因式分解公式是什么

時(shí)間：2024-05-17 22:49:50 文圣好文我要投稿

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因式分解公式是什么

　　因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在數(shù)學(xué)求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。下面是小編整理的因式分解公式是什么，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

　　因式分解的定義

　　把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

　　因式分解主要有十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式，輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法。而在競賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法式法，換元法，長除法，短除法，除法等。

　　因式分解常用公式

　　1、平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）。

　　2、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。

　　3、立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）。

　　4、立方差公式：a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）。

　　5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3。

　　6、完全立方差公式：a3—3a2b+3ab2—b3=（a—b）3。

　　7、三項(xiàng)完全平方公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2。

　　8、三項(xiàng)立方和公式：a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2—ab—bc—ac）。

　　因式分解方法

　　1、提公因式法

　　如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

　　各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。

　　具體方法：在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當(dāng)各項(xiàng)的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時(shí)，公因式系數(shù)為各分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為負(fù)，要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出負(fù)號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。

　　基本步驟：

　　（1）找出公因式；

　　（2）提公因式并確定另一個(gè)因式；

　　①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；

　　②提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；

　　③提完公因式后，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。

　　口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。

　　2、公式法

　　如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。

　　3、十字相乘法

　　十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。

　　口訣：分二次項(xiàng)，分常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘求和得一次項(xiàng)。（拆兩頭，湊中間）

　　（1）用十字相乘法分解二次項(xiàng)，得到一個(gè)十字相乘圖（有兩列）；

　　（2）把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx。

　　（3）先以一個(gè)字母的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)；

　　（4）再按另一個(gè)字母的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)；

　　（5）橫向相加，縱向相乘。

　　4、輪換對(duì)稱法

　　當(dāng)題目為一個(gè)輪換對(duì)稱式時(shí)，可用輪換對(duì)稱法進(jìn)行分解。

　　5、分組分解法

　　通過分組分解的方式來分解提公因式法和公式分解法無法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項(xiàng)式有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。

　　6、拆添項(xiàng)法

　　把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解，這種分解因式的方法叫做拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

　　7、配方法

　　對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。

　　相關(guān)結(jié)論

　　基本結(jié)論：分解因式為整式乘法的逆過程。

　　高級(jí)結(jié)論：在高等代數(shù)上，因式分解有一些重要結(jié)論，在初等代數(shù)層面上證明很困難，但是理解很容易。

　　1）因式分解與解高次方程有密切的關(guān)系。對(duì)于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對(duì)固定和容易的方法。在數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于一元三次方程和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因?yàn)楣竭^于復(fù)雜，在非專業(yè)領(lǐng)域沒有介紹。對(duì)于分解因式，三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式也有固定的分解方法，只是比較復(fù)雜。對(duì)于五次以上的一般多項(xiàng)式，已經(jīng)證明不能找到固定的因式分解法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。

　　2）所有的三次和三次以上的一元多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解，所有的二次或二次以上的一元多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)都可以因式分解。這看起來或許有點(diǎn)不可思議。比如x+1,這是一個(gè)一元四次多項(xiàng)式，看起來似乎不能因式分解。但是它的次數(shù)高于3，所以一定可以因式分解。也可以用待定系數(shù)法將其分解，只是分解出來的式子并不整潔。(這是因?yàn)椋纱鷶?shù)基本定理可知n次一元多項(xiàng)式總是有n個(gè)根，也就是說，n次一元多項(xiàng)式總是可以分解為n個(gè)一次因式的乘積。并且還有一條定理：實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的虛數(shù)根兩兩共軛的，將每對(duì)共軛的虛數(shù)根對(duì)應(yīng)的一次因式相乘，可以得到二次的實(shí)系數(shù)因式，從而這條結(jié)論也就成立了。

　　3）因式分解雖然沒有固定方法，但是求兩個(gè)多項(xiàng)式的公因式卻有固定方法。因式分解很多時(shí)候就是用來提公因式的。尋找公因式可以用輾轉(zhuǎn)相除法來求得。標(biāo)準(zhǔn)的輾轉(zhuǎn)相除技能對(duì)于中學(xué)生來說難度頗高，但是中學(xué)有時(shí)候要處理的多項(xiàng)式次數(shù)并不太高，所以反復(fù)利用多項(xiàng)式的除法也可以但比較笨，不過能有效地解決找公因式的問題。

　　4）因式分解是很困難的，初中所接觸的只是因式分解很簡單的一部分。

　　分解一般步驟

　　1、如果多項(xiàng)式的首項(xiàng)為負(fù)，應(yīng)先提取負(fù)號(hào)；

　　這里的“負(fù)”，指“負(fù)號(hào)”。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)是負(fù)的，一般要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)系數(shù)是正的。

　　2、如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式，那么先提取這個(gè)公因式，再進(jìn)一步分解因式；

　　要注意：多項(xiàng)式的某個(gè)整項(xiàng)是公因式時(shí)，先提出這個(gè)公因式后，括號(hào)內(nèi)切勿漏掉1；提公因式要一次性提干凈，并使每一個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式都不能再分解。

　　3、如果各項(xiàng)沒有公因式，那么可嘗試運(yùn)用公式、十字相乘法來分解；

　　4、如果用上述方法不能分解，再嘗試用分組、拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法來分解。

　　口訣：先提首項(xiàng)負(fù)號(hào)，再看有無公因式，后看能否套公式，十字相乘試一試，分組分解要合適。

　　因式分解公式法講解

　　平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)

　　①公式左邊形式上是一個(gè)二項(xiàng)式，且兩項(xiàng)的符號(hào)相反；