數學實驗的教育價值論文
本期《江蘇教育》刊登了4篇數學實驗教學的文章。這4篇文章既是對近年來數學實驗教學系列課題研究的一個概括性回顧和總結，也是對這個課題研究的反思和前瞻。腳踏實地、堅持不懈,這個初中數學實驗教學團隊闖出了一條路，開拓了一個教學領域，形成了江蘇初中數學教育一道亮麗的風景線，其意義遠勝過閉門造車、書齋造文式的高談闊論。
四篇文章由讀者自品其味，這里筆者對數學實驗的教育價值再作一番思考。
一、數學實驗:學習認知發展的有效途徑
第一，從學生的認知發展分析。數學實驗是指通過動手動腦“做”數學的一種數學學習活動，是學生運用有關工具(如紙張、剪刀、模型、測量工具、作圖工具以及計算機等），在數學思維活動的參與下進行的一種以人人參與的實際操作為特征的數學驗證或探究活動[1]。在這個過程中，學生首先要對實驗對象進行細致觀察，實驗對象可能是實物，也可能是文字、符號、圖形信息，觀察就是要辨析對象變化的特征，提出變化前后可能的因果關系猜想，這一過程以空間想象為支撐。其次，通過觀察，去除無關因素和表面信息，抽象概括出對象在數量或圖形方面的本質特征。因此,數學實驗的過程包括了觀察、空間想象、概括等思維活動。而空間想象、概括這些認知要素最終會形成能力,從這個角度分析可以看到，數學實驗與空間想象能力、概括能力就產生了直接的因果關系。
皮亞杰認為，認知發展的過程是一個內在結構連續的組織和再組織過程，過程的進行是連續和經常的,但它造成的結果是不連續的，因此發展具有階段性。因而我們需要關心學生的概括能力、空間想象能力的關鍵發展期在什么階段。其實,這個問題北京師范大學教授林崇德先生做了深入研究。他把概括能力分為四個等級:第I級為數字概括水平;第II級為初步本質概括水平；第III級為形式運算概括水平;第IV級為辯證抽象概括水平。初中一年級學生是第II級水平,初中二年級學生是中學階段概括能力發展中的第一個轉折點，但仍是第II級水平占優勢,經過初中三年級過渡，高中一年級概括能力又是一個顯著的變化，第III級水平占優勢p]。這項研究表明，初中階段是學生概括能力發展的一個關鍵期。
同樣,林崇德等人對空間想象能力也做了研究。將空間想象能力分為三個水平。第I級水平：由形狀簡單的實物想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物的形狀，通過整體形狀來認識二維或三維的幾何圖形,分析出簡單幾何圖形的特征。第II級水平.?能夠由較復雜的圖形分解出簡單的、基本的圖形，在基本圖形中找出基本元素及其關系，并能夠將圖形及其特征聯系起來，根據條件作出或畫出圖形。第III級水平:能夠由基本圖形組合成較復雜的圖形，能夠想象幾何圖形的運動和變化，會形象地揭示問題的本質。研究結果表明，中學生空間想象能力發展的年齡特征表現在：每一級水平的空間想象能力都是隨著學生年級的升高而呈現上升發展的趨勢。其中，初二學生的空間想象能力在第1、11級水平上，與初一學生相同水平層次上的能力相比較，并沒有太大的進步。初三年級學生在前兩級水平上有一個飛速發展，這表明初中二年級是空間想象能力迅速發展的關鍵期。由于初中二年級的數學課程中大大豐富了?面幾何的內容，因此經過初二一年的學習，初中三年級學生的空間想象能力獲得了一個質的飛躍發展。
上述研究為初中階段開展數學實驗提供了學習心理學方面的依據。在初中學生概括能力和空間想象能力發展的關鍵期，數學實驗的介人會促進這兩種能力的發展，符合學生的認知發展規律。
第二，從“具身認知”理論分析。“具身認知”是一種將認知和身體聯系起來的理論，其核心觀點是:認知、思維、記憶、學習、情感和態度等是身體作用于環境的活動而塑造出來的。從根本上講，心智是一種身體經驗，身體的物理體驗制約了心智活動的性質和特征[3]。認知心理學認為，心智是對符號性表征的加工和操縱,認知在本質上是發生于大腦中樞的'符號運算，身體的作用只是提供刺激和執行指令。與認知心理學不同具身認知”理論還認為，身體的結構和性質決定了認知的種類和特性。認知是身體的認知，而身體的結構和性質又是進化的產物，是環境塑造出來的。這意味著認知、身體和環境是一個緊密的聯合體。思維與身體密不可分，如影隨形地相伴而行,沒有離身的思維，思維活動過程中各種信息都是來源于身體的各項相應的感官通道的擷取與初步組織，而思維的動力與能量的取得，也離不開作為物質的身體健康狀況的承載，就是說，發生認識離不開身體的支撐。事實上，杜威的“從做中學”就是踐行“具身認知”理論的典范，因為這一學習方式建立了學習者的認知與身體動作之間的聯系，以身體的動作來促進思維的發展。
數學實驗是學習者通過對實驗工具的操作，抽象概括出事物的數量特征和圖形特征的學習方式，它改變傳統數學教學“先學后做”為“先做后學”或者“在做中學”的模式，樹立了一種新的教學范式，這種教學的“反叛”在具身認知理論中找到了支持。
二、數學實驗:教學過程完善性的必要補充
長期以來，由于定位于基礎知識和基本技能的考試評價導向作用，使一條完整的教學鏈遭到了破壞。
我們把當下的數學教學稱為知識教學，其特征為：重理論輕實踐、重結果輕過程、重知識輕能力、重證實輕證偽、重訓練輕理解。表現為：要求學生掌握書本知識而不顧及這些知識與現實的聯系，要求學生只是掌握知識的結果而不追問這些知識的結果從何而來又向何而去，要求學生記住知識的外殼而不挖掘知識內在的思想方法，要求學生以虔誠的心態證實和接受真理而不去辨析謬誤和體驗產生真理的艱辛，要求學生能夠解決大量數學練習而不理解數學的本源性問題……本質上，知識的教學不是一種文化教學。
在《教育部關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中，明確界定了“核心素養”，即學生應具備的適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力。突出強調個人修養、社會關愛、家國情懷，更加注重自主發展、合作參與、創新實踐。這種新的導向無疑是對以知識和技能為教學目標的一種批判，必將會使人們產生對教學本質的重新理解，還原教學的完整過程。
教學的完整鏈應當包括三個階段：怎么來的？是什么？怎么去的？第一階段，“怎么來的”指教師要引導學生思考：為什么要學習這個知識？產生這個知識的緣由是什么？這個知識是如何生成的？它與其他知識有什么關系？要解決這幾個問題，教師就必須揭示知識產生的過程和在產生知識的過程中出現的曲折。顯然，知識的過程因素、知識的證偽因素、知識的實踐因素都會在教學的這一階段介人，同時還會有數學文化元素的滲透，這個教學階段為發展學生的數學核心素養起著奠基性作用。第二階段，“是什么”指對教師幫助學生對知識結果的理解，包括利用知識解決數學本身的問題和解決一些現實生活中的問題。知識的理論因素、知識的結果因素、知識的證實因素會在這一階段介人，這個教學階段為發展學生的數學核心素養起著夯實性作用。第三階段，“怎么去的”指教師要啟發學生思考知識會向什么方向發展，在這個知識基礎上會生成什么新的知識。這一階段需要反思性思維、批判性思維、創新性思維的參與，需要猜想、證偽、證實等方法的并用，這個教學階段在發展學生的數學核心素養過程中起著關鍵性作用。
這個教學鏈中，數學實驗擔當了重要的角色，它的亮相主要是在第一階段和第三階段。數學實驗教學摒棄了只重視教學第二階段的傳統做法，是對教學過程完善性的必要補充。
三、數學實驗:課程資源開發的豐富源泉
數學課程資源可以分為外顯素材性資源、外顯條件性資源、內隱素材性資源、內隱條件性資源。外顯素材性資源主要指以文字、語言、符號、圖形、圖表等在教材或媒體上顯示的知識，反映的是外顯的、靜態的結果型知識。外顯條件性資源指課程實施的人力、物力和財力資源，主要涉及設施、媒介和環境。例如圖書館、博物館、大眾傳播系統、網絡、校內外教師資源等均屬于外顯條件性資源。內隱素材性資源是指不以文本形式顯性表述的，潛藏于顯性知識深層的隱性知識。具體地說，包括數學知識的文化元素、數學知識的過程元素、數學知識的邏輯元素、數學知識的背景元素等。內隱條件性資源主要指教師根據對素材性課程資源的理解，結合外顯條件性資源去構建的適合學生學習的課堂環境。
數學實驗材料本身是屬于內隱性課程資源，開發這些資源需要教師對知識的產生、知識之間的聯系、知識中包含的數學思想方法等有深入的理解，對其進行教學法層面的再加工，形成實驗設計。由于這些要素都沒有在教材中明確寫出，需要教師自己開發，因此屬于一種內隱性資源。另一方面，一旦把這些資源開發出來，它們就變成了外顯素材性資源，例如，“初中數學實驗的理論與實踐研究”課題組開發的《義務教育教科書?數學實驗手冊》(共5冊）就是外顯素材性資源。數學實驗材料的開發是對內隱素材性資源的挖掘，開發后形成的結果又是外顯素材性資源’即從課程體系來看，數學實驗兼有外顯和內隱雙重課程資源的性質。
初中數學中許多內容都與數學實驗有內在的聯系，大體上可以分為以下幾種情形：
(1)由具體到一般的問題。從具體到一般去發現規律的過程往往可以介人實驗，實驗就是對個別現象的處理，然后推廣到一般情形。例如，“數字黑洞”是一種數字游戲，通常從一個整數或一組整數出發，按某種規定的計算法則，反復進行同一種操作程序，最終都會回到一個數值上，這個數值就像宇宙中的黑洞一樣將任何數字牢牢吸住。這是從特殊到一般發現結論的過程。
(2)代數問題的幾何解釋。代數問題幾何化，使抽象變為直觀,可視化往往帶來實驗的契機。這方面的例子非常多。例如,將兩個邊長為1個單位長度的正方形，分別沿對角線剪開，得到的4個等腰直角三角形拼成1個大正方形，這個大正方形的面積為2，邊長a是一個無理數。請在數軸上表示出無理數a。
(3)幾何圖形變換問題。通過平移、對折、旋轉、壓縮等幾何變換,能夠發現新的問題。其中，如何變換本身就是數學實驗。(4)通過計算數據發現規律的問題。例如，通過計算、擲骰子、操作Excel等活動，引導學生從具體的幾個有限小數、無限循環小數出發認識無限不循環小數，感受到無限不循環小數是客觀存在的。總之，數學實驗為數學課程資源的開發提供了豐富的源泉。
開發數學實驗材料，需要教師對數學知識有深刻的理解，能透視作為結果性知識背后的實驗成分，需要教師有洞察力和創造力。因此，開發數學實驗材料這種內隱性課程資源，同時能對數學實驗進行恰當的設計，是提升教師自身數學素養、促進專業發展的一條有效途徑。另一方面，把開發出來的外顯性數學實驗文本應用于教學實踐，對于提高學生的學習興趣，發展學生的數學核心素養又有直接的推動作用。這就是數學實驗表現出來的特殊課程資源的功能。
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