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如何培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的能力
根據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱對(duì)培養(yǎng)學(xué)生能力的要求，概括為以下幾點(diǎn)：
（一）注意培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力
整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重要任務(wù)。學(xué)生沒有計(jì)算能力，就談不上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。
綱要上明確指出，使學(xué)生能夠正確地、迅速地進(jìn)行整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的四則計(jì)算。要做到正確，就要掌握正確、合理的計(jì)算方法及基本的計(jì)算基礎(chǔ)。要做到迅速，一是熟練，二是靈活。正確、合理、迅速、靈活是對(duì)小學(xué)生計(jì)算能力的全面要求。
例如：計(jì)算6+6+6+4+6，學(xué)生有幾種不同的計(jì)算方法：
（1）6+6+6+4+6 （2）6+6+6+4+6
＝12+6+4+6 ＝6×4+4
=18+4+6 =24+4
＝22+6 ＝28
=28
（3）6+6+6+4+6
＝6×5-2
＝30-2
=28
三種做法都達(dá)到了正確的目的，但從計(jì)算的過程可以明顯看出，第二、三種方法比第一種方法快，反映學(xué)生注意觀察題目的特點(diǎn)，靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力。
又如：計(jì)算275×4
③275×4 ④275×4
＝（250+25）×4 =（300－25）×4
＝1100 ＝1100
⑤275×4
=11×（25×4）
=1100
同樣可以看出，采用后三種方法計(jì)算的學(xué)生，不僅正確計(jì)算出結(jié)果，而且思維靈活、能力強(qiáng)、計(jì)算迅速。
通過以上兩個(gè)例子，可以看出，培養(yǎng)學(xué)生正確、迅速的計(jì)算能力，對(duì)學(xué)生智力發(fā)展的促進(jìn)作用。因此在教學(xué)過程中，我們不能只注意計(jì)算的結(jié)果，還要注意計(jì)算的過程。數(shù)學(xué)的計(jì)算過程，也是思維訓(xùn)練的過程，可以促進(jìn)學(xué)生觀察力、注意力、記憶力、想象力和思維力的發(fā)展。因此，在計(jì)算過程中，要有意識(shí)地啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考。同時(shí)，要指導(dǎo)學(xué)生能采用巧妙靈活的方法進(jìn)行計(jì)算。
另外，在培養(yǎng)學(xué)生計(jì)算能力方面，還要重視培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成估算和驗(yàn)算的良好習(xí)慣。
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（二）培養(yǎng)邏輯思維能力
培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力是相當(dāng)重要的，因?yàn)橹挥凶⒁馀囵B(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力，才能使學(xué)生變得更聰明，容易接受和掌握新知識(shí)，善于研究和探討新問題，提高分析問題和解決問題的能力。
邏輯思維能力，是認(rèn)識(shí)能力的核心。它是確定的、前后一貫的，無(wú)矛盾的、有條有理、有根有據(jù)的思維。數(shù)學(xué)本身就是人類邏輯思維和辯證思維的結(jié)晶。數(shù)學(xué)教學(xué)最有利于發(fā)展與培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程，就是發(fā)展人類思維的過程。培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，就是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行比較、分析綜合、抽象概括、判斷推理的能力。
比較：是借以認(rèn)出對(duì)象和現(xiàn)象異同的一種邏輯方法，它是認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，通過比較可以對(duì)一些聯(lián)系緊密而又容易混淆的概念，如等分與包含、整除與除盡、比和比例、成正比例的量與成反比例的量、不成比例的量等等，找出它們之間的聯(lián)系和區(qū)別，以加深對(duì)概念的理解和掌握，并通過對(duì)許多有關(guān)概念進(jìn)行比較、分析、對(duì)比、歸類等，形成概念系統(tǒng)。
分析綜合：把一個(gè)對(duì)象分解成幾個(gè)部分叫分析，而把幾個(gè)部分綜合成一個(gè)整體叫綜合。分析和綜合是不可分割的。解應(yīng)用題用得最多。數(shù)的分解與組成，就是分析和綜合的過程。如：
解應(yīng)用題是個(gè)復(fù)雜的分析綜合的過程。
例如：供銷社運(yùn)來(lái)桃子3750斤，賣出135筐后，還剩375斤，原來(lái)共運(yùn)來(lái)桃子多少筐？
將整道題分解為三個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用題。而三道簡(jiǎn)單應(yīng)用題，綜合為一道三步運(yùn)算的一般應(yīng)用題。
抽象概括：抽象就是抽出一些事物的本質(zhì)屬性，而概括就是把同一類事物的相同屬性結(jié)合起來(lái)。在數(shù)學(xué)中，抽象和概括的使用是很多的。每個(gè)數(shù)字、每個(gè)規(guī)律都是抽象概括出來(lái)的。抽象概括要有一定的感性認(rèn)識(shí)為基礎(chǔ)。
例如：認(rèn)識(shí)數(shù)字“5”——基數(shù)概念的形成。
通過實(shí)物、圖片、計(jì)數(shù)器、集合圖這些不連續(xù)量，讓兒童自己操作或演示學(xué)具和實(shí)物，再用連續(xù)量量出5杯水、量出5米繩子等，建立感性認(rèn)識(shí)，然后拋棄這些實(shí)物抽取出“5”這個(gè)基數(shù)的概念。
判斷推理：判斷就是對(duì)某一事物的性質(zhì)和現(xiàn)象做出肯定或否定。數(shù)學(xué)上所有的法則、定義、公式、結(jié)論都是判斷。
判斷的要求：一要正確、二要敏捷。判斷不一定用語(yǔ)言，符號(hào)也是判斷的形式、“＝”、“＞”、“＜”、“≈”等。如：2+3○4、24+3○8等。
由幾個(gè)已知的判斷推出一個(gè)新的判斷的思維形式叫推理。推理的方法，一是歸納、二是演繹、三是類比。歸納是從個(gè)別到一般的推理，而演繹則是從一般到個(gè)別的推理，類比則是從個(gè)別到個(gè)別的推理。
我們小學(xué)用的大量是歸納推理的方法。如加法交換律的建立，就是通過無(wú)數(shù)個(gè)個(gè)別的事例：2+5＝5+2、17+6＝6+17、100+86＝86+100……從而推出一般規(guī)律：a+b＝b+a。歸納離不開觀察，容易被小學(xué)生掌握。演繹法比較嚴(yán)謹(jǐn)，一般適合高年級(jí)。演繹的基本形式是三段論：大前題、小前題、結(jié)論。如：判斷36是不是偶數(shù)。
大前題：能被2整除的數(shù)是偶數(shù)。
小前題：36能被2整除。
結(jié)論：36是偶數(shù)。
又如：判斷50∶10、15∶3能否成比例。
大前題：兩個(gè)比相等就能組成比例。
小前題：50∶10＝5、15∶3＝5，兩個(gè)比相等。
結(jié) 論：50∶10＝15∶3能夠成比例。
歸納和演繹也是密不可分的，沒有歸納演繹不可能，只有歸納沒有演繹，歸納沒有價(jià)值。
類比是利用不同事物間某些相似處進(jìn)行推理。如根據(jù)比和分?jǐn)?shù)、除法的關(guān)系，推出“比的性質(zhì)”。這種推理方法可以幫助學(xué)生由舊知識(shí)探求新知識(shí)，起著啟發(fā)思考的作用。
以上所談到的邏輯思維方法，在實(shí)際思維過程中是密切相聯(lián)、相互補(bǔ)充，不能截然分開的。在教學(xué)過程中，學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)是緊緊地結(jié)合在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)中進(jìn)行的，邏輯思維發(fā)展了，更有助于掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和技能。這兩者之間的關(guān)系是辯證的，相輔相成的。因此，我們必須有意識(shí)地通過數(shù)學(xué)教學(xué)，培養(yǎng)與發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。
邏輯思維能力的培養(yǎng)，包括訓(xùn)練學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言回答問題。語(yǔ)言是思維的工具，我們要求學(xué)生用精確、簡(jiǎn)練、清晰的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表達(dá)一切定義、法則等。并要注意培養(yǎng)學(xué)生的觀察力。通過熟記口訣、公式等，培養(yǎng)學(xué)生的記憶力。
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（三）發(fā)展學(xué)生的空間觀念
恩格斯說：“數(shù)和形的概念不是從其它任何地方，而是從現(xiàn)實(shí)世界中得來(lái)的。”數(shù)和形反映了客觀事物的兩個(gè)不同方面，它們都是數(shù)學(xué)研究的對(duì)象，數(shù)和形不是各自孤立的，而是緊密聯(lián)系著的。人們接觸客觀事物，往往同時(shí)接觸到數(shù)和形。利用數(shù)可以更好地反映形的本質(zhì)特征，反過來(lái)，利用形有助于加深對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)。因此，從小學(xué)起就要重視發(fā)展學(xué)生的空間觀念。
空間觀念主要是指區(qū)別對(duì)象的大小、形狀、立體和遠(yuǎn)近。具體講，就是我們與物體、物體與物體之間的方向、大小、距離和形狀在人們知覺中的反映。
小學(xué)生空間觀念的建立，主要通過幾何初步知識(shí)的學(xué)習(xí)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，幾何初步知識(shí)包括：線（直線、射線、線段、平行線、垂直線）
角（銳角、直角、鈍角、平角、周角）
面（長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形、扇形）
體（長(zhǎng)方體、正方體、圓柱體、圓錐體）
通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生形成基本的、正確的觀念。熟悉基本的幾何圖形，正確理解圖形的基本原素之間的度量及位置關(guān)系。正確掌握各種圖形的概念，學(xué)會(huì)有關(guān)周長(zhǎng)、面積、體積的計(jì)算。這些知識(shí)的獲得，主要通過聯(lián)系學(xué)生的實(shí)際生活觀察思考與學(xué)生的實(shí)際操作。反復(fù)不斷的經(jīng)驗(yàn)積累，逐漸形成學(xué)生的空間觀念。
發(fā)展學(xué)生的空間觀念，對(duì)學(xué)生進(jìn)行想象和思維也具有重要的意義。在各種圖形面積的轉(zhuǎn)換練習(xí)中，可以加深學(xué)生對(duì)各種形體間關(guān)系的認(rèn)識(shí)，從而啟發(fā)學(xué)生采用多種不同的方法，推導(dǎo)出面積的計(jì)算公式。在這拼擺與推導(dǎo)的過程中發(fā)展了學(xué)生的思維，增強(qiáng)了學(xué)生的想象力。
例如：求梯形面積的公式：
教材上列舉的方法是如圖1：
學(xué)生所找出的方法是多種多樣的。例圖2——圖7：
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