數學《立方根》教案

時間：2024-08-01 01:00:03

數學《立方根》教案

數學《立方根》教案

數學《立方根》教案

　　以下是為您推薦的立方根，希望本篇文章對您學習有所幫助。

　　立方根

　　●教學目標

　　(一)教學知識點

　　1.了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根.

　　2.能用立方運算求某些數的立方根，了解開立方與立方互為逆運算.

　　3.了解立方根的性質.

　　4.區分立方根與平方根的不同.

　　(二)能力訓練要求

　　1.在學了平方根的基礎上，要求學生能用類比的方法學習立方根的有關知識，領會類比思想.

　　2.發展學生的求同求異思維，使他們能在復雜環境中明辨是非.

　　(三)情感與價值觀要求

　　當今社會是科學飛速發展、信息千變萬化的時代，每一個人都不可能把一生中要接觸的知識全部學會，因此讓他們會學知識比學會知識更重要，這就要從小培養良好的學習習慣，能自己解決的問題就自己解決，其中類比的學習方法就是一種重要的學習方法，本節課重點訓練學生的類比思想的養成.

　　●教學重點

　　立方根的概念.

　　●教學難點

　　1.正確理解立方根的概念.

　　2.會求一個數的立方根.

　　3.區分立方根與平方根的不同之處.

　　●教學方法

　　類比學習法.

　　●教具準備

　　投影片兩張：

　　第一張：平方根與立方根的聯系與區別(記作§2.3A);

　　第二張：補充練習(記作§2.3B).

　　●教學過程

　　Ⅰ.新課導入

　　上節課我們學習了平方根的定義，若x2=a，則x叫a的平方根，即x=±.

　　若正方體的棱長為a，體積為8，根據正方體體積的公式得a3=8，那a叫8的什么呢?本節課請大家根據上節課的內容自己來類推出結論，若x3=a，則x叫a的什么呢?

　　Ⅱ.新課講解

　　1.[師]請大家先回憶平方根的定義.

　　[生]若一個數x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根.

　　[師]在平方根定義的基礎上，若x3=a，則x叫a的什么呢?請大家自己猜想然后討論得出結果.

　　[生]因為x2=a，x叫a的平方根，所以當x的立方等于a時，x叫a的立方根.

　　[師]當x4=a時，x叫a的什么根呢?

　　[生]當x的4次方等于a時，x叫a的4次方根.

　　[師]大家應為這位同學的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根據平方根的寫法來類推立方根的記法呢?

　　[生]能.若x的平方等于a，則x叫a的平方根，記作x=±，讀作x等于正、負二次根號a，簡稱為x等于正，負根號a.若x的立方等于a，則x叫a的立方根，記作x=±，讀作x等于正、負三次根號a，簡稱x等于正、負根號a.

　　[師]請大家對這位同學的回答展開討論，小組總結后選代表發言.

　　[生甲]我認為這位同學回答得不對.如果x2=a，則x=±，x3=a時，x=±也成立的話，那如何區分平方根與立方根呢?

　　[生乙]因為乘方與開方是互為逆運算，求立方根可通過逆運算立方來求，如x3=8，因為23=8，所以x=2，只有一個根而不是±2，所以立方根的個數不正確.

　　[師]大家的分析非常有道理，請認真看書第13、14頁可知，若一個數x的立方等于a，即x3=a，那么這個數x就叫做a的立方根(cuberoot;也叫三次方根)如2是8的立方根，記為x=，讀作x等于三次根號a.

　　開立方的定義

　　[師]大家先回憶開平方的定義，再類推開立方的定義.

　　[生]求一個數a的平方根的運算，叫做開平方，則求一個數a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方數.

　　(2)立方根的性質

　　[師]2的立方等于多少?是否有其他的數，它的立方也是8?

　　[生]2的立方等于8，(-2)3=-8，所以沒有其他的數的立方等于8.

　　[師]-3的立方等于多少?是否有其他的數，它的立方也是-27?

　　[生]-3的立方等于-27，33=27，所以沒有其他的數的立方等于-27.

　　[師]0的立方等于多少?0有幾個立方根?

　　[生]0的立方等于0，0有1個立方根是0.

　　[師]從剛才的討論中，大家總結一下正數有幾個立方根?0有幾個立方根?負數有幾個立方根?

　　[生]正數有一個立方根，0有一個立方根是0，負數有一個立方根.

　　[師]對.正數有一個正的立方根、負數有一個負的立方根，0的立方根有一個，是0.

　　(3)平方根與立方根的區別與聯系.

　　[師]我們已經學習了平方根與立方根的定義，并會求某些數的平方根和立方根，下面請大家說說它們的聯系與區別.

　　[生]從定義來看，若一個數x的平方等于a，即x2=a，則x叫a的平方根;若一個數x的立方等于a，即x3=a，則x叫a的立方根，都是一個數x的乘方等于a，但一個是平方，另一個是立方.

　　[生]一個正數的平方根有兩個，一個負數沒有平方根，零的平方根有一個是零;一個正數的立方根有一個，并且是正數，一個負數有一個負的立方根，零的立方根有一個是零.

　　[生]它們的表示方法和讀法不同，一個正數a的平方根表示為±，立方根表示為.

　　[師]很好.大家現在已經具備了一定的分析判斷能力，這對大家以后的學習和工作非常有幫助，繼續發揚下去，你們都將前途無量，下面我再系統地總結一下.

　　投影片：(§2.3A)

　　平方根與立方根的聯系與區別.

　　聯系：

　　(1)0的平方根、立方根都有一個是0.

　　(2)平方根、立方根都是開方的結果.

　　區別：

　　(1)定義不同：“如果一個數的平方等于a，這個數就叫做a的平方根”;“如果一個數的立方等于a，這個數就叫做a的立方根.”

　　(2)個數不同：一個正數有兩個平方根，一個正數有一個立方根;一個負數沒有平方根，一個負數有一個立方根.

　　(3)表示法不同

　　正數a的平方根表示為±，a的立方根表示為.

　　(4)被開方數的取值范圍不同

　　±中的被開方數a是非負數;中的被開方數可以是任何數.

　　2.例題講解

　　[例1]求下列各數的立方根：

　　(1)-27;(2);(3)0.216;(4)-5.

　　解：(1)因為(-3)3=-27，所以-27的立方根是-3，即=-3;

　　(2)因為()3=，所以的立方根是，即=;

　　(3)因為0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即=0.6;

　　(4)-5的立方根是.

　　[師]請大家思考下列問題.

　　表示a的立方根，則()3等于什么?等于什么?

　　大家可以先舉例后找規律.

　　[生]∵23=8，∴=2，()3=8;

　　∵(-2)3=-8，

　　∴=-2;()3=-8;

　　∵()3=，

　　∴;

　　∵(-)3=-，

　　∴.

　　∴()3=a.

　　[師]若x3=a，則x=，∴x3=()3=a.

　　∴()3=a.

　　又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以=a.下面就這兩個式子進行練習.

　　[例2]求下列各式的值：

　　(1);(2);(3)-;(4)()3

　　解：(1)==-2;

　　(2)=;

　　(3)=;

　　(4)()3=9.

　　Ⅲ.課堂練習

　　(一)隨堂練習

　　1.求下列各式的值：

　　解：;

　　2.一個正方體，它的體積是棱長為3厘米的正方體體積的8倍，這個正方體的棱長是多少?

　　解：設正方體的棱長是x厘米，得

　　x3=8×33

　　∴x3=216

　　∴x=6(厘米)

　　答：這個正方體的棱長是6厘米.

　　(二)補充練習

　　投影片：(§2.3B)

　　1.求下列各數的立方根：

　　0，1，-，6，-，0.001

　　2.求下列各式的值：

　　3.下列說法對不對?

　　-4沒有立方根;

　　1的立方根是±1;

　　的立方根是;

　　-5的立方根是-;

　　64的算術平方根是8.

　　1.解：因為03=0，所以0的立方根為0.

　　即=0;

　　因為13=1，所以1的立方根為1.

　　即=1;

　　因為的立方根為.

　　即;

　　6的立方根為;

　　∵-的立方根為-，即;

　　∵0.13=0.001，所以0.001的立方根為0.1，即=0.1.

　　2.解：;

　　3.答案：錯.因為負數也有立方根;

　　錯.因為1的立方根是1;

　　錯.的立方根是，平方根是±;

　　對.-5的立方根是，-;

　　對.

　　Ⅳ.議一議

　　1.某化工廠使用一種球形儲氣罐儲藏氣體.現在要造一個新的球形儲氣罐，如果它的體積是原來的8倍，那么它的半徑是原儲氣罐半徑的多少倍?

　　解：設原來的球形儲氣罐的半徑為r1，后來的儲氣罐的半徑為r2，由球體積公式V=πr3得

　　8×πr13=πr23

　　∴8r13=r23

　　∴(2r1)3=r23

　　∴r2=2r1

　　即新儲氣罐的半徑是舊儲氣罐半徑的2倍.

　　2.一個正方體的體積變為原來的n倍，它的棱長變為原來的多少倍?

　　解：設原正方體的棱長為a，后來的正方體的棱長為b，得

　　na3=b3∴

　　∴b=.

　　即后來的棱長變為原來的倍.

　　Ⅴ.課時小結

　　本節課學了如下內容：

　　1.立方根的定義.

　　2.立方根的性質.

　　3.開立方的定義.

　　4.平方根與立方根的區別與聯系.

　　5.會求一個數的立方根.

　　Ⅵ.課后作業

　　習題2.5.

　　Ⅶ.活動與探究

　　1.求下列各式中的x.

　　(1)8x3+27=0;

　　(2)(x-1)3-0.343=0;

　　(3)81(x+1)4=16;

　　(4)32x5-1=0.

　　分析：先把每一個式子都化成x3=的形式，然后再根據平方根或立方根的定義來求，

　　解：(1)由8x3+27=0.∴8x3=-27

　　∴x3=∴x=;

　　(2)由(x-1)3-0.343=0

　　∴(x-1)3=0.343

　　∴x-1==0.7

　　∴x=1.7;

　　(3)由81(x+1)4=16

　　∴(x+1)4=

　　∴x+1=±

　　∴x=±-1∴x=-或x=-;

　　(4)由32x5-1=0

　　∴x5=

　　∴x=.

　　2.求滿足+1=x的x的值.

　　解：=x-1

　　∴x-1=-1或x-1=0或x-1=1

　　∴x=0或x=1或x=2

　　3.計算

　　(1)-;

　　(2).

　　解：(1);

　　(2)

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