高一數(shù)學(xué)的教學(xué)計劃
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
內(nèi)容：解析幾何介紹，直線的傾斜角和斜率。
本課是解析幾何第一課時。萬事開頭難，好的開始是成功的一半，解析幾何的基本思想和方法都應(yīng)當(dāng)?shù)玫竭m當(dāng)?shù)捏w現(xiàn)，因此教
學(xué)內(nèi)容不僅有傾斜角、斜率的概念，還應(yīng)當(dāng)包含坐標法、數(shù)形結(jié)合思想、解析幾何發(fā)展史等。
直線的傾斜角和斜率都描述了直線的傾斜程度，傾斜角用幾何位置關(guān)系刻畫，斜率從數(shù)量關(guān)系刻畫，二者的聯(lián)系橋梁是正切函數(shù)
值，并且可以用直線上兩個點的坐標表示。建立斜率公式的過程，體現(xiàn)了坐標法的基本思想：把幾何問題代數(shù)化，通過代數(shù)運算研究幾何圖形的性質(zhì)。
本課涉及兩個概念傾斜角和斜率。傾斜角是幾何概念，它主要起過渡作用，是聯(lián)系新舊知識的紐帶，研究斜率、直線的平行、
垂直的解析表示等問題時都要用這個概念;斜率概念，不僅其建立過程很好地體現(xiàn)了解析法，而且它在建立直線方程、通過直線方程研究幾何問題時也起核心作用，這是因為在直角坐標系下，確定直線的條件最本質(zhì)條件是直線上的一個點及其斜率，其他形式都可以化歸到這兩個條件上來。
綜上，從解析幾何的基本方法坐標法的基本思想考慮，斜率概念是本課時的核心概念。 本課的教學(xué)重點是：
使學(xué)生經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，初步了解解析幾何研究問題的基本思想方法，體會坐標法;理解斜率的定義，掌握過兩點的
直線的斜率公式。
二、目標和目標解析
1.理解傾斜角的概念，體會在直角坐標系下，以坐標軸為參照系，用統(tǒng)一的標準刻畫幾何元素的思想方法。 2.理解斜率的定義和斜率公式，經(jīng)歷幾何問題代數(shù)化的過程，了解解析法的基本步驟，感受解析幾何的思想方法。 3.通過解析幾何發(fā)展史的簡單介紹，滲透數(shù)學(xué)文化教育。 三、教學(xué)問題診斷分析
平面幾何中，兩點確定一條直線是沒有參照系的，如何使學(xué)生在這一知識的基礎(chǔ)上，順利、自然地過渡到直角坐標系下用一個
點和傾斜角確定一條直線，是比較困難的。事實上，已知直線的傾斜角就相當(dāng)于已知直線的方向，因此已知兩個點可以確定直線的方向，這與一個點和直線的方向確定一條直線是一致的。在教學(xué)中應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生建立這種聯(lián)系。
由于學(xué)生還沒有系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角函數(shù)，所以要求學(xué)生利用補充的公式對傾斜角和斜率的關(guān)系進行研究，并猜想出一般的結(jié)論，是比
較困難的。
函數(shù)是以圖助數(shù)，利用圖形使代數(shù)問題直觀化，解析幾何則是以數(shù)助形，用坐標法研究幾何問題。它們都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，
但角度不同。學(xué)生知道一次函數(shù)的圖象是一條直線，這里研究的是直線的方程，學(xué)生容易將二者混淆，誤認為方程就是一次函數(shù)。因此在教學(xué)時要注意澄清二者的不同。
基于上述分析，確定本課時的教學(xué)難點：
直角坐標系下刻畫直線的幾何要素的認識傾斜角概念的形成;用坐標刻畫傾斜角的方法斜率概念本質(zhì)的認識。 四.教學(xué)支持條件分析
可以借用幾何畫板動態(tài)演示坐標系下確定直線的幾何要素，傾斜角的變化與斜率變化之間的關(guān)系等。借助實物展臺展示學(xué)生的研
究方法和計算過程。
五.教學(xué)過程設(shè)計
(一)引言
在平面幾何里，我們直接依據(jù)圖形中點、線、面的關(guān)系，研究圖形的性質(zhì)。現(xiàn)在我們采用另一種研究方法：坐標法。坐標法是在
坐標系的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的一種方法。
本章首先在平面直角坐標系中，給直線插上方程的翅膀，通過直線方程研究直線之間的位置關(guān)系：平行、垂直，以及兩條直線
的交點坐標，點到直線的距離等。
解析幾何是17世紀法國數(shù)學(xué)家笛卡爾和費馬共同創(chuàng)立的。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個重要的里程碑，數(shù)學(xué)從此由常
量數(shù)學(xué)進入變量數(shù)學(xué)時期。解析幾何由此成為近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。
本課時我們將研究最基礎(chǔ)的知識直線的傾斜角和斜率，并在其學(xué)習(xí)過程中體會和感受解析幾何研究問題的基本方法和思想。 (設(shè)計意圖：使學(xué)生了解學(xué)習(xí)的新內(nèi)容的特點及意義。) (二)傾斜角概念的形成
問題1 平面幾何中，確定直線的條件是什么?對于平面直角坐標系內(nèi)的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢? (設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)初中學(xué)過的相關(guān)知識，尋找本課時學(xué)習(xí)內(nèi)容的固著點、生長點。) 預(yù)設(shè)的回答：兩點確定一條直線。
啟發(fā)引導(dǎo)：還有沒有別的方法?能否利用給定的.直角坐標系? 在學(xué)生一定時間的思考后提出
問題2在直角坐標系內(nèi)任給一個點，過這個點的直線有無數(shù)條。再給一個什么條件就可以唯一確定一條直線呢?請動手操作一下。 預(yù)設(shè)的回答：可能會有與x軸的交角與y軸的交角等。
啟發(fā)性講解：(借助于信息技術(shù)演示)可以發(fā)現(xiàn)，過一個點的直線有無數(shù)條，再借助坐標軸，給定直線與坐標軸的交角，那么直
線就唯一確定了。一般的，我們以水平線x軸為基準，這也符合我們?nèi)粘１硎疚矬w傾斜程度的習(xí)慣。因此我們約定圖1中的角表示直線的傾斜程度，把它叫做直線的傾斜角。
由教師給出直線的傾斜角的定義，指出傾斜角的意義：
當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角
(angle of inclination).圖2中直線l的傾斜角為銳角，直線l的傾斜角為鈍角。當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0o。
(這個定義可否這樣給出：當(dāng)直線l與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的最小正(這三個字是否添加要看必修教材教學(xué)的順序，如果是12345的順序，就不需要添加正字，如果是14523的順序，則需要添加)角叫做直線l的傾斜角(angle of inclination).當(dāng)直線與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0o，因此直線的傾斜角的取值范圍為0o180o.(這
樣做的原因是，定義簡潔，自明，惟一，可以根據(jù)定義進行判斷，而不需要用圖形對定義進行補充說明。) 追問：由定義，傾斜角的范圍是什么?
(設(shè)計意圖：在定義的形成過程中主要上針對個別條直線，研究的重點是定義的形成，通過這個問題引導(dǎo)學(xué)生研究所有直線與其
傾斜角的關(guān)系，將定義具體化，全面化，同時得到傾斜角的意義。)
預(yù)設(shè)的答案：傾斜角的取值范圍為0o180o。
傾斜角的意義：平面內(nèi)每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等;傾斜程度不同的直線，其傾
斜角步等。因此，直線的傾斜角表示平面內(nèi)一條直線的傾斜程度。
(三)斜率概念的形成
問題3 日常生活中我們經(jīng)常遇到上坡下坡之類的問題，你知道哪些表示傾斜程度的量嗎?這些量與傾斜角有關(guān)系嗎? (設(shè)計意圖：了解學(xué)生的知識經(jīng)驗，并引導(dǎo)學(xué)生建立坡度與傾斜角的關(guān)系。)
(活動方式：先由學(xué)生在回憶的基礎(chǔ)上做答，教師收集整理，挑選其中合理的成份。之后再在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生建立這
個量與傾斜角之間的關(guān)系。)
預(yù)設(shè)的復(fù)習(xí)答案：可以用坡度表示斜坡的傾斜程度，如圖3，有坡度(比)=。
(此處可舉具體的數(shù)字進行解釋或復(fù)習(xí))
坡度與傾斜角的關(guān)系預(yù)設(shè)的答案：如圖3所示是斜坡的主視圖，可見，斜坡可以抽象為一條直線，它關(guān)于水平面的傾斜角記為，
那么這里的坡度(比)實際就是傾斜角的正切值。
小結(jié)講授：把一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率(slope)。斜率常用小寫字母k表示，即k=tan。
問題4 如圖2，直線l的傾斜角=45 o，直線l的傾斜角=135 o，寫出兩條直線的斜率。再選取一些數(shù)據(jù)如傾斜角為：30 o，
150 o，60 o，120 o等，計算相應(yīng)直線的斜率。并分析直線的傾斜角不同時，直線的斜率取值是否也不同，在此基礎(chǔ)上總結(jié)斜率的意義。
(提示：當(dāng)為銳角時，tan(180 o-)=-tan。)
(設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過有代表性的具體實例的分析，利用提示中的知識，結(jié)合初中學(xué)過的正切值，了解斜率取值的特點，
滲透分類討論點思想總結(jié)出斜率的意義。此處也可以多增加一些角，用計算器計算)
(活動方式：由學(xué)生獨立完成，教師在方法上予以指導(dǎo)分類討論法，并類比傾斜角的意義思考概括。) 計算過程：表1： 傾斜角 30 o 45 o 60 o 135 o 120 o 150 o 斜率
預(yù)設(shè)的答案：傾斜角是90 o的直線沒有斜率;傾斜角不是90 o的直線都有斜率;傾斜角不同，直線的斜率也不同。斜率大
于0的直線的傾斜角為銳角，并且斜率越大傾斜角越大;斜率小于0的直線的傾斜角為鈍角，并且斜率越小傾斜角越大。(此處可以結(jié)合具體計算過程得到的表1進行理解。)
因此，我們可以用斜率表示直線的傾斜程度。 (四)直線斜率的坐標計算法
問題5：確定直線的兩個條件點和傾斜角(或斜率)中的點可以用坐標表示，傾斜角已經(jīng)代數(shù)化為斜率。在引言中已經(jīng)談到，
解析幾何的基本方法就是坐標法，因此要利用傾斜角和斜率對直線進行進一步的代數(shù)化的研究必須建立斜率的坐標表示方法。根據(jù)斜率定義的過程，你能否將坡度進一步坐標化，在此基礎(chǔ)上求出斜率的坐標表示?
(設(shè)計意圖：逐步實踐坐標法。)
(活動方式：先由學(xué)生初步坐標化，教師引導(dǎo)分類求解。) 活動過程：
原問題轉(zhuǎn)化為：給定兩點P1(x1,y1), P2(x2, y2)(其中x1x2)的坐標，求出直線P1 P2的斜率k。
分析：解決這個問題需要分類求解，首先是對于特殊直線，與x軸垂直或平行(重合)的直線進行分析求解。對于其他直線分類
的依據(jù)是兩點在直線上位置以及直線的傾斜角是銳角還是鈍角。所以二級分類共得到四種不同的情況，如圖4所示。分類求解。
解決的具體思路是：先就圖4(1)求解，再變式為圖4(2)，比較異同求解;之后就圖4(3)求解，再變式為圖4(4)，類
比求解。
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