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人教版高二數學《點到直線的距離》說課稿
尊敬的各位評委、老師：
您們好！
今天我說課的內容是人教版高二第二冊（上）第七章第三節第4課時：“點到直線的距離”。
下面根據我寫的教案，把我對本節課的教材分析、教學方法和教學用具、教學過程以及教學評價等方面的認識做一個說明。敬請各位專家多提寶貴意見。
一、關于教材分析
1、教材的地位和作用
“點到直線的距離”是在學生學習直線方程的基礎上，進一步研究兩直線位置關系的一節內容，我們知道兩條直線相交后，進一步的量化關系是角度，而兩條直線平行后，進一步的量化關系是距離，而平行線間的距離是通過點到直線距離來解決的。此外在研究直線與圓的位置關系、曲線上的點到直線的距離以及解析幾何中有關三角形面積的計算等問題時，都要涉及點到直線的距離。所以“點到直線的距離公式”是平面解析幾何的一個重要知識點。由于這一節是直線內容的結尾部分，學生已經具備直線的有關知識（如交點、垂直、向量、三角形等），因此，一方面公式的推導成為可能，另一方面公式的推導也是檢驗學生是否真正掌握所學知識點的一個很好的課題。通過公式推導的獲得，可以培養學生分析問題、解決問題的能力，以及自主探究和合作學習的能力。
2 教學目標分析
我確定教學目標的依據有以下三條：
（1）教學大綱、考試大綱的要求
（2）新教材的特點
（3）所教學生的實際情況
教學目標包括：知識、能力、德育等方面的內容。
“點到直線的距離公式”是平面解析幾何重要的基礎知識，也是教學大綱和考試大綱要求掌握的一個知識點。按照大綱 “在傳授知識的同時，滲透數學思想方法，培養學生數學能力”的教學要求，結合新教材向量的引入，又根據所帶班級學生基礎和素質教好的情況，我把本節課的教學目標確定為：
（1）讓學生理解點到直線距離公式的推導思想，掌握點到直線距離公式及其應用，會用點到直線距離求兩平行線間的距離；
（2）通過推導公式方法的發現，培養學生觀察、思考、分析、歸納等數學能力；在推導過程中，滲透數形結合、轉化（或化歸）等數學思想以及特殊與一般的方法；
（3）通過本節學習，引導學生用聯系與轉化的觀點看問題，體驗在探索問題的過程中獲得的成功感。
3、教學重點：點到直線距離公式的推導和應用。
教學難點：發現點到直線距離公式的推導方法。
二、關于教學方法和教學用具的說明
1、教學方法的選擇
（1）指導思想：在“以生為本”理念的指導下，充分體現“教師為主導，學生為主體”。
（2）教學方法：問題解決法、討論法等。
本節課的任務主要是公式推導思路的獲得和公式的推導及應用。我選擇的是問題解決法、討論法等。通過一系列問題，創造思維情境，通過師生互動，讓學生體驗、探究、發現知識的形成和應用過程，以及思考問題的方法，促進思維發展；學生自主學習，分工合作，使學生真正成為教學的主體。
2、教學用具的選用
在選用教學用具時，我考慮到，在本節課的公式推導和例題求解中思路較多，所以采用了計算機多媒體和實物投影儀作為輔助教具。它可以將數學問題形象、直觀顯示，便于學生思考，實物投影儀展示學生不同解題方案，提高課堂效率。
三、關于教學過程的設計
“數學是思維的體操”，一題多解可以培養和提高學生思維的靈活性，及分析問題和解決問題的能力。課程標準指出，教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，通過類比、聯想、知識的遷移和應用等方式，使學生體會知識間的有機聯系，感受數學的整體性。課標又指出，鼓勵學生積極參與教學活動。為此，在具體教學過程中，把本節課分為以下：“創設情境 提出問題——自主探索 推導公式——變式訓練 學會應用——學生小結 教師點評——課外練習 鞏固提高”五個環節來完成。下面對每個環節進行具體說明。
（一）[創設情境 提出問題]
1、這一環節要解決的主要問題是：
創設情境，引導學生分析實際問題，由實際問題轉化為數學問題，揭示本課任務。同時激發學生學習興趣，培養學生數學建模能力。
2、具體教學安排：
多媒體顯示實例，電信局線路問題，實際怎樣解決？能否轉化為解析幾何問題？
學生很快想到建立坐標系。如何建立坐標系？建系不同，點和直線方程不同，用點的坐標和直線方程如何解決距離問題，由此引出本課課題“點到直線的距離”。
（二）[自主探索 推導公式]
1、這一環節要解決的主要問題是：
充分發揮學生的主體作用，引導學生發現點到直線距離公式的推導方法，并推導出公式。在公式的推導過程中，圍繞兩條線索：明線為知識的學習，暗線為特殊與一般的邏輯方法以及轉化、數形結合等數學思想的滲透。
2、具體教學安排：
2.1 學生初探 解決特例
首先提出問題：怎樣用解析幾何方法求解點到直線距離？由于字母的運算有難度，引導學生從直線的特殊情況入手，這樣問題比較容易解決。學生應該能想到，如果直線是坐標軸或平行坐標軸的時候問題比較容易解決，給予學生肯定的評價。學生自己完成推導過程，選兩名學生進行板演。
2.2 師生互動 獲取思路
特殊情況已經解決，引導學生考慮一般直線的情況。通過學生思考，教師收集得到思路一：過 P 作 PQ ⊥ l 于 Q 點，根據點斜式寫出直線 PQ 方程，由 PQ 與 l 聯立方程組解得 Q 點坐標，然后利用兩點距離公式求得。
我及時評價這種方法思路自然，是一種解決辦法。為了拓展學生思維，我們根據已有的知識和經驗，還有什么辦法能解決？為此我啟發學生，提出問題：
（1）求線段長度可以構造圖形嗎？
（2）什么圖形？如何構造？（學生經過討論，得到構造三角形，把線段放在直角三角形中。）但是如何構造又是一個難點。
（3）第三個頂點在什么位置？
（4）特殊情況與一般情況有聯系嗎？
學生通過觀察、討論會提出第三個頂點的不同位置：可能在直線 l 與x軸的交點M或與y軸交點N；或根據特殊情況的證法提示，過P點作x、y軸的平行線與直線 l 的交點R、S。或同時做x、y軸平行線。這樣就收集到思路二、三、四。
三種思路已經有了，它們的共性是什么？學生能觀察出都在三角形中。我繼續引導：能不能不構造三角形？而是其它數學相關量？我們剛學習了向量知識，能否用向量知識解決問題呢？（由于在前面學習的向量知識中，向量的模可以表示兩點之間的距離，而證明兩直線垂直時也已經用到向量知識，法向量又是本節課后閱讀材料，本班學生基礎和素質較好，在學習直線方向向量時已經布置閱讀）。
提出問題：線段的長度就是對應向量的模，那么如何求得向量 PQ 的模呢？根據實際情況提示一方面 PQ 的方向完全由直線的方向而定（與法向量共線），另一方面 PQ的長度又與點P有關，它的長度又如何控制下來？所以有思路五，由師生一起分析，取λλ（A， B ）法向量 n ＝，而 PQ = n ，以下只要求得 ，就可以得到距離。
2.3 分工合作 自主完成
學生提出了不同的解決方案，究竟哪種好呢？如果讓每位學生都去用不同解法探求，在課堂上時間顯然是不允許的，但教學中又要培養學生的運算能力，如何解決這種矛盾呢？現代教育要求學生要有自主學習、合作學習能力，因此我叫學生對五種思路進行分組練習。
在學生求解過程中，我巡視，觀看學生解題，了解情況，根據課堂時間的實際情況，選取做好的學生的解題過程用實物投影儀顯示。這樣不僅能讓全體學生看到不同思路的具體解法，還能得出最佳解題方案，接著我展示最佳解題方案的規范步驟。目的讓學生有良好的規范的書面表達習慣，起到教師典范的作用。
2.4 公式小結 概括提升
公式推導出，學生有了成功的喜悅。我也給予了肯定。但是由于公式的結果是一般情況得出的，而對于 當A = 0，或B = 0時 ，點在直線上是否成立，它們與 當AB ≠ 0時，點在直線外有什么關系？這并沒有驗證。而我們要求學生考慮問題要全面，為此我提出提問：①上式是由條件下 當AB ≠ 0時 得出，對 當A = 0，或B = 0時 成立嗎？②點P在直線 l 上成立嗎？③公式結構特點是什么？用公式時直線方程是什么形式？通過學生的討論，使學生了解公式適用的范圍：任意點、任意直線。同時體現整體認識和分類討論思想。
依據新課程的理念，教師要創造性地使用教材。在公式的推導過程中，我做了和教材不同的處理方法：（1）先特殊后一般的證法，（2）多角度構造三角形，（3）知識聯系，向量解決。目的是讓學生在考慮問題時有特殊到一般的意識，符合學生認知規律，使問題的解決循序漸進。向量是新教材內容，是一種很好的數學工具，和解析幾何結合應用是現在新教材知識的交匯點。而多角度考慮問題，發散學生思維。
（三）[變式訓練 學會應用]
1、這一環節解決的主要問題是：
通過練習，熟悉公式結構，記憶并簡單應用公式。通過例題的不同解法，進一步讓學生體會轉化（或化歸）的數學思想。
2、具體教學安排：
由學生完成下列練習：
（1）解決課堂提出的實際問題。（學生口答）
（2）求點P0（－1，2）到下列直線的距離 ：
①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1
設計說明：練習1的設計解決了上課開始提出的實際問題。練習2的設計故意選特殊直線和非直線方程一般式，主要強調在公式應用時，直線方程是一般式，應用公式的準確性。
例題（3）求平行線2x－7y＋8=0和2x－7y－6=0的距離。
我選取的是課本例題，課本只有一種具體點的解法。我通過本節課的學習，讓學生對知識從深度和廣度上進行挖掘。通過幾何畫板的演示，讓學生直觀看到思考問題的方法。除了選擇直線上的點，還可以選取原點，求它到兩條直線的距離，然后作和。或者選取直線外的點P，求它到兩條直線的距離，然后作差。由特殊點到任意點，由特殊直線到任意直線，從而延伸出兩平行線間的距離。目的是在整個過程中，讓學生注意體會解題方法中的靈活性以及轉化等數學思想方法。
（四）[學生小結 教師點評]
1、這一環節解決的主要問題和達到的目的是：
通過師生共同小結，鞏固所學知識，提煉用到的解決問題的方法，其中蘊涵的數學思想方法，培養學生歸納概括能力。
2、具體教學安排：
本節課小結主要由學生完成知識總結，通過學習知識所體驗到的數學思想方法，由學生總結和相互補充，教師適當點評，加以經驗總結。
（五）[課外練習 鞏固提高]
1 課本習題7。3的第13題—16題；
2 總結寫出點到直線距離公式的多種方法。
設計說明：作業1是課本習題，檢查學生所學知識掌握的程度。作業2是根據課堂分析，讓學生總結公式推導的方法。除了課堂上想到的方法還可以繼續思考，比如在用兩點距離公式整體代換等方法，發揮學生學習的自主性和思維的廣闊性。
四、關于教學評價的設計
新課程標準提出要加強過程性評價，因而在具體教學過程中，我對于學生的語言與行為的表現，及時給予肯定性的表揚和鼓勵；學生思維暴露出問題時及時評價，矯正思維方向，調整教學思路；為了獲得后反饋信息，布置作業，通過觀察學生完成作業情況，了解學生在知識技能和數學方法方面的收獲和不足，指導我今后教學。整個教學評價是在師生互動中完成的。
以上是我對這節課的設計，懇請各位專家和老師批評、指正。
謝謝！
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