學習數(shù)理邏輯學的意義論文
簡要介紹數(shù)理邏輯的發(fā)展史,探討數(shù)理邏輯在現(xiàn)代數(shù)學的解決、論證數(shù)學命題過程中的運用,以及學習這門課程的必要性。
邏輯是研究推理的科學,分為形式邏輯和辨證邏輯。數(shù)理邏輯學開始于用數(shù)學方法對形式邏輯中推理規(guī)律的研究,后來進一步發(fā)展到對數(shù)學中基礎(chǔ)性問題及邏輯性問題的研究。現(xiàn)在數(shù)理邏輯是用數(shù)學方法研究形式邏輯的一門科學,也就是用數(shù)學方法研究推理的科學。所謂數(shù)學方法[1],主要是指引進一套符號體系的方法,因此數(shù)理邏輯又叫符號邏輯。現(xiàn)代數(shù)理邏輯主要有四大分支:證明論、模型論、遞歸論和公理集合論,其中命題演算和謂詞演算(即一般的所謂古典數(shù)理邏輯)是各個分支的共同基礎(chǔ)。
命題是形式邏輯中的基本術(shù)語,也是數(shù)學中最基本的元素。一個命題是一個或真或假而不能兩者都是的斷言,也就是說,命題是一個非真即假的陳述句。由此我們可以看出一個命題具有兩種可能的取值:如果命題是真,我們說它的真值為真,通常用T(True)表示;反之,用F(False)表示真值為假的命題。在計算機語言中則是分別用1和0來表示一個命題真值的真假。像這樣只有兩種取值的命題邏輯稱為二值邏輯。命題的真值與所討論問題的范圍有關(guān),不能一概而論的說某個命題一定是真或一定是假。在所有斷言中有叫悖論的斷言值得一提。
數(shù)學命題包括簡單命題(亦稱原子命題,)和復(fù)合命題。前者是只用一種判斷性謂語動詞敘述某事物的屬性、發(fā)展趨勢、變化方式等狀態(tài)的語句或數(shù)學表達式。把一個或幾個簡單命題用聯(lián)結(jié)詞(與、或、非等)聯(lián)結(jié)所構(gòu)的新的命題,就是復(fù)合命題。基本的邏輯聯(lián)結(jié)詞有:⑴表示“非P”含義的否定詞 ;⑵有“與”、“并且”含義的合取詞∧;⑶表達“或者”、“也許…也許…”含義的析取詞∨;⑷表達“如果…那么…”因果關(guān)系含義的蘊涵詞→。所有的命題被翻譯成復(fù)合命題后,根據(jù)真值表來判斷命題真值的真或假。
數(shù)理邏輯學在數(shù)學理論研究中也有到很多的應(yīng)用,并不只是單單在離散數(shù)學中或普通命題演算中顯示其作用。邏輯演算理論是一種有效的工具,如果熟練地掌握了邏輯演算的方法和技巧,就為進一步了解和掌握諸如歸結(jié)原理、邏輯程序設(shè)計和定理自動證明等奠定了基礎(chǔ)。
尤其是前面提到的數(shù)理邏輯的四個分支,都是現(xiàn)在數(shù)學理論研究的重要工具。比方說,遞歸論應(yīng)用于數(shù)學中不少判定問題的解決(著名的如群論字問題的否定解決,Hilbert第十問題的否定解決);模型論應(yīng)用與不少代數(shù)及分析數(shù)學問題的證明;公理集合論應(yīng)用于不少數(shù)學問題獨立性的證明。
數(shù)理邏輯學的任務(wù)在于探討如何為整個數(shù)學建立嚴格的邏輯基礎(chǔ),其特點在于使用形式
化的方法包括公理化的'方法,因而比較抽象和艱深,這種抽象化的方法除了在建立數(shù)學的基礎(chǔ)方面已經(jīng)取得很大成功而外,還在計算機科學上有重要的應(yīng)用。人工智能又稱機器智能,是計算機科學中一門新興的邊緣學科,它采用人工技術(shù)和方法,研制智能機器或者智能系統(tǒng)以模仿、延伸和擴展人的智能,實現(xiàn)智能行為、賦予機器模擬人處理問題的能力。
自17世紀德國數(shù)學家和哲學家Leibniz開創(chuàng)數(shù)理邏輯這門學科,至今,由于它采用數(shù)學符號化的方法,給出推理規(guī)則,建立推理體系,進而討論推理體系的一致性、可靠性和完備性,在現(xiàn)代的數(shù)學和計算機科學以及在自然科學和社會科學的一些研究中,數(shù)理邏輯都有著廣泛的應(yīng)用。而在現(xiàn)在的大學教育中數(shù)理邏輯卻沒有得到其應(yīng)有的重視,忽略了這門學科不僅提供了一種新的數(shù)學命題的論證途徑,更重要的是在培養(yǎng)科學、嚴謹?shù)乃季S能力方面更有其獨到之處。在很多代數(shù)、集合論方面通常只給出了某些定理,但定理的證明運用本方向的知識卻沒法得到證明,只有依據(jù)了數(shù)理邏輯學方面的知識才得到理論上的支持,從而肯定其定理的正確性。
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