)函數(shù)問題。情感態(tài)度方面，體會數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，感受函數(shù)圖象的簡潔美；在探究活動中滲透與他人交流、合作的意識和探究精神。本節(jié)課教學(xué)重點(diǎn)是：一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)。難點(diǎn)是由一次函數(shù)的圖象歸納得出一次函數(shù)的性質(zhì)及對性質(zhì)的理解。
本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路是：通過6個(gè)活動，在復(fù)習(xí)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的定義、正比例函數(shù)圖象和性質(zhì)的`基礎(chǔ)上，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中描出正比例函數(shù)y=-6x和一次函數(shù)y=-6x+5的圖象，通過讓學(xué)生觀察比較去體驗(yàn)兩者之間的位置關(guān)系，得出一次函數(shù)的圖象是一條直線，并且函數(shù)y=kx+b的圖象實(shí)際是直線y=kx上所有點(diǎn)進(jìn)行了平移的結(jié)果。因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，通過活動3明白要做出一次函數(shù)的圖像只需要選取圖象和坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)就可以了。從而達(dá)到掌握一次函數(shù)圖象的畫法的目的。然后在同一直角坐標(biāo)系中畫出四個(gè)k和b取不同值的一次函數(shù)的圖象，進(jìn)一步鞏固一次函數(shù)圖象的畫法，同時(shí)觀察k和b的變化引起直線位置和變化趨勢的變化，使得一次函數(shù)的性質(zhì)這一教學(xué)重點(diǎn)自然浮出水面，水到渠成。再通過學(xué)生演板課后練習(xí)題，及時(shí)反饋教學(xué)效果，查缺補(bǔ)漏。設(shè)計(jì)一個(gè)思考題讓學(xué)有余力的學(xué)生對常數(shù)b也有一個(gè)較為深入的認(rèn)識。最后通過小結(jié)總結(jié)回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容養(yǎng)成整理知識的習(xí)慣。選作題設(shè)計(jì)目的是對作業(yè)進(jìn)行分層要求，使“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。
成功之處：通過復(fù)習(xí)舊知，達(dá)到承上啟下，引入新課之目的，教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)，由淺入深，循序漸進(jìn)，通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)，合作交流和教師的適度引導(dǎo)點(diǎn)撥，使學(xué)生達(dá)到“蹦一蹦能摘到桃子的效果”。一次函數(shù)K和b對圖象、性質(zhì)的影響。
常用函數(shù)圖像6
1 基本信息
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：△y/△x=k (△為任意不為零的實(shí)數(shù))，即函數(shù)圖像的斜率。
2.一次函數(shù)的表達(dá)式：y=kx+b
3.性質(zhì)：當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小。
當(dāng)b0時(shí)，該函數(shù)與y軸交于正半軸;
當(dāng)b0時(shí)，該函數(shù)與y軸交于負(fù)半軸
當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的截距。
4.一次函數(shù)定義域x∈R,值域f(x)∈R
5.一次函數(shù)在x∈R上的單調(diào)性：
若f(x)=kx+b,k0，則該函數(shù)在x∈R上單調(diào)遞增。
若f(x)=kx+b,k0，則該函數(shù)在x∈r上單調(diào)遞減。
2 函數(shù)性質(zhì)
1.y的變化值與對應(yīng)的x的變化值成正比例，比值為k
即：y=kx+b(k≠0) (k不等于0，且k，b為常數(shù))
2.當(dāng)x=0時(shí)，b為函數(shù)在y軸上的,坐標(biāo)為(0,b).
當(dāng)y=0時(shí)，該函數(shù)圖像在x軸上的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/k，0)
3.k為一次函數(shù)y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ為一次函數(shù)圖象與x軸正方向夾角,Θ≠90°)
形、取、象、交、減。
4.當(dāng)b=0時(shí)(即 y=kx)，一次函數(shù)圖像變?yōu)檎壤瘮?shù)，正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).
5.函數(shù)圖像性質(zhì)：當(dāng)k相同，且b不相等，圖像平行;
當(dāng)k不同，且b相等，圖像相交;
當(dāng)k互為負(fù)倒數(shù)時(shí)，兩直線垂直;
當(dāng)k，b都相同時(shí)，兩條直線重合。
3 圖像性質(zhì)
1.作法與圖形：通過如下3個(gè)步
(1)列表
(2)描點(diǎn)：一般取兩個(gè)點(diǎn),根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”的道理;
(3)連線，可以作出一次函數(shù)的.圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點(diǎn)，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與x軸和y軸的交點(diǎn)分別是-k分之b與0，0與b)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點(diǎn)P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b(k≠0)。(2)一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像都是過原點(diǎn)。
3.函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
4.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
y=kx時(shí)(即b等于0，y與x成正比，此時(shí)的圖像是是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線)
當(dāng)k0時(shí)，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;
當(dāng)k0時(shí)，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。
y=kx+b(k,b為常數(shù)，k≠0)時(shí)：
當(dāng) k0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，三象限。
當(dāng) k0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限。
當(dāng) k0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過一，二，四象限。
當(dāng) k0, 這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過二，三，四象限。
當(dāng)b0時(shí)，直線必通過一、三象限;
當(dāng)b0時(shí)，直線必通過二、四象限。
特別地，當(dāng)b=0時(shí)，直線通過原點(diǎn)O(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時(shí)，當(dāng)k0時(shí)，直線只通過一、三象限，不會通過二、四象限。當(dāng)k0時(shí)，直線只通過二、四象限，不會通過一、三象限。
4、特殊位置關(guān)系
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線平行時(shí)，其函數(shù)解析式中K值(即一次項(xiàng)系數(shù))相等.
當(dāng)平面直角坐標(biāo)系中兩直線垂直時(shí)，其函數(shù)解析式中K值互為負(fù)倒數(shù)(即兩個(gè)K值的乘積為-1.
常用函數(shù)圖像7
一、說教材
1、教材的地位和作用
函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心，而對數(shù)函數(shù)是高中階段所要研究的重要的基本初等函數(shù)之一．本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)過指數(shù)函數(shù)、對數(shù)及反函數(shù)的基礎(chǔ)上引入的，因此既是對上述知識的應(yīng)用，也是對函數(shù)這一重要數(shù)學(xué)思想的進(jìn)一步認(rèn)識與理解．對數(shù)函數(shù)在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中都有許多應(yīng)用．本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生的知識體系更加完整、系統(tǒng)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)對數(shù)方程、對數(shù)不等式等提供了必要的基礎(chǔ)知識．
2、教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)
根據(jù)教學(xué)大綱要求，結(jié)合教材，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我制定了如下的教學(xué)目標(biāo)：
（1）知識目標(biāo)：理解對數(shù)函數(shù)的意義；掌握對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)；初步學(xué)會用
對數(shù)函數(shù)的.性質(zhì)解決簡單的問題．
（2）能力目標(biāo)：滲透類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生觀察、
分析、歸納等邏輯思維能力．
（3）情感目標(biāo)：通過指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)在圖像與性質(zhì)上的對比，使學(xué)生欣賞數(shù)
學(xué)的精確和美妙之處，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性．
3、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)的意義、圖像與性質(zhì)．
難點(diǎn)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)中對于在與兩種情況函數(shù)值的不同變化．
二、說教法
學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過程中始終是認(rèn)知的主體和發(fā)展的主體，教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的指導(dǎo)者，應(yīng)充分地調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性，有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法．根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，對于本節(jié)課我主要考慮了以下兩個(gè)方面：
1、教學(xué)方法：
（1）啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)、觀察、聯(lián)想、思考、分析、歸納；
（2）采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法；
（3）滲透類比、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想方法．
2、教學(xué)手段：
計(jì)算機(jī)多媒體輔助教學(xué)．
三、說學(xué)法
“授之以魚，不如授之以漁”，方法的掌握，思想的形成，才能使學(xué)生受益終身．本節(jié)課注重調(diào)動學(xué)生積極思考、主動探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動的時(shí)間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：
（1）類比學(xué)習(xí)：與指數(shù)函數(shù)類比學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
（2）探究定向性學(xué)習(xí)：學(xué)生在教師建立的情境下，通過思考、分析、操作、探索，
歸納得出對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
（3）主動合作式學(xué)習(xí)：學(xué)生在歸納得出對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)時(shí)，通過小組討論，
使問題得以圓滿解決．
四、說教程
1、溫故知新
我通過復(fù)習(xí)細(xì)胞分裂問題，由指數(shù)函數(shù)引導(dǎo)學(xué)生逐步得到對數(shù)函數(shù)的意義及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系：互為反函數(shù)．
設(shè)計(jì)意圖：既復(fù)習(xí)了指數(shù)函數(shù)和反函數(shù)的有關(guān)知識，又與本節(jié)內(nèi)容有密切關(guān)系，
有利于引出新課．為學(xué)生理解新知清除了障礙，有意識地培養(yǎng)學(xué)生
分析問題的能力．
2、探求新知
在理解對數(shù)函數(shù)的意義的基礎(chǔ)上，研究對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．關(guān)鍵是抓住對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的關(guān)系，圖像關(guān)于直線對稱，從而作出對數(shù)函數(shù)的圖像．由學(xué)生自主作出對數(shù)函數(shù)和的圖像后，引導(dǎo)學(xué)生填寫所發(fā)表格（該表格一列填有在及兩種情況下的圖像與性質(zhì)），通過類比學(xué)習(xí)，小組討論，采用“從特殊到一般”、“從具體到抽象”的方法，歸納總結(jié)出的圖像與性質(zhì)．
在學(xué)生得出對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)后，教師再加以升華，強(qiáng)調(diào)“數(shù)形結(jié)合”記憶其性質(zhì)，做到“心中有圖”．另外，對于對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)3和性質(zhì)4在用多媒體演示時(shí)，有意識地用（1）（2）進(jìn)行分類表示，培養(yǎng)學(xué)生的分類意識．
設(shè)計(jì)意圖：教師建立了一個(gè)有助于學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立探究的情境，學(xué)生通過動手操作、
觀察、聯(lián)想、類比、思考、分析、探索，在此過程中，通過小組討論，
協(xié)作構(gòu)建起新的知識．這充分體現(xiàn)了基于建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的探究定
向性學(xué)習(xí)和主動合作式學(xué)習(xí)．
3、課堂研究，鞏固應(yīng)用
例1主要利用對數(shù)函數(shù)的定義域是來求解．在這個(gè)例題中，重點(diǎn)、難點(diǎn)是第三小題的理解．這一小題是課后練習(xí)“求函數(shù)（其中）的定義域”這道題目的變形．我覺得讓學(xué)生直接解決課后練習(xí)有較大困難，因此設(shè)計(jì)了“求函數(shù)的定義域”這一小題；理解了這個(gè)小題，課后練習(xí)也就迎刃而解了．而在解題過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)求解不等式是一個(gè)難點(diǎn)．我在解決這一難點(diǎn)時(shí)，采用了兩種方法：一是啟發(fā)學(xué)生將“0”寫成1的對數(shù)，并且是寫成，這樣就可以利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出不等式的解，最后向?qū)W生介紹不等式是一個(gè)對數(shù)不等式；二是引導(dǎo)學(xué)生觀察對數(shù)函數(shù)的圖像，通過數(shù)形結(jié)合來求解不等式．
例2利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，比較兩個(gè)同底對數(shù)值的大小．在這個(gè)例題中，注意第三小題的點(diǎn)撥，要分底數(shù)及兩種情況．
設(shè)計(jì)意圖：通過這個(gè)環(huán)節(jié)學(xué)生可以加深對本節(jié)知識的理解和運(yùn)用，在此過程中充
分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．同時(shí)為課外研究題的
解決提供了必要條件，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)對數(shù)不等式埋下伏筆．
4、課外研究
使學(xué)生學(xué)會知識的遷移，利用課堂研究中體現(xiàn)的重要的數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)生課后完全有能力解決這個(gè)問題．
5、課堂小結(jié)
引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識回顧，使學(xué)生對本節(jié)課有一個(gè)整體把握．從三方面進(jìn)行小結(jié)：
（1）理解對數(shù)函數(shù)的意義；
（2）掌握對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，體會類比、數(shù)形結(jié)合的思想方法；
（3）會利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較兩個(gè)同底對數(shù)值的大小，初步學(xué)會對數(shù)不等式的
解法，體會分類討論的思想方法．
6、課外作業(yè)
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常用函數(shù)圖像8
教材分析
三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，是函數(shù)大家庭的一員。除了基本初等函數(shù)的共性外，三角函數(shù)也有其個(gè)性的特征，如圖像、周期性、單調(diào)性等，所以本節(jié)內(nèi)容有著承上啟下的作用；另外，學(xué)習(xí)完三角函數(shù)的定義之后，必然要研究其性質(zhì)，而研究函數(shù)的性質(zhì)最常用、最形象直觀的方法就是作出其圖像，再通過圖像研究其性質(zhì)。由于正弦線、余弦線已經(jīng)從“形”的角度描述了三角函數(shù),因此利用單位圓中的三角函數(shù)線畫正弦函數(shù)圖象是一個(gè)自然的想法.當(dāng)然,我們還可以通過三角函數(shù)的定義、三角函數(shù)值之間的內(nèi)在聯(lián)系性等來作圖,從畫出的圖形中觀察得出五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),得到“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的簡圖. 教學(xué)目標(biāo)
1.通過簡諧振動實(shí)驗(yàn)演示,讓學(xué)生對函數(shù)圖像有一些直觀的感知,形成正弦曲線的初步認(rèn)識,進(jìn)而探索正弦曲線準(zhǔn)確的作法,養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)、善于探究的良好習(xí)慣.學(xué)會遇到新問題時(shí)善于調(diào)動所學(xué)過的知識,較好地運(yùn)用新舊知識之間的聯(lián)系,提高分析問題、解決問題的能力.
2.通過本節(jié)學(xué)習(xí),理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.借助圖象變換,了解函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過三角函數(shù)圖象的三種畫法:描點(diǎn)法、幾何法、五點(diǎn)法,體會用“五點(diǎn)法”作圖給我們學(xué)習(xí)帶來的好處,并會熟練地畫出一些較簡單的函數(shù)圖象.
3.通過本節(jié)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)中的圖形美,體驗(yàn)善于動手操作、合作探究的學(xué)習(xí)方法帶來的成功愉悅.滲透由抽象到具體的思想,加深數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識,理解動與靜的辯證關(guān)系,樹立科學(xué)的辯證唯物主義觀. 重點(diǎn)難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象.
教學(xué)難點(diǎn):將單位圓中的正弦線通過平移轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)圖象上的點(diǎn);正弦函數(shù)與余弦函數(shù)圖象間的關(guān)系.
教學(xué)用具：多媒體教學(xué)、幾何畫板軟件、ppt控件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課
1.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)首先復(fù)習(xí)相關(guān)準(zhǔn)備知識：三角函數(shù)、三角函數(shù)線。遇到一個(gè)新的函數(shù),非常自然的是畫出它的圖象,觀察圖象的形狀,看看有什么特殊點(diǎn),并借助圖象研究它的性質(zhì),如:值域、單調(diào)性、奇偶性、最大值與最小值等.我們也很自然的想知道y=sinx與y=cosx的圖象是怎樣的呢?回憶我們是如何畫出它們圖象的(列表描點(diǎn)法:列表、描點(diǎn)、連線)?
2.(物理實(shí)驗(yàn)導(dǎo)入)視頻觀看“簡諧運(yùn)動”實(shí)驗(yàn).得到一條曲線,它就是簡諧運(yùn)動的圖象.物理中把簡諧運(yùn)動的圖象叫做“正弦曲線”或“余弦曲線”.有了上述實(shí)驗(yàn),你對正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象是否有了一個(gè)直觀的印象?畫函數(shù)的圖象,最基本的方法是我們以前熟知的列表描點(diǎn)法,但不夠精確.下面我們利用正弦線畫出比較精確的正弦函數(shù)圖象. 推進(jìn)新課
新知探究 提出問題
問題①:作正弦函數(shù)圖象的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是查三角函數(shù)表得到的數(shù)值,由于對一般角的三角函數(shù)值都是近似值,不易描出對應(yīng)點(diǎn)的精確位置.我們?nèi)绾蔚玫饺我饨堑娜呛瘮?shù)值并用線段長(或用有向線段數(shù)值)表示x角的三角函數(shù)值?怎樣得到函數(shù)圖象上點(diǎn)的兩個(gè)坐標(biāo)的準(zhǔn)確數(shù)據(jù)呢?簡單地說,就是如何得到y(tǒng)=sinx,x∈［0,2π］的精確圖象呢?
問題②:如何得到y(tǒng)=sinx,x∈R時(shí)的圖象?
對問題①,第一步,可以想象把單位圓圓周剪開并12等分,再把x軸上從0到2π這一段分成12等份.由于單位圓周長是2π,這樣就解決了橫坐標(biāo)問題.過⊙O1上的各分點(diǎn)作x軸的垂線,就可以得到對應(yīng)于0、2π等角的正弦線,這樣就解決了縱坐標(biāo)問題(相6432當(dāng)于“列表”).第二步,把角x的正弦線向右平移,使它的'起點(diǎn)與x軸上的點(diǎn)x重合,這就得到了函數(shù)對(x,y)(相當(dāng)于“描點(diǎn)”).第三步,再把這些正弦線的終點(diǎn)用平滑曲線連接起來,我們就得到函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的一段光滑曲線(相當(dāng)于“連線”).如圖1所示(這一過程用課件演示,讓學(xué)生仔細(xì)觀察怎樣平移和連線過程.然后讓學(xué)生動手作圖,形成對正弦函數(shù)圖象的感知).這是本節(jié)的難點(diǎn),教師要和學(xué)生共同探討
對問題②,因?yàn)榻K邊相同的角有相同的三角函數(shù)值,所以函數(shù)y=sinx在x∈[2kπ,2(k+1)π],k∈Z且k≠0上的圖象與函數(shù)y=sinx在x∈[0,2π]上的圖象的形狀完全一致,只是位置不同.于是我們只要將函數(shù)y=sinx,x∈[0,2π］的圖象向左、右平行移動(每次2π個(gè)單位長度),就可以得到正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象.(這一過程用課件處理,讓同學(xué)們仔細(xì)觀察整個(gè)圖的形成過程,感知周期性)
操作結(jié)果、總結(jié)提煉:①利用正弦線,通過等分單位圓及平移即可得到y(tǒng)=sinx,x∈［0,2π］的圖象. ②左、右平移,每次2π個(gè)長度單位即可. 提出問題
如何畫出余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象?你能從正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系出發(fā),利用正弦函數(shù)圖象得到余弦函數(shù)圖象嗎?
意圖:如果再用余弦線作余弦函數(shù)的圖象那太麻煩了,根據(jù)已學(xué)的知識,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察誘導(dǎo)公式,思考探究兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系,通過怎樣的坐標(biāo)變換可得到余弦函數(shù)圖象?讓學(xué)生從函數(shù)解析式之間的關(guān)系思考,進(jìn)而學(xué)習(xí)通過圖象變換畫余弦函數(shù)圖象的方法.讓學(xué)生動手做一做,體會正弦函數(shù)圖象與余弦函數(shù)圖象的異同,感知兩個(gè)函數(shù)的整體形狀,為下一步學(xué)習(xí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ). 討論結(jié)果:
把正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象向左平移個(gè)單位長度即可得到余弦函數(shù)圖象
正弦函數(shù)y=sinx,x∈R的圖象和余弦函數(shù)y=cosx,x∈R的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線點(diǎn).
提出問題 問題①:以上方法作圖,雖然精確,但不太實(shí)用,自然我們想尋求快捷地畫出正弦函數(shù)圖象的方法.你認(rèn)為哪些點(diǎn)是關(guān)鍵性的點(diǎn)? 問題②:你能確定余弦函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn),并作出它在［0,2π］上的圖象嗎? 活動:對問題①,教師可引導(dǎo)學(xué)生從圖象的整體入手觀察正弦函數(shù)的圖象,發(fā)現(xiàn)在［0,2π］上有五個(gè)點(diǎn)起關(guān)鍵作用,只要描出這五個(gè)點(diǎn)后,函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖象的形狀就基本上確定了.這五點(diǎn)如下: (0,0),(3,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
因此,在精確度要求不太高時(shí),我們常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn),然后用光滑的曲線將它們連接起來,就可快速得到函數(shù)的簡圖.這種近似的“五點(diǎn)(畫圖)法”是非常實(shí)用的,要求熟練掌握.
對問題②,引導(dǎo)學(xué)生通過類比,很容易確定在［0,2π］上起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn),并指導(dǎo)學(xué)生通過描這五個(gè)點(diǎn)作出在［0,2π］上的圖象. 討論結(jié)果:①略. ②關(guān)鍵點(diǎn)也有五個(gè),它們是:(0,1),(3,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
學(xué)生練習(xí)鞏固：1。用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=sinx在［0,2π］上的圖象；2. 用五點(diǎn)法作出函數(shù)y=cosx
在［0,2π］上的圖象 應(yīng)用示例
例1 畫出下列函數(shù)的簡圖 (1)y=1+sinx,x∈[0,2π];(2)y=-cosx,x∈[0,2π]描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來
課堂小結(jié)
以提問的方式,先由學(xué)生反思學(xué)習(xí)內(nèi)容并回答,教師再作補(bǔ)充完善.
1.怎樣利用“周而復(fù)始”的特點(diǎn),把區(qū)間［0,2π］上的圖象擴(kuò)展到整個(gè)定義域的?
2.如何利用圖象變換從正弦曲線得到余弦曲線?
這節(jié)課學(xué)習(xí)了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的畫法.除了它們共同的代數(shù)描點(diǎn)法、幾何描點(diǎn)法之外,余弦函數(shù)圖象還可由平移交換法得到.“五點(diǎn)法”作圖是比較方便、實(shí)用的方法,應(yīng)熟練掌握.數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法.
3.課后請同學(xué)們利用三角函數(shù)線（把單位圓8等分）來作出正弦函數(shù)圖象？（思考為什么要進(jìn)行8等分）
教學(xué)反思：
這節(jié)課從整體上看，比較圓滿完成了既定的教學(xué)目標(biāo)：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像，以及掌握五點(diǎn)法，利用五點(diǎn)法作出函數(shù)的圖像，注意函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生掌握了三角函數(shù)的定義之后，自然而然就會去研究函數(shù)的性質(zhì)，而研究函數(shù)的性質(zhì)一般從函數(shù)的圖像入手，本節(jié)課學(xué)生的動手操作要求較高，需要學(xué)生在練習(xí)本上畫圖；這節(jié)課從教學(xué)過程看，邏輯行強(qiáng)，過渡比較自然，幻燈片制作精美，特別是幾何畫板的控件，讓學(xué)生能夠直觀看到圖像的變化趨勢，還有電子白板的靈活運(yùn)用，可以使用新建屏幕頁，讓學(xué)生看到我們老師如何操作，給學(xué)生示范。
當(dāng)然，在教學(xué)中也存在一些問題：前面復(fù)習(xí)回顧的內(nèi)容用時(shí)過多，導(dǎo)致后面的時(shí)間有些緊，例題可以講一個(gè)詳細(xì)的，后面讓學(xué)生完成；正弦函數(shù)的圖像分析透徹之后，對于余弦函數(shù)可以略講。
常用函數(shù)圖像9
一、教學(xué)內(nèi)容分析
本節(jié)內(nèi)容是高一數(shù)學(xué)必修4（蘇教版）第三章《三角恒等變換》第一節(jié)的內(nèi)容，重點(diǎn)放在兩角差的余弦公式的推導(dǎo)和證明上，其次是利用公式解決一些簡單的三角函數(shù)問題。 在學(xué)習(xí)本章之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角函數(shù)及向量的有關(guān)知識，從而為溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的聯(lián)系提供了重要的工具。本章我們將使用這些工具探討三角函數(shù)值的運(yùn)算。本節(jié)內(nèi)容不僅是推導(dǎo)正弦和（差）角公式、正切和（差）角公式及倍角公式的基礎(chǔ)，對于三角變換，三角恒等式的證明，三角函數(shù)式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用，而且其推導(dǎo)過程本身就具有重要的教育價(jià)值。
二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析
本節(jié)課的主要內(nèi)容是“兩角差的余弦公式的推導(dǎo)及證明”，用到的工具有“單位圓中三角函數(shù)的定義”和“平面向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示”，都屬于基礎(chǔ)知識，內(nèi)容簡單，容易理解和接受。但是在向量法證明的過程中，向量夾角的范圍是[0，π]，與兩角差α-β的范圍不一致，學(xué)生對角的范圍說明不清，是本節(jié)課的難點(diǎn)。
三、設(shè)計(jì)思想
教學(xué)理念：以“研究性學(xué)習(xí)”為載體，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、小組合作的能力。
教學(xué)原則：注重學(xué)生自主學(xué)習(xí)與探究能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)學(xué)生個(gè)性的發(fā)展與小組合作共性的融合。
教學(xué)方法：先學(xué)后教，小組合作，師生互動。
四、教學(xué)目標(biāo)
知識與技能：了解用向量法推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，掌握兩角和（差）的余弦公式并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)式的化簡、求值。
過程與方法：自主探究兩角差的余弦公式的表現(xiàn)形式，經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式的過程，并能獨(dú)立利用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化歸思想在三角變換中的作用。
情感態(tài)度與價(jià)值觀：體驗(yàn)和感受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，感悟事物之間普遍聯(lián)系和轉(zhuǎn)化的關(guān)系。
五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn)：兩角差的'余弦公式的推導(dǎo)及證明。
難點(diǎn)：引入向量法證明兩角差的余弦公式及兩角差范圍的說明。
六、教學(xué)程序設(shè)計(jì)
1.情境創(chuàng)設(shè)，課上展示。
課前探究：
課上展示：請同學(xué)們展示一下課前所得到的結(jié)果吧。
設(shè)計(jì)意圖：課前以問題串的形式給學(xué)生指明研究方向。問題層層遞進(jìn)，從特殊到一般，使學(xué)生的研究具有一定的坡度性。既讓學(xué)生容易上手，又讓學(xué)生在研究過程中慢慢深入與提高。
主要目的：讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)兩角差的余弦公式的表達(dá)形式。
通過課上展示，學(xué)生把課下研究出來的成果與全班同學(xué)共享，產(chǎn)生共鳴，為進(jìn)一步研究兩角差的余弦公式做好準(zhǔn)備，同時(shí)增強(qiáng)表達(dá)能力及自信心。
2.合作探究，小組展示。
探究一：兩角差的余弦公式的推導(dǎo)
問題4：問題2中我們所得到的結(jié)論對于任意角還成立嗎？你能證明嗎？
問題5：觀察我們得到結(jié)論的形式，你能聯(lián)想到什么呢？
探究二：兩角和的余弦公式的推導(dǎo)
問題6：你能根據(jù)差角的余弦公式推導(dǎo)出和角的余弦公式嗎？
問題7：比較差角的余弦公式與和角的余弦公式，它們在結(jié)構(gòu)上有何異同點(diǎn)？
通過小組展示，各個(gè)小組之間產(chǎn)生思維的碰撞，迸出火花，得到新的靈感與智慧。從而培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)協(xié)作與小組合作的能力。
3.鞏固知識，例題講解。
例1：利用兩角和與差的余弦公式證明下列誘導(dǎo)公式：
例3：化簡cos100°cos40°+sin80°sin40°
設(shè)計(jì)意圖：教師對各小組展示內(nèi)容做適當(dāng)點(diǎn)評，并且對“向量法證明的優(yōu)點(diǎn)”，“向量法證明過程的完善”，“向量法中向量夾角與兩角差的范圍的統(tǒng)一”做簡要講解。
例1，例2都是公式的直接應(yīng)用。例1讓學(xué)生體會誘導(dǎo)公式將余弦的和差角公式推導(dǎo)出正弦的和差角公式，為下節(jié)課埋下伏筆。例2中根據(jù)cos15°的值求sin15°的值，tan15°的值的過程都是為推導(dǎo)正弦和差公式，正切和差公式做鋪墊。
變式將例2中具體的角變成抽象的角，利用同角三角函數(shù)公式求解。在由sinα的值求cosα的值或由cosβ的值求sinβ的值時(shí)，要注意根據(jù)角的范圍確定三角函數(shù)值的符號。 例3：是公式的逆用，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，讓學(xué)生對公式結(jié)構(gòu)再認(rèn)識。
4.提升總結(jié)，鞏固練習(xí)。
提升總結(jié)：針對上面的3個(gè)例題，談?wù)勀銓W(xué)到了什么？
（2）利用兩角和差的余弦公式求值時(shí)，應(yīng)注意觀察、分析題設(shè)和公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，從整體上把握公式，靈活的運(yùn)用公式。
（3）在解題過程中，要注意角的范圍，確定三角函數(shù)值的符號，以防增根、漏根。 設(shè)計(jì)意圖：主要以學(xué)生總結(jié)為主，老師做適當(dāng)點(diǎn)評及補(bǔ)充。
七、教學(xué)反思
本節(jié)課主要以學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、小組合作為主，充分發(fā)揮了學(xué)生的自主探究能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力，提高了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、探究問題和解決問題的能力。情境創(chuàng)設(shè)中利用三個(gè)問題讓學(xué)生在課前提前熟悉本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容“是什么”，“我能得到哪些結(jié)論”，調(diào)動了學(xué)生的思維與學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)了學(xué)生的求知欲。但是
但是如果給出圖像，則又會限制數(shù)學(xué)優(yōu)秀的學(xué)生的解題思路與方法，這對矛盾是由學(xué)生的差異所決定的。教師在課堂上應(yīng)指導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，注意教學(xué)的示范性，明確解題的規(guī)范性，實(shí)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中知識的跨越。總之，教學(xué)有法，教無定法，貴在得法，為了提高課堂教學(xué)效率，我們要從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，以學(xué)法帶動教法，為高效課堂保駕護(hù)航。
常用函數(shù)圖像10
初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)和差化積公式表
數(shù)學(xué)公式的學(xué)習(xí)需要公式定理的積累外，還需要大家在試題中的運(yùn)用。
三角函數(shù)和差化積公式
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
初中數(shù)學(xué)的三角函數(shù)和差化積公式是我們在考試中經(jīng)常會遇見的解題公式。
初中數(shù)學(xué)正方形定理公式
關(guān)于正方形定理公式的內(nèi)容精講知識，希望同學(xué)們很好的掌握下面的內(nèi)容。
正方形的特征：
①正方形的四邊相等；
②正方形的四個(gè)角都是直角；
③正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；
正方形的判定：
①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
②有一組鄰邊相等的矩形是正方形。
希望上面對正方形定理公式知識的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握，相信同學(xué)們會取得很好的成績的哦。
初中數(shù)學(xué)平行四邊形定理公式
平行四邊形的性質(zhì)：
①平行四邊形的對邊相等；
②平行四邊形的對角相等；
③平行四邊形的對角線互相平分；
平行四邊形的判定：
①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
上面對數(shù)學(xué)中平行四邊形定理公式知識的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，相信同學(xué)們會從中學(xué)習(xí)的更好的哦。
初中數(shù)學(xué)直角三角形定理公式
直角三角形的性質(zhì)：
①直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角；
②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
③直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；
④直角三角形中30度
角所對的直角邊等于斜邊的一半；
直角三角形的判定：
①有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三邊長a、b 、c有下面關(guān)系a^2+b^2=c^2，那么這個(gè)三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
以上對數(shù)學(xué)直角三角形定理公式的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能考試成功。
初中數(shù)學(xué)等腰三角形的'性質(zhì)定理公式
等腰三角形的性質(zhì)：
①等腰三角形的兩個(gè)底角相等；
②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）
上面對等腰三角形的性質(zhì)定理公式的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們在考試中取得很好的成績。
初中數(shù)學(xué)三角形定理公式
對于三角形定理公式的學(xué)習(xí)，我們做下面的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)哦。
三角形
三角形的三邊關(guān)系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180度；
三角形的外角和定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）；
三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（外心）；
三角形中位線定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；
常用函數(shù)圖像11
尊敬的各位評委、各位老師：
大家好！今天我說課的題目是《二次函數(shù)的圖像》，這是北師大版必修1第二章的第四節(jié)課。下面我將圍繞本節(jié)課“教什么？”、“怎樣教？”、“為什么這樣教？”三個(gè)問題，從教材內(nèi)容、教法學(xué)法、教學(xué)過程這三個(gè)方面逐一分析說明。
一、教材內(nèi)容分析：
１、本節(jié)課內(nèi)容在整個(gè)教材中的地位和作用。
概括地講，二次函數(shù)的圖像在教材中起著承上啟下的作用，它的地位體現(xiàn)在它的思想的基礎(chǔ)性。一方面，本節(jié)課是對初中有關(guān)內(nèi)容的深化，為后面進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ)；另一方面，二次函數(shù)解析式中的系數(shù)由常數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)，使學(xué)生對二次函數(shù)的圖像由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，能培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。
2、教學(xué)目標(biāo)定位。
根據(jù)教學(xué)大綱要求、新課程標(biāo)準(zhǔn)精神和高一學(xué)生心理認(rèn)知特征，我確定了三個(gè)層面的教學(xué)目標(biāo)。第一個(gè)層面是基礎(chǔ)知識與能力目標(biāo)：理解二次函數(shù)的圖像中a、b、c、k、h的作用，能熟練地對二次函數(shù)的一般式進(jìn)行配方，會對圖像進(jìn)行平移變換，領(lǐng)會研究二次函數(shù)圖像的方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力，提高運(yùn)算和作圖能力；第二個(gè)層面是過程和方法：讓學(xué)生經(jīng)歷作圖、觀察、比較、歸納的學(xué)習(xí)過程，使學(xué)生掌握類比、化歸等數(shù)學(xué)思想方法，養(yǎng)成即能自主探索，又能合作探究的良好學(xué)習(xí)習(xí)慣；第三個(gè)層面是情感、態(tài)度和價(jià)值觀：在教學(xué)中滲透美的教育，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中學(xué)會與人相處，感受探索與創(chuàng)造，體驗(yàn)成功的喜悅。
3、教學(xué)重難點(diǎn)。
重點(diǎn)是二次函數(shù)各系數(shù)對圖像和形狀的影響，利用二次函數(shù)圖像平移的特例分析過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想和劃歸思想。難點(diǎn)是圖像的平移變換，關(guān)鍵是二次函數(shù)頂點(diǎn)式中h、k的正負(fù)取值對函數(shù)圖像平移變換的影響。
二、教法學(xué)法分析：
數(shù)學(xué)是發(fā)展學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生良好意志品質(zhì)和美好情感的重要學(xué)科，在教學(xué)中，我們不僅要使學(xué)生獲得知識、提高解題能力，還要讓學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下學(xué)會學(xué)習(xí)、樂于學(xué)習(xí)，感受數(shù)學(xué)學(xué)科的人文思想，感受數(shù)學(xué)的自然美。為了更好地體現(xiàn)在課堂教學(xué)中“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體”的教學(xué)關(guān)系和“以人為本，以學(xué)定教”的教學(xué)理念，在本節(jié)課的教學(xué)過程中，我將緊緊圍繞教師組織——啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生探究——交流發(fā)現(xiàn)，組織開展教學(xué)活動。為此，我設(shè)計(jì)了5個(gè)環(huán)節(jié)：①創(chuàng)設(shè)情景——引入新課；②交流探究——發(fā)現(xiàn)規(guī)律；③啟發(fā)引導(dǎo)——形成結(jié)論；④訓(xùn)練小結(jié)——深化鞏固；⑤思維拓展——提高能力。這五個(gè)環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、層層深入，注重關(guān)注整個(gè)過程和全體學(xué)生，充分調(diào)動了學(xué)生的.參與性。
三、教學(xué)過程分析：
1、創(chuàng)設(shè)情景——引入新課。
教學(xué)應(yīng)充分考慮學(xué)生的情感和需要，想方設(shè)法讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中樹立信心，感受學(xué)習(xí)樂趣。根據(jù)教材內(nèi)容，我首先出示20xx年高考題第20題，以需要畫y=2x圖像為引子，讓學(xué)生畫y=x和y=2x圖像，進(jìn)而比較這兩個(gè)圖像的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)為背景切入，一方面讓學(xué)生總結(jié)復(fù)習(xí)已有知識，為后面的學(xué)習(xí)做好鋪墊，另一方面，使學(xué)生在自己熟悉的問題中首先獲得解題成功的快樂體驗(yàn)，最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出函數(shù)y=x與y=ax圖像的關(guān)系，得出本節(jié)課的第一個(gè)知識點(diǎn)，即二次項(xiàng)系數(shù)a決定圖像的開口方向和開口大小。
由淺入深，下面讓學(xué)生畫y=2x，y=2（x+1）與y=2（x+1）+3的圖像并尋找它們的聯(lián)系，再讓學(xué)生與多媒體課件展示出的圖像進(jìn)行對比，最后總結(jié)出圖像的變換規(guī)律：a決定開口方向、h決定左右平移、k決定上下平移。由于二次函數(shù)的重要性，本節(jié)課我以考題為背景引入新課，可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，吸引學(xué)生的課堂注意力，可以讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在感受到高考題就在我們的課本中，就在我們平常的練習(xí)中。
2、探究交流——發(fā)現(xiàn)規(guī)律。
從特別到一般是我們發(fā)現(xiàn)問題、尋求規(guī)律、揭示本質(zhì)最常用的方法之一。讓學(xué)生做出y=2x與y=2x+4x-1的圖像，再與課件上的圖像對比并敘述二者之間的位置關(guān)系，得出結(jié)論：若二次函數(shù)的解析式為y=ax+bx+c，先將其化成y=a（x+h）+k的形式，從而判斷出y=ax+bx+c的圖像是如何由y=ax變換得到的。在課本第42頁例1（1）中要提醒學(xué)生注意，在含有參數(shù)的解析式y(tǒng)=a（x+h）+k中，頂點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)是(-h，k)，而不是(h，k)。所以，例1（1）中二次函數(shù)f(x)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是4，即-h=4，h=-4，括號里面就是x-4（這里容易出錯(cuò)）。例1（2）中h、k的值是已知的，只需要確定a的值就可以了。
３、啟發(fā)引導(dǎo)——形成結(jié)論。前面的練習(xí)和例題，基本涵蓋了二次函數(shù)圖像平移變換的各種情況，啟發(fā)并引導(dǎo)了學(xué)生將實(shí)例的結(jié)論進(jìn)行總結(jié)，得出y=x到y(tǒng)=ax，y=ax到y(tǒng)=a（x+h）+k,y=ax到y(tǒng)=ax+bx+c(其中，a均不為0)的圖像變化過程，即a>0開口向上，a<0開口向下；h正左移，h負(fù)右移；k正上移，k負(fù)下移。
４、練習(xí)小結(jié)——鞏固深化。為了鞏固和加深二次函數(shù)y=ax+bx+c中的a.b.c對圖像的影響，接下來組織學(xué)生進(jìn)行課題練習(xí)，完成課本44頁練習(xí)1—3題。上課時(shí)間有限，為保證在完成教學(xué)任務(wù)的前提下，讓學(xué)生充分練習(xí)和討論，我一直堅(jiān)持讓學(xué)生規(guī)范使用演草本。課堂上需要學(xué)生動手演練的地方不急于安排學(xué)生馬上討論，而是讓學(xué)生思考后將自己的答案整齊地寫在演草本上，然后小組內(nèi)四人相互交換進(jìn)行量分，因?yàn)槭窃谡n堂上，量分標(biāo)準(zhǔn)要簡單，我要求用30分的整分制。用時(shí)較短10分，書寫整齊規(guī)范10分，解答正確10分。這個(gè)過程中會產(chǎn)生學(xué)生之間的三次競爭: ①看誰解的快、用時(shí)最短；②看誰書寫的整齊；③看誰做的對。這個(gè)自己做和批閱的過程，也是學(xué)生對題目加深理解的過程。量完分后組織學(xué)生對不同解法進(jìn)行探究，這又會產(chǎn)生學(xué)生之間的第四次競爭，看誰的方法簡便，思維更嚴(yán)密。當(dāng)然做題時(shí)有的學(xué)生會做的很快，可以讓他們判斷黑板上演示學(xué)生的解題得分情況，這也促進(jìn)在黑板上演示的學(xué)生同下面學(xué)生之間的競爭。這個(gè)充滿競爭的過程其實(shí)也是教師通過演草本無形引導(dǎo)學(xué)生解決問題、收獲新知的過程，也是一個(gè)培養(yǎng)學(xué)生探究精神和思考、比較、辨別能力的過程，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)上的主人。這樣每節(jié)課都有競爭，能使學(xué)生發(fā)現(xiàn)自己在學(xué)習(xí)的長處，增強(qiáng)了自己的自信心，切實(shí)感受到了學(xué)習(xí)的樂趣，課堂才能真正的活起來。考試中，成績必然會逐步提高，能避免現(xiàn)在我們教學(xué)中學(xué)生“考試什么都不會，考完后什么都會”以及閱卷中發(fā)現(xiàn)的學(xué)生書寫凌亂的通病，經(jīng)過長期這樣的練習(xí)，每個(gè)學(xué)生練就了快思考、求準(zhǔn)確、寫整齊的能力。
5、延伸拓廣——提高能力。課堂教學(xué)既要面對全體學(xué)生，又應(yīng)關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異，體現(xiàn)分類推進(jìn)，分層教學(xué)原則。為此，我設(shè)計(jì)了一個(gè)提高練習(xí)題組，共兩道被選題目，以供學(xué)有余力的學(xué)生能夠更好的展示自己的解題能力，取得進(jìn)一步提高。
以上是我對本節(jié)課的一些粗淺的熟悉和構(gòu)想，如有不妥之處，懇請各位專家、各位同仁批評指正。
謝謝大家！
常用函數(shù)圖像12
從這節(jié)課的準(zhǔn)備來看，針對教學(xué)內(nèi)容從課題的引入、知識的呈現(xiàn)方式、學(xué)生的學(xué)習(xí)活動安排、知識的鞏固練習(xí)等多方面進(jìn)行了多次的修改。
通過課堂的實(shí)際實(shí)施感覺上也不是盡善盡美，還有令人不滿意的地方。教師應(yīng)該通觀教材，把握知識的脈絡(luò)體系，又要站在高于教材的位置統(tǒng)籌安排。這樣，教師才能靈活的把握課堂教學(xué)。而現(xiàn)在，教師缺乏的正是這一點(diǎn)，還是為了教而教。按部就班，設(shè)計(jì)的條條框框較多，多了一些穩(wěn)重，少了一些靈活。而在課堂上，教師面對的是數(shù)十名學(xué)生，師生之間、生生之間考慮問題的角度、方式要靈活的多、開放的多，有可能教師固定的設(shè)計(jì)會影響到學(xué)生的思維發(fā)展。從這一角度講，教師應(yīng)在把握知識的基礎(chǔ)上。結(jié)合學(xué)生的表現(xiàn)，靈活多樣的處理知識。學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，學(xué)生活動是新教材的一大特點(diǎn)。新教材在知識安排上，往往從實(shí)例引入，抽象出數(shù)學(xué)模型。通過學(xué)生的觀察、分析、比較、歸納，探究知識的發(fā)生、發(fā)展、形成的過程，得出結(jié)論，并能運(yùn)用解決實(shí)際問題。側(cè)重于學(xué)生能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生知道學(xué)什么，如何學(xué)。因此，教學(xué)過程中，如何安排學(xué)生的學(xué)習(xí)活動至關(guān)重要，本節(jié)課，學(xué)生活動設(shè)計(jì)了三個(gè)方面。一是通過畫函數(shù)圖象理解一次函數(shù)圖象的形狀，二是兩點(diǎn)法畫一次函數(shù)的圖象，三是探究一次函數(shù)的圖象與k、b符號的關(guān)系。
在學(xué)生活動中，如何調(diào)動學(xué)生的積極性、互動性，提高學(xué)生活動的實(shí)效性。值得老師們探討。為了達(dá)到上述目的，我結(jié)合每個(gè)活動，都給學(xué)生明確的目的和要求，而且提供操作性很強(qiáng)的程序和題目。如在活動一中，要求學(xué)生觀察圖象的.形狀，兩條直線的位置關(guān)系。
在活動二中，強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)法（直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)）畫直線。在活動三中，探究k、b符號與直線經(jīng)過的象限與增減性的關(guān)系。學(xué)生目標(biāo)明確，操作性強(qiáng)，受到了較好的效果。本節(jié)課的重點(diǎn)是由一次函數(shù)的解析式確定函數(shù)圖象，研究函數(shù)性質(zhì)。由函數(shù)圖象的位置判斷解析式中k、b符號。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中非常重要地?cái)?shù)形結(jié)合的思想。這段內(nèi)容的教學(xué)，還是從學(xué)生活動出發(fā)，從具體的實(shí)例研究起，觀察圖象的位置和性質(zhì)，在按照k、b的符號分類討論，使學(xué)生建立起數(shù)形之間的聯(lián)系。還要找到數(shù)形間的結(jié)合點(diǎn)，明確k的符號決定直線的什么位置，b的符號又決定了什么。為了加深學(xué)生對知識的理解，課上設(shè)計(jì)了由解析式畫函數(shù)圖象的草圖，由草圖的位置判斷解析式中k、b的符號的練習(xí)，收到了一定的效果。
常用函數(shù)圖像13
1數(shù)軸
11 有向直線
在科學(xué)技術(shù)和日常生活中,為了區(qū)別一條直線的兩個(gè)不同方向,可以規(guī)定其中一方向?yàn)檎?另一方向?yàn)樨?fù)相
規(guī)定了正方向的直線,叫做有向直線,讀作有向直線l
12 數(shù)軸
我們把數(shù)軸上任意一點(diǎn)所對應(yīng)的實(shí)數(shù)稱為點(diǎn)的坐標(biāo)
對于每一個(gè)坐標(biāo)(實(shí)數(shù)),在數(shù)周上可以找到唯一的點(diǎn)與之對應(yīng)這就是直線的坐標(biāo)化
數(shù)軸上任意一條有向線段的數(shù)量等于它的終點(diǎn)坐標(biāo)與起點(diǎn)坐標(biāo)的差任意一條有向線段的長度等于它兩個(gè)斷電坐標(biāo)差的絕對值
2 平面直角坐標(biāo)系
21 平面的直角坐標(biāo)化
在平面內(nèi)任取一點(diǎn)o為作為原點(diǎn)(基準(zhǔn)點(diǎn)),過o引兩條互相垂直的,以o為公共原點(diǎn)的數(shù)軸,一般地,兩個(gè)數(shù)軸選取相同的單位長度這樣就構(gòu)成了一個(gè)平面直角坐標(biāo)系x軸叫橫軸,y軸叫縱軸,它們都叫直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸;公共原點(diǎn)o稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);我們把建立了直角坐標(biāo)系的平面叫直角坐標(biāo)平面簡稱坐標(biāo)平面兩坐標(biāo)軸把坐標(biāo)平面分成四個(gè)部分,它們叫做四個(gè)象限
22 兩點(diǎn)間的距離
23 中點(diǎn)公式
3 函數(shù)
31 常量,變量和函數(shù)
在某一過程中可以去不同數(shù)值的量,叫做變量在整個(gè)過程中保持統(tǒng)一數(shù)值的量或數(shù),叫做常量或常數(shù)
一般地,設(shè)在變活過程中有兩個(gè)互相關(guān)聯(lián)的變量x,y,如果對于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值,y都有唯一確定的值與之對應(yīng),那么就稱y是x的函數(shù),x叫做自變量
1. 函數(shù)的定義域
2. 對應(yīng)法則
(1) 解析法
就是用等式來表示一個(gè)變量是另一個(gè)變量的函數(shù),這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式(函數(shù)關(guān)系式)
(2) 列表法
(3) 圖像法
3 函數(shù)的值域
一般的,當(dāng)函數(shù)f(x)的自變量x去定義域D中的一個(gè)確定的值a,函數(shù)有唯一確定的對應(yīng)值這個(gè)對應(yīng)值,稱為x=a時(shí)的函數(shù)值,簡稱函數(shù)值,記作:f(a)
32 函數(shù)的圖像
若把自變量x的一個(gè)值和函數(shù)y的對應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),可以在直角坐標(biāo)平面上描出一個(gè)點(diǎn)(x,f(x))的集合構(gòu)成一個(gè)圖形F,而集F成為函數(shù)y=f(x)的圖像
知道函數(shù)的解析式,要畫函數(shù)的圖像,一般分為列表,描點(diǎn),連線三個(gè)步驟
4 正比例函數(shù)
41 正比例函數(shù)
一般地,函數(shù)y=kx(k是不等于零的常數(shù))叫做正比例函數(shù),其中常數(shù)k叫做變量y與x之間的比例函數(shù)確定了比例函數(shù)k,就可以確定一個(gè)正比例函數(shù)
正比例函數(shù)y=kx有下列性質(zhì):
(3) 當(dāng)k>0時(shí),它的圖像經(jīng)過第一,三象限,y隨著x的值增大而增大;當(dāng)k<0時(shí),他的圖像經(jīng)過第二,四象限,y隨著x的增大而減小
(2)隨著比例函數(shù)的絕對值的增加,函數(shù)圖像漸漸離開x軸而接近于y軸,因此,比例系數(shù)k和直線y=kx與x軸正方向所成的角有關(guān)據(jù)此,k叫做直線y=kx的斜率
42 反比例函數(shù)
一般地,函數(shù)y=k/x(k是不等于0的常數(shù))叫做反比例函數(shù)
反比例函數(shù)y=k/x有下列性質(zhì):
(7) 當(dāng)k>0時(shí),他的圖像的兩個(gè)分支分別位于第一,三象限內(nèi),在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的值增大而減小;當(dāng)k<0時(shí),它的圖像的兩個(gè)分支分別位于第二、四象限內(nèi),在每一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大
(8) 它的圖像的兩個(gè)分支都無限接近但永遠(yuǎn)不能達(dá)到x軸和y軸
5 一次函數(shù)及其圖像
51 一次函數(shù)及其圖像
如果k=0時(shí),函數(shù)變形為y=b,無論x在其定義域內(nèi)取何值,y都有唯一確定的值b與之對應(yīng),這樣的函數(shù)我們稱它為常函數(shù)
直線y=kx+b與y軸交與點(diǎn)(0,b),b叫做直線y=kx+b在y軸上的截距,簡稱縱截距
52 一次函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)y=f(小),在a〈x〈b上,如果函數(shù)值隨著自變量x的值增加而增加,那么我們說函數(shù)f(x)在a〈x
如果分別畫出兩個(gè)二元一次方程所對應(yīng)的一次函數(shù)圖像,交點(diǎn)的坐標(biāo)就是這個(gè)方程組的解,這種求二元一次方程組的解法叫圖像法
初中數(shù)學(xué)正方形定理公式
關(guān)于正方形定理公式的內(nèi)容精講知識，希望同學(xué)們很好的掌握下面的內(nèi)容。
正方形定理公式
正方形的特征：
①正方形的四邊相等；
②正方形的四個(gè)角都是直角；
③正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角；
正方形的判定：
①有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；
②有一組鄰邊相等的矩形是正方形。
希望上面對正方形定理公式知識的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握，相信同學(xué)們會取得很好的成績的哦。
初中數(shù)學(xué)平行四邊形定理公式
同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)，下面是老師對數(shù)學(xué)中平行四邊形定理公式的內(nèi)容講解。
平行四邊形
平行四邊形的性質(zhì)：
①平行四邊形的對邊相等；
②平行四邊形的對角相等；
③平行四邊形的對角線互相平分；
平行四邊形的判定：
①兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
②兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
③對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
上面對數(shù)學(xué)中平行四邊形定理公式知識的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，相信同學(xué)們會從中學(xué)習(xí)的更好的哦。
初中數(shù)學(xué)直角三角形定理公式
下面是對直角三角形定理公式的內(nèi)容講解，希望給同學(xué)們的學(xué)習(xí)很好的幫助。
直角三角形的性質(zhì)：
①直角三角形的兩個(gè)銳角互為余角；
②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；
③直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）；
④直角三角形中30度
角所對的直角邊等于斜邊的一半；
直角三角形的判定：
①有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；
②如果三角形的三邊長a、b 、c有下面關(guān)系a^2+b^2=c^2
，那么這個(gè)三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。
以上對數(shù)學(xué)直角三角形定理公式的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能考試成功。
初中數(shù)學(xué)等腰三角形的性質(zhì)定理公式
下面是對等腰三角形的性質(zhì)定理公式的內(nèi)容學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們認(rèn)真看看。
等腰三角形的'性質(zhì)：
①等腰三角形的兩個(gè)底角相等；
②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）
上面對等腰三角形的性質(zhì)定理公式的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們在考試中取得很好的成績。
初中數(shù)學(xué)三角形定理公式
對于三角形定理公式的學(xué)習(xí)，我們做下面的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)哦。
三角形
三角形的三邊關(guān)系定理及推論：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180度；
三角形的外角和定理：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)的和；
三角形的外角和定理推理：三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角；
三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）；
三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)（外心）；
三角形中位線定理：三角形兩邊中點(diǎn)的連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；
以上對三角形定理公式的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們都能很好的掌握，并在考試中取得很好的成績哦。
常用函數(shù)圖像14
今天上午聽了我校數(shù)學(xué)老師唐的《正弦函數(shù)圖像和性質(zhì)》一節(jié)課，本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)好，課件制作實(shí)用性強(qiáng)，教學(xué)流程清楚，環(huán)節(jié)緊湊、流暢。唐老師授課思路清晰，結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，重難點(diǎn)突出，講解語言精煉，板書工整，特別注重啟發(fā)引導(dǎo)，突出學(xué)生的主體性地位，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行主動探究，營造了積極、寬松的教學(xué)氛圍。具體來說，唐老師的課有如下特點(diǎn)：
1. 教學(xué)定位非常準(zhǔn)
唐老師對課標(biāo)的解讀、教材的分析有自己獨(dú)到的見解，教學(xué)設(shè)計(jì)中教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)重難點(diǎn)把握到位，課堂教學(xué)中把握住正弦函數(shù)圖像及五點(diǎn)法畫法這一既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)的內(nèi)容展開，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究，深入理解，抓住教學(xué)的.關(guān)鍵點(diǎn)，有效的突出了教學(xué)重點(diǎn)、突破了教學(xué)難點(diǎn)。
2. 課件制作實(shí)用性強(qiáng)
唐老師的課件制作針對性強(qiáng)，動畫演示效果好，很好的輔助學(xué)生理解正弦函數(shù)的圖像畫法的過程。
3. 課堂駕馭能力強(qiáng)
唐老師上課教態(tài)自然，語言語調(diào)好，板書清楚有條理，個(gè)人基本功非常扎實(shí)，能與學(xué)生進(jìn)行有效溝通，而且舍得把時(shí)間給學(xué)生去板演作圖、去交流思考思路、去講解解決問題過程，善于啟發(fā)調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，有較強(qiáng)的駕馭課堂的能力。這是一節(jié)非常成功的公開課 。
常用函數(shù)圖像15
教學(xué)目標(biāo)
(一)知道函數(shù)圖象的意義；
(二)能畫出簡單函數(shù)的圖象，會列表、描點(diǎn)、連線；
(三)能從圖像上由自變量的值求出對應(yīng)的函數(shù)的近似值。
教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
重點(diǎn)：認(rèn)識函數(shù)圖象的意義，會對簡單的函數(shù)列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象。
難點(diǎn)：對已知圖象能讀圖、識圖，從圖象解釋函數(shù)變化關(guān)系。
教學(xué)過程設(shè)計(jì)
(一)復(fù)習(xí)
1。什么叫函數(shù)?
2。什么叫平面直角坐標(biāo)系?
3。在坐標(biāo)平面內(nèi)，什么叫點(diǎn)的橫坐標(biāo)?什么叫點(diǎn)的縱坐標(biāo)?
4。如果點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為5，請用記號表示點(diǎn)A(答：A(3，5))。
5。請?jiān)谧鴺?biāo)平面內(nèi)畫出A點(diǎn)。
6。如果已知一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出幾個(gè)點(diǎn)?反過來，如果坐標(biāo)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)確定，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有幾個(gè)?這樣的點(diǎn)和坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，叫做什么對應(yīng)?(答：叫做坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)與有序數(shù)對一一對應(yīng))
(二)新課
我們在前幾節(jié)課已經(jīng)知道，函數(shù)關(guān)系可以用解析式表示。像y=2x+1就表示以x為自變量時(shí)，y是x的函數(shù)。
這個(gè)函數(shù)關(guān)系中，y與x的對應(yīng)關(guān)系，我們還可以用在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出圖象的方法表示。
具體做法是
第一步：列表。(寫出自變量x與函數(shù)值的對應(yīng)表)先確定x的若干個(gè)值，然后填入相應(yīng)的y值。
(這種用表格表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做列表法)
第二步：描點(diǎn)，對于表中的每一組對應(yīng)值，以x值作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以對應(yīng)的y值作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，便可畫出一個(gè)點(diǎn)。也就是由表中給出的有序?qū)崝?shù)時(shí)，在直角坐標(biāo)中描出相應(yīng)的點(diǎn)。
第三步：連線，按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把相鄰兩點(diǎn)用線段連結(jié)起來，得到的圖形就是函數(shù)式y(tǒng)=2x+1圖象。
例1 在同一直角坐標(biāo)系中畫出下列函數(shù)式的圖像：
(1) y=-3x; (2)y=-3x+2; (3) y=-3x-3。
分析：按照列表、描點(diǎn)、連線三步操作。
解：
它們的圖象分別是圖13-25中的(1)，(2)，(3)。
例2 某化我廠1月到12日生產(chǎn)某種產(chǎn)品的統(tǒng)計(jì)資料如下：
(1) 在直角坐標(biāo)系中以月份數(shù)作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以該月的產(chǎn)值作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)畫出對應(yīng)的點(diǎn)。把12個(gè)點(diǎn)畫在同一直角坐標(biāo)系中。
(2) 按照月份由小到大的順序，把每兩個(gè)點(diǎn)用線段連接起來。
(3) 解讀圖像：從圖說出幾月到幾月產(chǎn)量是上升的、下降的或不升不降的。
(4) 如果從3月到6月的產(chǎn)量是持逐平穩(wěn)增長的，請?jiān)趫D上查詢4月15日的產(chǎn)量大約是多少噸?
解：(1)，(2)見圖13-26。
(3) 產(chǎn)量上升：1月到2月；3月，4月，5月，6月逐月上升；10月，11月，12月逐月上升。產(chǎn)量下降：8月到9月，9月到10月。產(chǎn)量不升不降：2月到3月；6月到7月，7月到8月。
(4)過x軸上的4。5處作y軸的平行線，與圖象交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)約4。5，所以4月15日的`產(chǎn)量約為4。5噸。
(三)課堂練習(xí)
已知函數(shù)式y(tǒng)=-2x。用列表(x取-2，-1，0，1，2)，描點(diǎn)，連線的程序，畫出它的圖象。
(四)小結(jié)
到現(xiàn)在，我們已經(jīng)學(xué)過了表示函數(shù)關(guān)系的方法有三種：
1。解析式法——用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系。
2。列表法——通過列表給出函數(shù)y與自變量x的對應(yīng)關(guān)系。
3。圖象法——把自變量x作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)，對應(yīng)的函數(shù)值y作為點(diǎn)的縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系描出對應(yīng)的點(diǎn)。所有這些點(diǎn)的集合，叫做這個(gè)。用圖象來表示函數(shù)y與自變量x對應(yīng)關(guān)系。
這三種表示函數(shù)的方法各有優(yōu)缺點(diǎn)。
1。用解析法表示函數(shù)關(guān)系
優(yōu)點(diǎn)：簡間明了。能從解析式清楚看到兩個(gè)變量之間的全部相依關(guān)系，并且適合于進(jìn)行理論分析和推導(dǎo)計(jì)算。
缺點(diǎn)：在求對應(yīng)值時(shí)，有進(jìn)要做較復(fù)雜的計(jì)算。
2。用列表法表示函數(shù)關(guān)系
優(yōu)點(diǎn)：對于表中自變量的每一個(gè)值，可以不通過計(jì)算，直接把函數(shù)值找到，查詢時(shí)很方便。
缺點(diǎn)：表中不能把所有的自變量與函數(shù)對應(yīng)值全部列出，而且從表中看不出變量間的對應(yīng)規(guī)律。
3。用圖象法表示函數(shù)關(guān)系
優(yōu)點(diǎn)：形象直觀。可以形象地反映出函數(shù)關(guān)系變化的趨勢和某些性質(zhì)，把抽象的函數(shù)概念形象化。
缺點(diǎn)：從自變量的值常常難以找到對應(yīng)的函數(shù)的準(zhǔn)確值。
函數(shù)的三種基本表示方法，各有各的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)。因此，要根據(jù)不同問題與需要，靈活地采用不同的方法。在數(shù)學(xué)或其他科學(xué)研究與應(yīng)用上，有時(shí)把這三種方法結(jié)合起來使用，即由已知的函數(shù)解析式，列出自變量與對應(yīng)的函數(shù)值的表格，再畫出它的圖像。
(五)作業(yè)
1。在圖13-27中，不能表示函數(shù)關(guān)系的圖形有( )。
(A) (a)，(b)，(c) (B)(b)，(c)，(d) (C) (b)，(c)(e) (D)(b)，(d)，(e)
2。函數(shù) 的圖象是圖13-28中的( )。
3。矩形的周長是12cm，設(shè)矩形的寬為x(cm)，面積為y(cm2)。
(1) 以x為自變量，y為x的函數(shù)，寫出函數(shù)關(guān)系式，并在關(guān)系式后面注明x的取值范圍；
(2) 列表、描點(diǎn)、連線畫出此函數(shù)的圖象。
4。(1) 畫出函數(shù)y=- x+2的圖象(在-4與4之間，每隔1取一個(gè)x值，列表；并在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)畫圖)；
(2) 判斷下列各有序?qū)崝?shù)地是不是函數(shù)。y=- x+2的自變量x與函數(shù)y的一對對應(yīng)值，如果是，檢驗(yàn)一下具有相慶坐標(biāo)的點(diǎn)是否在你所畫的函數(shù)圖像上：
5。畫出下列函數(shù)的圖象：
(1) y=4x-1; (2)y=4x+1。
6。圖13-29是北京春季某一天的氣溫隨時(shí)間變化的圖象。根據(jù)圖象回答，在這一天：
(1)8時(shí)，12時(shí)，20時(shí)的氣溫各是多少；
(2)最高氣溫與最低氣溫各是多少；
(3)什么時(shí)間氣溫高，什么時(shí)間氣溫最低。
7。畫出函數(shù)y=x2的圖象(先填下表，再描點(diǎn)，然后用平滑曲線順次連結(jié)各點(diǎn))；
8。畫出函數(shù) 的圖象(先填下表，再描點(diǎn)，然后用平滑曲線順序連結(jié)各點(diǎn))：
作業(yè)的答案或提示
1。選(C)。因?yàn)閷?yīng)于x的一個(gè)值的y值不是唯一的。
2。選(D)。當(dāng)x＜0時(shí)，｜x｜=-x，所以 ，當(dāng)x＞0時(shí)，｜x｜=x，所以
3。
(1) y=x(6-x)其中0＜x＜6，(圖13-30)。
(2)
4。
5。
見圖13-32。
6。(1) 8時(shí)約5℃，12時(shí)約11℃，20時(shí)約10℃。
(2) 最高氣溫為12℃，最低氣溫為2℃。
(2) (2) 14時(shí)氣溫最高，4時(shí)氣溫最低。
7。
課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明
1。在建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)的坐標(biāo)(有序?qū)崝?shù)對)與坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)；不同的坐標(biāo)與不同的點(diǎn)一一對應(yīng)；函數(shù)關(guān)系與動點(diǎn)軌跡一一對應(yīng)。把抽象的數(shù)量關(guān)系與形象直觀的圖形聯(lián)系起來，通過解讀圖象，了解抽象的數(shù)量關(guān)系，這種“數(shù)形結(jié)合”，是數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法。
2。本課的目標(biāo)是使學(xué)生會畫函圖象，并會解讀圖象，即會從圖象了解到抽象的數(shù)量關(guān)系。為此，先在復(fù)習(xí)舊課時(shí)，著重提問會標(biāo)平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。接著在新課開始時(shí)介紹了畫函數(shù)圖象的三個(gè)步驟。
3。教學(xué)設(shè)計(jì)中的例3，即訓(xùn)練學(xué)生從已有數(shù)據(jù)畫圖象，又訓(xùn)練學(xué)生逆向思維、解讀圖象、在圖象上估計(jì)某日產(chǎn)量的能力。對函數(shù)圖象功能有一個(gè)完整的認(rèn)識。
4。在小結(jié)中，介紹了函數(shù)關(guān)系的三種不示方法，并說明它們各自的優(yōu)缺點(diǎn)。有利于對函數(shù)概念的透徹理解。
5。作業(yè)中的第1～3題，對訓(xùn)練函數(shù)概念及函數(shù)圖象很有幫助。
第1題，目的要說明，對于x的一個(gè)值，必須是唯一的值與之對應(yīng)。而(b)，(c)，(e)都是對于x一個(gè)值，y有不止一個(gè)值與之對應(yīng)，所以y不是x的函數(shù)。本題還訓(xùn)練解讀形的能力。
第2題，訓(xùn)練學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想，在去掉絕對值符號對，必須分x≥0與x＜0討論。
第3題，訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)已知條件建立函數(shù)解析式，并列表、描點(diǎn)、連線畫出圖象的能力。
這些都是學(xué)習(xí)函數(shù)問題時(shí)應(yīng)具備的基本功。
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