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《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納

時間:2024-03-05 00:39:52 好文 我要投稿
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《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納

  在我們的學習時代,說到知識點,大家是不是都習慣性的重視?知識點是知識中的最小單位,最具體的內容,有時候也叫“考點”。哪些才是我們真正需要的知識點呢?以下是小編幫大家整理的《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納,供大家參考借鑒,希望可以幫助到有需要的朋友。

《因式分解---待定系數法、換元法、添項拆項法》知識點歸納

  知識體系梳理

  ◆添項拆項法

  有的多項式由于“缺項”,或“并項”因此不能直接分解。通過進行適當的添項或拆項后利用分組而分解的方法稱為添項、拆項法。

  一般來說,添項拆項后要能運用提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法分解。如果添項拆項后,不能運用四種基本方法分解,添項拆項也是無用的。

  ◆待定系數法

  有些多項式不能直接分解因式,我們可以先假設它已分解成幾個含有待定系數因式的乘積形式。然后再把積乘出來。用等號兩邊同次項次系數相等的方法把這些待定系數求出來,進而得出因式分解結果,這種分解因式的方法叫做待定系數法分解因式。

  ◆換元法

  所謂換元,即對結構比較復雜的代數式,把其中某些部分看成一個整體,用新的字母代替(即換元),則能使復雜的問題簡單化、明朗化,象這種利用換元來解決復雜問題的方法,就叫。換元法在減少代數式的項數、降低多項式結構復雜程度等方面都有著獨到的作用。

  (1)、使用換元法時,一定要有意識,即把某些相同或相似的部分看成一個。

 。2)、換元法的種類有:單個換元、多個換元、局部換元、整體換元、特殊值換元和幾何換元。

 。3)、利用換元法解決問題時,最后要讓原有的數或式“回歸”。

  ★★典型例題、方法導航

  ◆方法一:添項拆項法

  【例1】分解因式:

  分析:此多項式是三次三項式,缺項不能直接分解?煽紤]添項拆項法分解。從它的最高次項看是三次,因此我們可以猜想它最多可分解成三個一次二項式的積,即,再看常數項可分解成±1、±2,因此我們可猜想分解的結果可能是或或,但的中間項是,因此是不可能的,因此只可能是前面兩種的其中一種。下面請看:

  解:

  其結果是我們猜想中的第一種。此題還有其他分解方法嗎?在注意到分解結果中有和的因式,因此還有其他更多的分解方法。

  方法二:

  方法三:

  方法四:

  方法五:

  方法六:(余下過程同學自己完成)

  方法點金:拆項、添項法分解因式的關鍵是通過拆項、添項達到分組或運用公式的目的,一般可考慮添多項式中所缺的項,或考慮常數項可分解的因數有關的因式。

  ◎變式議練一:

  分解下列各式的因式

  ◆方法二:待定系數法

  【例2】分解因式:

  解:

  設:

  展開后左右兩邊比較系數求出、即可。

  分解結果:

  【例3】已知多項式能被整除,請分解前者的因式。

  分析:設,利用多項式的恒等求出、即可。

  ◎變式議練二:

  1、已知是的一個因式,則;

  2、用待定系數法分解因式:

  【例4】在實數范圍內分解因式

  ◎變式議練三:

  求的算術平方根。

  ◆方法三:換元法

  ◆直接換元法

  【例5】用換元法分解因式:

  方法點金:設,

  注意:換元法分解因式最后要回歸。

  ◎變式議練四

  1、用換元法分解因式:

  2、用換元法分解因式:

  方法點金:當兩括號中的二次項,一次項的系數對應成比例可考慮用換元法分解因式。

  【例6】分解因式:

  分析:兩括號中二次項、一次項系數的比為,可以換元。

  ◆組合換元法

  【例7】分解因式:

  分析:觀察第一、四括號內的常數項和第二、三括號內的常數的和為,因此也可用組合換元法分解因式。

  ◎變式議練五

  證明四個連續正整數的積與1的和是一個完全平方。

  ◆能力與創新

  把下列各式分解因式:

 、佟 ②、

 、邸

  ◆◆◆◆快樂體驗

  1、若多項式和多項式有公因式,則;

  2、若能被整除,則;

  3、分解因式:

  4、已知多項式有一個因式是,把這個多項式分解因式。

  5、甲、乙兩同學分解多項式時,甲看錯了,分解結果為,乙看錯了,分解結果為,請分析一下,、的值分別為多少?并寫出正確的分解過程。

  6、已知一個三角形的三邊、 、滿足,試判斷這個三角形的形狀,并證明你的結論。

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