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空間平面與平面的位置關(guān)系教案

時(shí)間:2024-09-23 04:30:43

空間平面與平面的位置關(guān)系教案

空間平面與平面的位置關(guān)系教案

空間平面與平面的位置關(guān)系教案

  14.4(1)空間平面與平面的位置關(guān)系

  一、內(nèi)容分析

  二面角是我們?nèi)粘I钪薪?jīng)常見到的一個(gè)圖形,它是在學(xué)生學(xué)過空間異面直線所成的角、直線和平面所成角之后,研究的一種空間的角,二面角進(jìn)一步完善了空間角的概念.掌握好本節(jié)的知識(shí),對(duì)學(xué)生系統(tǒng)地理解直線和平面的知識(shí)、空間想象能力的培養(yǎng),乃至創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義.

  二、目標(biāo)設(shè)計(jì)

  理解二面角及其平面角的概念;能確認(rèn)圖形中的已知角是否為二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步運(yùn)用它們解決相關(guān)問題.

  三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)

  二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.

  四、教學(xué)流程設(shè)計(jì)

  五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

  一、 新引入

  1.復(fù)習(xí)和回顧平面角的有關(guān)知識(shí).

  平面中的角

  定義從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形,叫做角

  圖形

  結(jié)構(gòu)射線—點(diǎn)—射線

  表示法∠AOB,∠O等

  2.復(fù)習(xí)和回顧異面直線所成的角、直線和平面所成的角的定義,及其共同特征.(空間角轉(zhuǎn)化為平面角)

  3.觀察:陡峭與否,跟坡面與水平面所成的角大小有關(guān),而坡面與水平面所成的角就是兩個(gè)平面所成的角.在實(shí)際生活當(dāng)中,能夠轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面所成角例子非常多,比如在這間教室里,誰能舉出能夠體現(xiàn)兩個(gè)平面所成角的實(shí)例?(如圖1,本的開合、門或窗的開關(guān).)從而,引出“二面角”的定義及相關(guān)內(nèi)容.

  二、學(xué)習(xí)新

  (一)二面角的定義

  平面中的角二面角

  定義從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形,叫做角本P17

  圖形

  結(jié)構(gòu)射線—點(diǎn)—射線半平面—直線—半平面

  表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β

  (二)二面角的圖示

  1.畫出直立式、平臥式二面角各一個(gè),并分別給予表示.

  2.在正方體中認(rèn)識(shí)二面角.

  (三)二面角的平面角

  平面幾何中的“角”可以看作是一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成,它有一個(gè)旋轉(zhuǎn)量,它的大小可以度量,類似地,"二面角"也可以看作是一個(gè)半平面以其棱為軸旋轉(zhuǎn)而成,它也有一個(gè)旋轉(zhuǎn)量,那么,二面角的大小應(yīng)該怎樣度量?

  1.二面角的平面角的定義(本P17).

  2.∠AOB的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無關(guān).

  [說明]①平面與平面的位置關(guān)系,只有相交或平行兩種情況,為了對(duì)相交平面的相互位置作進(jìn)一步的探討,有必要研究二面角的度量問題.

  ②與兩條異面直線所成的角、直線和平面所成的角做類比,用“平面角”去度量.

  ③二面角的平面角的三個(gè)主要特征:角的頂點(diǎn)在棱上;角的兩邊分別在兩個(gè)半平面內(nèi);角的兩邊分別與棱垂直.

  3.二面角的平面角的范圍:

  (四)例題分析

  例1 一張邊長為a的正三角形紙片ABC,以它的高AD為折痕,將其折成一個(gè) 的二面角,求此時(shí)B、C兩點(diǎn)間的距離.

  [說明] ①檢查學(xué)生對(duì)二面角的平面角的定義的掌握情況.

  ②翻折前后應(yīng)注意哪些量的位置和數(shù)量發(fā)生了變化, 哪些沒變?

  例2 如圖,已知邊長為a的等邊三角形 所在平面外有一點(diǎn)P,使PA=PB=PC=a,求二面角 的大小.

  [說明] ①求二面角的步驟:作—證—算—答.

  ②引導(dǎo)學(xué)生掌握解題可操作性的通法(定義法和線面垂直法).

  例3 已知正方體 ,求二面角 的大小.(本P18例1)

  [說明] 使學(xué)生進(jìn)一步熟悉作二面角的平面角的方法.

  (五)問題拓展

  例4 如圖,坡的傾斜度(坡面與水平面所成二面角的度數(shù))是 ,坡上有一條直道CD,它和坡腳的水平線AB的夾角是 ,沿這條路上,行走100米后升高多少米?

  [說明]使學(xué)生明白數(shù)學(xué)既于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際.

  三、鞏固練習(xí)

  1.在棱長為1的正方體 中,求二面角 的大小.

  2. 若二面角 的大小為 ,P在平面 上,點(diǎn)P到 的距離為h,求點(diǎn)P到棱l的距離.

  四、堂小結(jié)

  1.二面角的定義

  2.二面角的平面角的定義及其范圍

  3.二面角的平面角的常用作圖方法

  4.求二面角的大小(作—證—算—答)

  五、作業(yè)布置

  1.本P18練習(xí)14.4(1)

  2.在 二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn),它到另一個(gè)面的距離是10,求它到棱的距離.

  3.把邊長為a的正方形ABCD以BD為軸折疊,使二面角A-BD-C成 的二面角,求A、C兩點(diǎn)的距離.

  六、教學(xué)設(shè)計(jì)說明

  本節(jié)的設(shè)計(jì)不是簡(jiǎn)單地將概念直接傳受給學(xué)生,而是考慮到知識(shí)的形成過程,設(shè)法從學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)出發(fā),調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與探索、發(fā)現(xiàn)、問題解決全過程.“二面角”及“二面角的平面角”這兩大概念的引出均運(yùn)用了類比的手段和方法.教學(xué)過程中通過教師的層層鋪墊,學(xué)生的主動(dòng)探究,使學(xué)生經(jīng)歷概念的形成、發(fā)展和應(yīng)用過程,有意識(shí)地加強(qiáng)了知識(shí)形成過程的教學(xué).

  高考數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)二項(xiàng)式定理復(fù)習(xí)教案

  二項(xiàng)式定理(1)

  一.復(fù)習(xí)目標(biāo):

  1.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì),并能用它們討論整除、近似計(jì)算等相關(guān)問題.

  2.能利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求二項(xiàng)式的指數(shù)、求滿足條的項(xiàng)或系數(shù).

  二.知識(shí)要點(diǎn):

  1.二項(xiàng)式定理: .

  2.二項(xiàng)展開式的性質(zhì):

  (1)在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) .

  (2)若 是偶數(shù),則 的二項(xiàng)式系數(shù)最大;若 是奇數(shù),則 的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

  (3)所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于 .

  (4)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和 .

  三.前預(yù)習(xí):

  1.設(shè)二項(xiàng)式 的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為 ,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為 ,若 ,則 ( )

  4 5 6 8

  2.當(dāng) 且 時(shí), (其中 ,且 ),則 的值為 ( )

  0 1 2 與 有關(guān)

  3.在 的展開式中常數(shù)項(xiàng)是 ;中間項(xiàng)是 .

  4.在 的展開式中,有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為第3,6,9項(xiàng).

  5.求 展開式里 的系數(shù)為-168.

  6.在 的展開式中, 的系數(shù)是 的系數(shù)與 的系數(shù)的等差中項(xiàng),若實(shí)數(shù) ,那么 .

  四.例題分析:

  例1.求 展開式中系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng).

  解: 展開式的通項(xiàng)為 ,

  設(shè)第 項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值最大,即 ,

  所以 ,∴ 且 ,∴ 或 ,

  故系數(shù)絕對(duì)值最大項(xiàng)為 或 .

  例2.已知 展開式中最后三項(xiàng)的系數(shù)的和是方程 的正數(shù)解,它的中間項(xiàng)是 ,求 的值.

  解:由 得 ,∴ (舍去)或 ,

  由題意知, ,∴

  已知條知,其展開式的中間項(xiàng)為第4項(xiàng),即 ,

  ∴ ,∴ 或 ,∴ 或 .

  經(jīng)檢驗(yàn)知,它們都符合題意。

  例3.證明 能被 整除( ).

  證明: ∵ 是整數(shù),∴ 能被64整除.

  五.后作業(yè): 班級(jí) 學(xué)號(hào) 姓名

  1.若 ,則 的值為 ( )

  1 -1 0 2

  2.由 展開所得的 的多項(xiàng)式中,系數(shù)為有理數(shù)的共有 ( )

  50項(xiàng) 17項(xiàng) 16項(xiàng) 15項(xiàng)

  3. 的展開式中, 的系數(shù)為179.(用數(shù)字作答)

  4. 的展開式中, 的系數(shù)為 ,常數(shù) 的值為4.

  5.求 除以 的余數(shù).

  解:∵ 由上面展開式可知199911除以8的余數(shù)是7.

  6.(1)求 展開式中系數(shù)最大項(xiàng).(2)求 展開式中系數(shù)最大項(xiàng).

  解:(1)設(shè)第 項(xiàng)系數(shù)最大,則有

  ,即 ,即 ,

  ∴ 且 ,∴ .

  所以系數(shù)最大項(xiàng)為

  (2)展開式共有8項(xiàng),系數(shù)最大項(xiàng)必為正項(xiàng),即在第一、三、五、七這四項(xiàng)中取得,故系數(shù)最大項(xiàng)必在中間或偏右,故只需比較 和 兩項(xiàng)系數(shù)大小即可.又因?yàn)?/p>

  , ,所以系數(shù)最大的項(xiàng)是第五項(xiàng)為 .

  7.設(shè) ,若展開式中關(guān)于 的一次項(xiàng)系數(shù)和為11,試問 為何值時(shí),含 項(xiàng)的系數(shù)取得最小值.

  解:由題意知 ,即 ,

  又展開式中含 項(xiàng)的系數(shù) ,

  ∴當(dāng) 或 時(shí),含 項(xiàng)的系數(shù)最小,最小值為 .

  此時(shí) ;或 .

  8.設(shè) 展開式中第2項(xiàng)的系數(shù)與第4項(xiàng)的系數(shù)的比為4:45,試求 項(xiàng)的系數(shù).

  解:第 項(xiàng) ,

  ∴ ,即 ,∴ ,

  ∴ 或 (舍負(fù)).

  令 ,即 ,∴ .

  ∴ 項(xiàng)的系數(shù) .

  9.求 的近似值,使誤差小于 .

  解:

  20xx屆高考數(shù)學(xué)知識(shí)圓錐曲線與方程導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案

  第九章 圓錐曲線與方程

  高考導(dǎo)航

  考試要求重難點(diǎn)擊命題展望

  1.了解圓錐曲線的實(shí)際背景,了解圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用;

  2.掌握橢圓、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì);

  3.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程,知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);

  4.了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用;

  5.理解數(shù)形結(jié)合的思想;

  6.了解方程的曲線與曲線的方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 本章重點(diǎn):1.橢圓、雙曲線、拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì);2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題;3.求曲線的方程或曲線的軌跡;4.數(shù)形結(jié)合的思想,方程的思想,函數(shù)的思想,坐標(biāo)法.

  本章難點(diǎn):1.對(duì)圓錐曲線的定義及性質(zhì)的理解和應(yīng)用;2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題;3.曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系. 圓錐曲線與函數(shù)、方程、不等式、三角形、平面向量等知識(shí)結(jié)合是高考常考題型.極有可能以一小一大的形式出現(xiàn),小題主要考查圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法運(yùn)用;解答題常作為數(shù)學(xué)高考的把關(guān)題或壓軸題,綜合考查學(xué)生在數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的能力.

  知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

  9.1 橢 圓

  典例精析

  題型一 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

  【例1】已知點(diǎn)P在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上,點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為453和

  253,過P作長軸的垂線恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),求橢圓的方程.

  【解析】由橢圓的定義知,2a=453+253=25,故a=5,

  由勾股定理得,(453)2-(253)2=4c2,所以c2=53,b2=a2-c2=103,

  故所求方程為x25+3y210=1或3x210+y25=1.

  【點(diǎn)撥】(1)在求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),常用待定系數(shù)法,但是當(dāng)焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí),需要考慮兩種情形,有時(shí)也可設(shè)橢圓的統(tǒng)一方程形式:mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n);

  (2)在求橢圓中的a、b、c時(shí),經(jīng)常用到橢圓的定義及解三角形的知識(shí).

  【變式訓(xùn)練1】已知橢圓C1的中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上,拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上.小明從曲線C1,C2上各取若干個(gè)點(diǎn)(每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn)),并記錄其坐標(biāo)(x,y).由于記錄失誤,使得其中恰有一個(gè)點(diǎn)既不在橢圓C1上,也不在拋物線C2上.小明的記錄如下:

  據(jù)此,可推斷橢圓C1的方程為 .

  【解析】方法一:先將題目中的點(diǎn)描出來,如圖,A(-2,2),B(-2,0),C(0,6),D(2,-22),E(22,2),F(xiàn)(3,-23).

  通過觀察可知道點(diǎn)F,O,D可能是拋物線上的點(diǎn).而A,C,E是橢圓上的點(diǎn),這時(shí)正好點(diǎn)B既不在橢圓上,也不在拋物線上.

  顯然半焦距b=6,則不妨設(shè)橢圓的方程是x2m+y26=1,則將點(diǎn)

  A(-2,2)代入可得m=12,故該橢圓的方程是x212+y26=1.

  方法二:欲求橢圓的解析式,我們應(yīng)先求出拋物線的解析式,因?yàn)閽佄锞的解析式形式比橢圓簡(jiǎn)單一些.

  不妨設(shè)有兩點(diǎn)y21=2px1,①y22=2px2,②y21y22=x1x2,

  則可知B(-2,0),C(0,6)不是拋物線上的點(diǎn).

  而D(2,-22),F(xiàn)(3,-23)正好符合.

  又因?yàn)闄E圓的交點(diǎn)在x軸上,故B(-2,0),C(0,6)不可能同時(shí)出現(xiàn).故選用A(-2,2),E(22,2)這兩個(gè)點(diǎn)代入,可得橢圓的方程是x212+y26=1.

  題型二 橢圓的幾何性質(zhì)的運(yùn)用

  【例2】已知F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),P為橢圓上一點(diǎn),∠F1PF2=60°.

  (1)求橢圓離心率的范圍;

  (2)求證:△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

  【解析】(1)設(shè)橢圓的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),PF1=m,PF2=n,在△F1PF2中,

  由余弦定理可知4c2=m2+n2-2mncos 60°,

  因?yàn)閙+n=2a,所以m2+n2=(m+n)2-2mn=4a2-2mn,

  所以4c2=4a2-3mn,即3mn=4a2-4c2.

  又mn≤(m+n2)2=a2(當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)),

  所以4a2-4c2≤3a2,所以c2a2≥14,

  即e≥12,所以e的取值范圍是[12,1).

  (2)由(1)知mn=43b2,所以 =12mnsin 60°=33b2,

  即△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關(guān).

  【點(diǎn)撥】橢圓中△F1PF2往往稱為焦點(diǎn)三角形,求解有關(guān)問題時(shí),要注意正、余弦定理,面積公式的使用;求范圍時(shí),要特別注意橢圓定義(或性質(zhì))與不等式的聯(lián)合使用,如PF1?PF2≤(PF1+PF22)2,PF1≥a-c.

  【變式訓(xùn)練2】已知P是橢圓x225+y29=1上的一點(diǎn),Q,R分別是圓(x+4)2+y2=14和圓

  (x-4)2+y2=14上的點(diǎn),則PQ+PR的最小值是 .

  【解析】設(shè)F1,F(xiàn)2為橢圓左、右焦點(diǎn),則F1,F(xiàn)2分別為兩已知圓的圓心,

  則PQ+PR≥(PF1-12)+(PF2-12)=PF1+PF2-1=9.

  所以PQ+PR的最小值為9.

  題型三 有關(guān)橢圓的綜合問題

  【例3】(2010全國新課標(biāo))設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且AF2,AB,BF2成等差數(shù)列.

  (1)求E的離心率;

  (2)設(shè)點(diǎn)P(0,-1)滿足PA=PB,求E的方程.

  【解析】(1)由橢圓定義知AF2+BF2+AB=4a,

  又2AB=AF2+BF2,得AB=43a.

  l的方程為y=x+c,其中c=a2-b2.

  設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組

  化簡(jiǎn)得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,

  則x1+x2=-2a2ca2+b2,x1x2=a2(c2-b2)a2+b2.

  因?yàn)橹本AB斜率為1,所以AB=2x2-x1=2[(x1+x2)2-4x1x2],

  即43a=4ab2a2+b2,故a2=2b2,

  所以E的離心率e=ca=a2-b2a=22.

  (2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),由(1)知x0=x1+x22=-a2ca2+b2=-23c,y0=x0+c=c3.

  由PA=PB?kPN=-1,即y0+1x0=-1?c=3.

  從而a=32,b=3,故E的方程為x218+y29=1.

  【變式訓(xùn)練3】已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為e,兩焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,拋物線以F1為頂點(diǎn),F(xiàn)2為焦點(diǎn),P為兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),若PF1PF2=e,則e的值是( )

  A.32B.33C.22D.63

  【解析】設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),P(x0,y0),則橢圓左準(zhǔn)線x=-a2c,拋物線準(zhǔn)線為x=

  -3c,x0-(-a2c)=x0-(-3c)?c2a2=13?e=33.故選B.

  總結(jié)提高

  1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種形式,其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,形式對(duì)稱且系數(shù)的幾何意義明確,在解題時(shí)要防止遺漏.確定橢圓需要三個(gè)條件,要確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上(即定位),還要確定a、 b的值(即定量),若定位條件不足應(yīng)分類討論,或設(shè)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)求解.

  2.充分利用定義解題,一方面,會(huì)根據(jù)定義判定動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓,另一方面,會(huì)利用橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為常數(shù)進(jìn)行計(jì)算推理.

  3.焦點(diǎn)三角形包含著很多關(guān)系,解題時(shí)要多從橢圓定義和三角形的幾何條件入手,且不可顧此失彼,另外一定要注意橢圓離心率的范圍.

  9.2 雙曲線

  典例精析

  題型一 雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

  【例1】已知?jiǎng)訄AE與圓A:(x+4)2+y2=2外切,與圓B:(x-4)2+y2=2內(nèi)切,求動(dòng)圓圓心E的軌跡方程.

  【解析】設(shè)動(dòng)圓E的半徑為r,則由已知AE=r+2,BE=r-2,

  所以AE-BE=22,又A(-4,0),B(4,0),所以AB=8,22<AB.

  根據(jù)雙曲線定義知,點(diǎn)E的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支.

  因?yàn)閍=2,c=4,所以b2=c2-a2=14,

  故點(diǎn)E的軌跡方程是x22-y214=1(x≥2).

  【點(diǎn)撥】利用兩圓內(nèi)、外切圓心距與兩圓半徑的關(guān)系找出E點(diǎn)滿足的幾何條件,結(jié)合雙曲線定義求解,要特別注意軌跡是否為雙曲線的兩支.

  【變式訓(xùn)練1】P為雙曲線x29-y216=1的右支上一點(diǎn),M,N分別是圓(x+5)2+y2=4和

  (x-5)2+y2=1上的點(diǎn),則PM-PN的最大值為( )

  A.6B.7C.8D.9

  【解析】選D.

  題型二 雙曲線幾何性質(zhì)的運(yùn)用

  【例2】雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點(diǎn)為A,x軸上有一點(diǎn)Q(2a,0),若C上存在一點(diǎn)P,使 =0,求此雙曲線離心率的取值范圍.

  【解析】設(shè)P(x,y),則由 =0,得AP⊥PQ,則P在以AQ為直徑的圓上,

  即 (x-3a2)2+y2=(a2)2,①

  又P在雙曲線上,得x2a2-y2b2=1,②

  由①②消去y,得(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0,

  即[(a2+b2)x-(2a3-ab2)](x-a)=0,

  當(dāng)x=a時(shí),P與A重合,不符合題意,舍去;

  當(dāng)x=2a3-ab2a2+b2時(shí),滿足題意的點(diǎn)P存在,需x=2a3-ab2a2+b2>a,

  化簡(jiǎn)得a2>2b2,即3a2>2c2,ca<62,

  所以離心率的取值范圍是(1,62).

  【點(diǎn)撥】根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)的范圍或者焦半徑的最小值建立不等式,是求離心率的取值范圍的常用方法.

  【變式訓(xùn)練2】設(shè)離心率為e的雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,直線l過焦點(diǎn)F,且斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都相交的充要條件是( )

  A.k2-e2>1B.k2-e2<1

  C.e2-k2>1D.e2-k2<1

  【解析】由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義,可知直線的斜率k只需滿足-ba<k<ba,即k2<b2a2=c2-a2a2=e2-1,故選C.

  題型三 有關(guān)雙曲線的綜合問題

  【例3】(2010廣東)已知雙曲線x22-y2=1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,點(diǎn)P(x1,y1),Q(x1,-y1)是雙曲線上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

  (1)求直線A1P與A2Q交點(diǎn)的軌跡E的方程;

  (2)若過點(diǎn)H(0,h)(h>1)的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個(gè)交點(diǎn),且l1⊥l2,求h的值.

  【解析】(1)由題意知x1>2,A1(-2,0),A2(2,0),則有

  直線A1P的方程為y=y(tǒng)1x1+2(x+2),①

  直線A2Q的方程為y=-y1x1-2(x-2).②

  方法一:聯(lián)立①②解得交點(diǎn)坐標(biāo)為x=2x1,y=2y1x1,即x1=2x,y1=2yx,③

  則x≠0,x<2.

  而點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線x22-y2=1上,所以x212-y21=1.

  將③代入上式,整理得所求軌跡E的方程為x22+y2=1,x≠0且x≠±2.

  方法二:設(shè)點(diǎn)M(x,y)是A1P與A2Q的交點(diǎn),①×②得y2=-y21x21-2(x2-2).③

  又點(diǎn)P(x1,y1)在雙曲線上,因此x212-y21=1,即y21=x212-1.

  代入③式整理得x22+y2=1.

  因?yàn)辄c(diǎn)P,Q是雙曲線上的不同兩點(diǎn),所以它們與點(diǎn)A1,A2均不重合.故點(diǎn)A1和A2均不在軌跡E上.過點(diǎn)(0,1)及A2(2,0)的直線l的方程為x+2y-2=0.

  解方程組 得x=2,y=0.所以直線l與雙曲線只有唯一交點(diǎn)A2.

  故軌跡E不過點(diǎn)(0,1).同理軌跡E也不過點(diǎn)(0,-1).

  綜上分析,軌跡E的方程為x22+y2=1,x≠0且x≠±2.

  (2)設(shè)過點(diǎn)H(0,h)的直線為y=kx+h(h>1),

  聯(lián)立x22+y2=1得(1+2k2)x2+4khx+2h2-2=0.

  令Δ=16k2h2-4(1+2k2)(2h2-2)=0,得h2-1-2k2=0,

  解得k1=h2-12,k2=-h(huán)2-12.

  由于l1⊥l2,則k1k2=-h(huán)2-12=-1,故h=3.

  過點(diǎn)A1,A2分別引直線l1,l2通過y軸上的點(diǎn)H(0,h),且使l1⊥l2,因此A1H⊥A2H,由h2×(-h(huán)2)=-1,得h=2.

  此時(shí),l1,l2的方程分別為y=x+2與y=-x+2,

  它們與軌跡E分別僅有一個(gè)交點(diǎn)(-23,223)與(23,223).

  所以,符合條件的h的值為3或2.

  【變式訓(xùn)練3】雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e,過F2的直線與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn),若△F1AB是以A為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,則e2等于( )

  A.1+22B.3+22

  C.4-22D.5-22

  【解析】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用及基本量的求解.

  據(jù)題意設(shè)AF1=x,則AB=x,BF1=2x.

  由雙曲線定義有AF1-AF2=2a,BF1-BF2=2a

  ?(AF1+BF1)-(AF2+BF2)=(2+1)x-x=4a,即x=22a=AF1.

  故在Rt△AF1F2中可求得AF2=F1F22-AF12=4c2-8a2.

  又由定義可得AF2=AF1-2a=22a-2a,即4c2-8a2=22-2a,

  兩邊平方整理得c2=a2(5-22)?c2a2=e2=5-22,故選D.

  總結(jié)提高

  1.要與橢圓類比來理解、掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),但應(yīng)特別注意不同點(diǎn),如a,b,c的關(guān)系、漸近線等.

  2.要深刻理解雙曲線的定義,注意其中的隱含條件.當(dāng)PF1-PF2=2a<F1F2時(shí),P的軌跡是雙曲線;當(dāng)PF1-PF2=2a=F1F2時(shí),P的軌跡是以F1或F2為端點(diǎn)的射線;當(dāng)

  PF1-PF2=2a>F1F2時(shí),P無軌跡.

  3.雙曲線是具有漸近線的曲線,畫雙曲線草圖時(shí),一般先畫出漸近線,要掌握以下兩個(gè)問題:

  (1)已知雙曲線方程,求它的漸近線;

  (2)求已知漸近線的雙曲線的方程.如已知雙曲線漸近線y=±bax,可將雙曲線方程設(shè)為x2a2-y2b2=λ(λ≠0),再利用其他條件確定λ的值,求法的實(shí)質(zhì)是待定系數(shù)法.

  9.3 拋物線

  典例精析

  題型一 拋物線定義的運(yùn)用

  【例1】根據(jù)下列條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

  (1)拋物線過點(diǎn)P(2,-4);

  (2)拋物線焦點(diǎn)F在x軸上,直線y=-3與拋物線交于點(diǎn)A,AF=5.

  【解析】(1)設(shè)方程為y2=mx或x2=ny.

  將點(diǎn)P坐標(biāo)代入得y2=8x或x2=-y.

  (2)設(shè)A(m,-3),所求焦點(diǎn)在x軸上的拋物線為y2=2px(p≠0),

  由定義得5=AF=m+p2,又(-3)2=2pm,所以p=±1或±9,

  所求方程為y2=±2x或y2=±18x.

  【變式訓(xùn)練1】已知P是拋物線y2=2x上的一點(diǎn),另一點(diǎn)A(a,0) (a>0)滿足PA=d,試求d的最小值.

  【解析】設(shè)P(x0,y0) (x0≥0),則y20=2x0,

  所以d=PA=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.

  因?yàn)閍>0,x0≥0,

  所以當(dāng)0<a<1時(shí),此時(shí)有x0=0,dmin=(1-a)2+2a-1=a;

  當(dāng)a≥1時(shí),此時(shí)有x0=a-1,dmin=2a-1.

  題型二 直線與拋物線位置討論

  【例2】(2010湖北)已知一條曲線C在y軸右側(cè),C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1.

  (1)求曲線C的方程;

  (2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有 <0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

  【解析】(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)P(x,y)滿足:

  (x-1)2+y2-x=1(x>0).

  化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0).

  (2)設(shè)過點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2).

  設(shè)l的方程為x=ty+m,由 得y2-4ty-4m=0,

  Δ=16(t2+m)>0,于是 ①

  又 =(x1-1,y1), =(x2-1,y2).

  <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0.②

  又x=y(tǒng)24,于是不等式②等價(jià)于 y214?y224+y1y2-(y214+y224)+1<0

  ?(y1y2)216+y1y2-14[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0.③

  由①式,不等式③等價(jià)于m2-6m+1<4t2.④

  對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,即3-22<m<3+22.

  由此可知,存在正數(shù)m,對(duì)于過點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B的任一直線,都有 ? <0,且m的取值范圍是(3-22,3+22).

  【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y2=4x的一條弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),則1y1+1y2= .

  【解析】 ?y2-4my+8m=0,

  所以1y1+1y2=y(tǒng)1+y2y1y2=12.

  題型三 有關(guān)拋物線的綜合問題

  【例3】已知拋物線C:y=2x2,直線y=kx+2交C于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.

  (1)求證:拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行;

  (2)是否存在實(shí)數(shù)k使 ? =0?若存在,求k的值;若不存在,說明理由.

  【解析】(1)證明:如圖,設(shè)A(x1,2x21),B(x2,2x22),

  把y=kx+2代入y=2x2,得2x2-kx-2=0,

  由韋達(dá)定理得x1+x2=k2,x1x2=-1,

  所以xN=xM=x1+x22=k4,所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為(k4,k28).

  設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-k28=m(x-k4),

  將y=2x2代入上式,得2x2-mx+mk4-k28=0,

  因?yàn)橹本l與拋物線C相切,

  所以Δ=m2-8(mk4-k28)=m2-2mk+k2=(m-k)2=0,

  所以m=k,即l∥AB.

  (2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)k,使 ? =0,則NA⊥NB,

  又因?yàn)镸是AB的中點(diǎn),所以MN= AB.

  由(1)知yM=12(y1+y2)=12(kx1+2+kx2+2)=12[k(x1+x2)+4]=12(k22+4)=k24+2.

  因?yàn)镸N⊥x軸,所以MN=y(tǒng)M-yN=k24+2-k28=k2+168.

  又AB=1+k2?x1-x2=1+k2?(x1+x2)2-4x1x2

  =1+k2?(k2)2-4×(-1)=12k2+1?k2+16.

  所以k2+168=14k2+1?k2+16,解得k=±2.

  即存在k=±2,使 ? =0.

  【點(diǎn)撥】直線與拋物線的位置關(guān)系,一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;有關(guān)拋物線的弦長問題,要注意弦是否過焦點(diǎn),若過拋物線的焦點(diǎn),可直接使用公式AB=x1+x2+p,若不過焦點(diǎn),則必須使用一般弦長公式.

  【變式訓(xùn)練3】已知P是拋物線y2=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作圓(x-3)2+y2=1的切線,切點(diǎn)分別為M、N,則MN的最小值是 .

  【解析】455.

  總結(jié)提高

  1.在拋物線定義中,焦點(diǎn)F不在準(zhǔn)線l上,這是一個(gè)重要的隱含條件,若F在l上,則拋物線退化為一條直線.

  2.掌握拋物線本身固有的一些性質(zhì):(1)頂點(diǎn)、焦點(diǎn)在對(duì)稱軸上;(2)準(zhǔn)線垂直于對(duì)稱軸;(3)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p;(4)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦(通徑)長為2p.

  3.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,要掌握拋物線的方程與圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系.求拋物線方程時(shí),若由已知條件可知曲線的類型,可采用待定系數(shù)法.

  4.拋物線的幾何性質(zhì),只要與橢圓、雙曲線加以對(duì)照,很容易把握.但由于拋物線的離心率為1,所以拋物線的焦點(diǎn)有很多重要性質(zhì),而且應(yīng)用廣泛,例如:已知過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列性質(zhì):AB=x1+x2+p或AB=2psin2α(α為AB的傾斜角),y1y2=-p2,x1x2=p24等.

  9.4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

  典例精析

  題型一 直線與圓錐曲線交點(diǎn)問題

  【例1】若曲線y2=ax與直線y=(a+1)x-1恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.

  【解析】聯(lián)立方程組

  (1)當(dāng)a=0時(shí),方程組恰有一組解為

  (2)當(dāng)a≠0時(shí),消去x得a+1ay2-y-1=0,

  ①若a+1a=0,即a=-1,方程變?yōu)橐辉淮畏匠蹋瓂-1=0,

  方程組恰有一組解

  ②若a+1a≠0,即a≠-1,令Δ=0,即1+4(a+1)a=0,解得a=-45,這時(shí)直線與曲線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn).

  綜上所述,a=0或a=-1或a=-45.

  【點(diǎn)撥】本題設(shè)計(jì)了一個(gè)思維“陷阱”,即審題中誤認(rèn)為a≠0,解答過程中的失誤就是不討論二次項(xiàng)系數(shù) =0,即a=-1的可能性,從而漏掉兩解.本題用代數(shù)方法解完后,應(yīng)從幾何上驗(yàn)證一下:①當(dāng)a=0時(shí),曲線y2=ax,即直線y=0,此時(shí)與已知直線y=x-1 恰有交點(diǎn)(1,0);②當(dāng)a=-1時(shí),直線y=-1與拋物線的對(duì)稱軸平行,恰有一個(gè)交點(diǎn)(代數(shù)特征是消元后得到的一元二次方程中二次項(xiàng)系數(shù)為零);③當(dāng)a=-45時(shí)直線與拋物線相切.

  【變式訓(xùn)練1】若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( )

  A.{1,-1,52,-52}B.(-∞,-52]∪[52,+∞)

  C.(-∞,-1]∪[1,+∞)D.(-∞,-1)∪[52,+∞)

  【解析】由 ?(1-k2)x2-2kx-5=0,

  k=±52,結(jié)合直線過定點(diǎn)(0,-1),且漸近線斜率為±1,可知答案為A.

  題型二 直線與圓錐曲線的相交弦問題

  【例2】(2010遼寧)設(shè)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,過F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),直線l的傾斜角為60°, =2 .

  (1)求橢圓C的離心率;

  (2)如果AB=154,求橢圓C的方程.

  【解析】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意知y1<0,y2>0.

  (1)直線l的方程為y=3(x-c),其中c=a2-b2.

  聯(lián)立

  得(3a2+b2)y2+23b2cy-3b4=0.

  解得y1=-3b2(c+2a)3a2+b2,y2=-3b2(c-2a)3a2+b2.

  因?yàn)?=2 ,所以-y1=2y2,即3b2(c+2a)3a2+b2=2?-3b2(c-2a)3a2+b2.

  解得離心率e=ca=23.

  (2)因?yàn)锳B=1+13y2-y1,所以23?43ab23a2+b2=154.

  由ca=23得b=53a,所以54a=154,即a=3,b=5.

  所以橢圓的方程為x29+y25=1.

  【點(diǎn)撥】本題考查直線與圓錐曲線相交及相交弦的弦長問題,以及用待定系數(shù)法求橢圓方程.

  【變式訓(xùn)練2】橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A,B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為32,則ab的值為 .

  【解析】設(shè)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),弦中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),代入橢圓方程兩式相減得a(x1-x2)(x1+x2)+b(y1-y2)(y1+y2)=0?

  2ax0+2by0y1-y2x1-x2=0?ax0-by0=0.

  故ab=y(tǒng)0x0=32.

  題型三 對(duì)稱問題

  【例3】在拋物線y2=4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線l:y=kx+3對(duì)稱,求k的取值范圍.

  【解析】設(shè)A(x1,y1)、B(x2、y2)是拋物線上關(guān)于直線l對(duì)稱的兩點(diǎn),由題意知k≠0.

  設(shè)直線AB的方程為y=-1kx+b,

  聯(lián)立 消去x,得14ky2+y-b=0,

  由題意有Δ=12+4?14k?b>0,即bk+1>0.(*)

  且y1+y2=-4k.又y1+y22=-1k?x1+x22+b.所以x1+x22=k(2k+b).

  故AB的中點(diǎn)為E(k(2k+b),-2k).

  因?yàn)閘過E,所以-2k=k2(2k+b)+3,即b=-2k-3k2-2k.

  代入(*)式,得-2k-3k3-2+1>0?k3+2k+3k3<0

  k(k+1)(k2-k+3)<0?-1<k<0,故k的取值范圍為(-1,0).

  【點(diǎn)撥】(1)本題的關(guān)鍵是對(duì)稱條件的轉(zhuǎn)化.A(x1,y1)、B(x2,y2)關(guān)于直線l對(duì)稱,則滿足直線l與AB垂直,且線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l的方程;

  (2)對(duì)于圓錐曲線上存在兩點(diǎn)關(guān)于某一直線對(duì)稱,求有關(guān)參數(shù)的范圍問題,利用對(duì)稱條件求出過這兩點(diǎn)的直線方程,利用判別式大于零建立不等式求解;或者用參數(shù)表示弦中點(diǎn)的坐標(biāo),利用中點(diǎn)在曲線內(nèi)部的條件建立不等式求參數(shù)的取值范圍.

  【變式訓(xùn)練3】已知拋物線y=-x2+3上存在關(guān)于x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)A,B,則AB等于( )

  A.3B.4C.32D.42

  【解析】設(shè)AB方程:y=x+b,代入y=-x2+3,得x2+x+b-3=0,

  所以xA+xB=-1,故AB中點(diǎn)為(-12,-12+b).

  它又在x+y=0上,所以b=1,所以AB=32,故選C.

  總結(jié)提高

  1.本節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)是研究直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判別式方法及弦中點(diǎn)問題的處理方法.

  2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程組的解的討論,即聯(lián)立方程組

  通過消去y(也可以消去x)得到x的方程ax2+bx+c=0進(jìn)行討論.這時(shí)要注意考慮a=0和a≠0兩種情況,對(duì)雙曲線和拋物線而言,一個(gè)公共點(diǎn)的情況除a≠0,Δ=0外,直線與雙曲線的漸近線平行或直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí),都只有一個(gè)交點(diǎn)(此時(shí)直線與雙曲線、拋物線屬相交情況).由此可見,直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),并不是直線與圓錐曲線相切的充要條件.

  3.弦中點(diǎn)問題的處理既可以用判別式法,也可以用點(diǎn)差法;使用點(diǎn)差法時(shí),要特別注意驗(yàn)證“相交”的情形.

  9.5 圓錐曲線綜合問題

  典例精析

  題型一 求軌跡方程

  【例1】已知拋物線的方程為x2=2y,F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn),分別過點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2,記l1和l2交于點(diǎn)M.

  (1)求證:l1⊥l2;

  (2)求點(diǎn)M的軌跡方程.

  【解析】(1)依題意,直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+12.

  聯(lián)立 消去y整理得x2-2kx-1=0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1,y1),B的坐標(biāo)為(x2,y2),則有x1x2=-1,將拋物線方程改寫為y=12x2,求導(dǎo)得y′=x.

  所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1=x1,過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2=x2.

  因?yàn)閗1k2=x1x2=-1,所以l1⊥l2.

  (2)直線l1的方程為y-y1=k1(x-x1),即y-x212=x1(x-x1).

  同理直線l2的方程為y-x222=x2(x-x2).

  聯(lián)立這兩個(gè)方程消去y得x212-x222=x2(x-x2)-x1(x-x1),

  整理得(x1-x2)(x-x1+x22)=0,

  注意到x1≠x2,所以x=x1+x22.

  此時(shí)y=x212+x1(x-x1)=x212+x1(x1+x22-x1)=x1x22=-12.

  由(1)知x1+x2=2k,所以x=x1+x22=k∈R.

  所以點(diǎn)M的軌跡方程是y=-12.

  【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一,本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩個(gè)不同概念,“求軌跡”除了首先要求我們求出方程,還要說明方程軌跡的形狀,這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌.

  【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(-5,0),B(5,0),△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是( )

  A.x29-y216=1B.x216-y29=1

  C.x29-y216=1(x>3)D.x216-y29=1(x>4)

  【解析】如圖,AD=AE=8,BF=BE=2,CD=CF,

  所以CA-CB=8-2=6,

  根據(jù)雙曲線定義,所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn),實(shí)軸長為6的雙曲線的右支,方程為x29-y216=1(x>3),故選C.

  題型二 圓錐曲線的有關(guān)最值

  【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2+3y2=4上,對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.

  【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以AC⊥BD.

  于是可設(shè)直線AC的方程為y=-x+n.

  由 得4x2-6nx+3n2-4=0.

  因?yàn)锳,C在橢圓上,所以Δ=-12n2+64>0,解得-433<n<433.

  設(shè)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=3n2,x1x2=3n2-44,

  y1=-x1+n,y2=-x2+n. 所以y1+y2=n2.

  因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,且∠ABC=60°,所以AB=BC=CA.

  所以菱形ABCD的面積S=32AC2.

  又AC2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=-3n2+162,所以S=34(-3n2+16) (-433<n<433).

  所以當(dāng)n=0時(shí),菱形ABCD的面積取得最大值43.

  【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”,借助代數(shù)方法求最值,要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒有利用判別式求出n的取值范圍,雖然也能得出答案,但是得分損失不少.

  【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y=x2-1上有一定點(diǎn)B(-1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q,若BP⊥PQ,則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍是 .

  【解析】如圖,B(-1,0),設(shè)P(xP,x2P-1),Q(xQ,x2Q-1),

  由kBP?kPQ=-1,得x2P-1xP+1?x2Q-x2PxQ-xP=-1.

  所以xQ=-xP-1xP-1=-(xP-1)-1xP-1-1.

  因?yàn)閤P-1+1xP-1≥2,所以xQ≥1或xQ≤-3.

  題型三 求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題

  【例3】(2010浙江)已知m>1,直線l:x-my-m22=0,橢圓C:x2m2+y2=1,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn).

  (1)當(dāng)直線l過右焦點(diǎn)F2時(shí),求直線l的方程;

  (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),△AF1F2,△BF1F2的重心分別為G,H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

  【解析】(1)因?yàn)橹本l:x-my-m22=0經(jīng)過F2(m2-1,0),

  所以m2-1=m22,解得m2=2,

  又因?yàn)閙>1,所以m=2.

  故直線l的方程為x-2y-1=0.

  (2)A(x1,y1),B(x2,y2),

  由 消去x得2y2+my+m24-1=0,

  則由Δ=m2-8(m24-1)=-m2+8>0知m2<8,

  且有y1+y2=-m2,y1y2=m28-12.

  由于F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0),故O為F1F2的中點(diǎn),

  由 =2 , =2 ,得G(x13,y13),H(x23,y23),

  GH2=(x1-x2)29+(y1-y2)29.

  設(shè)M是GH的中點(diǎn),則M(x1+x26,y1+y26),

  由題意可知,2MO<GH,即4[(x1+x26)2+(y1+y26)2]<(x1-x2)29+(y1-y2)29,

  即x1x2+y1y2<0.

  而x1x2+y1y2=(my1+m22)(my2+m22)+y1y2=(m2+1)(m28-12).

  所以m28-12<0,即m2<4.

  又因?yàn)閙>1且Δ>0,所以1<m<2.

  所以m的取值范圍是(1,2).

  【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

  【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2-ay2=1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形,其中一個(gè)頂點(diǎn)A與雙曲線右頂點(diǎn)重合,則a的取值范圍為 .

  【解析】設(shè)B(m,m2-1a),則C(m,-m2-1a)(m>1),

  又A(1,0),由AB=BC得(m-1)2+m2-1a=(2m2-1a)2,

  所以a=3m+1m-1=3(1+2m-1)>3,即a的取值范圍為(3,+∞).

  總結(jié)提高

  1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件,用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握,還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力,因此這類問題成為高考命題的熱點(diǎn),也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法.

  2.最值問題的代數(shù)解法,是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容,其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中,自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定.

  3.范圍問題,主要是根據(jù)條件,建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式,然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍,運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí).

  高考核心考點(diǎn):第24課時(shí) 極坐標(biāo)、參數(shù)方程與幾何證明選講

  第24課時(shí) 極坐標(biāo)、參數(shù)方程與幾何證明選講

  1.(2011年北京)在極坐標(biāo)系中,圓=-2s inθ的圓心的極坐標(biāo)是( )

  A.1,π2 B.1,-π2

  C.(1,0) D.(1,π)

  2.(2010年北京)極坐標(biāo)方程(-1)(θ-π)=0(≥0)表示的圖形是( )

  A.兩個(gè)圓

  B.兩條 直線

  C.一個(gè)圓和一條射線

  D. 一條直線和一條射線

  3.(2011年江西)若曲線的極坐標(biāo)方程為=2sinθ+4cosθ,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系,則該曲線的直角坐標(biāo)方程為__________.

  4.(2010年廣東)如圖7,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD=a2,點(diǎn)E、F分別為線段AB、AD的中點(diǎn),則EF= __________.

  圖7 圖8

  5.(2010年 陜西)如圖8,已知Rt△ABC的兩條直角邊AC、BC的長分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的 圓與AB交于點(diǎn)D,則BD=____________ cm.

  6.( 2011年天津)已知拋物線C的參數(shù)方程為x=8t2y=8t(t為參數(shù)).若斜率為1的直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn),且與圓x-42+y2=r2r>0相切,則r=__________.

  7.(2011年陜西)如圖9,∠B=∠D,AE⊥BC,∠ACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,則BE=________.

  圖9 圖10

  8.(2011年湖南)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為x=2cosαy=3sinα(α為參數(shù)).在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,曲線C2的方程為(cosθ-sinθ)+1=0,則C1與C2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為________ .

  9. (2011年陜西)直角坐標(biāo)系xOy中,以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點(diǎn)A、B分別在曲線C1:x=3+cosθy=4+sinθ(θ為參數(shù))和曲線C2:=1上,則AB的最小值為________________.

  10 .如圖10,已知 PA是圓O的切線,切點(diǎn)為A,直線PO交圓 O于B、C兩點(diǎn),AC=2,∠PAB=120°,則圓O的面積為__________.

  11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,則直線cosθ-π3=2被圓x=2+2cosφy=2sinφ(φ為參數(shù))截得的弦長為____________.

  12.(2011年江蘇)如圖1 1,圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A,其半徑分別為r1與r2(r1>r2),圓O1的 弦AB交圓O2于點(diǎn)C(O1不在AB上).則AB∶AC為定值=__________.

  圖11

  高考數(shù)學(xué)第一輪導(dǎo)學(xué)案復(fù)習(xí):指數(shù)函數(shù)

  高三數(shù)學(xué)理科復(fù)習(xí)7----指數(shù)函數(shù)

  【高考要求】指數(shù)函數(shù)(B)

  【目標(biāo)】理解有理數(shù)指數(shù)冪的含義;了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義,能進(jìn)行冪的運(yùn)算.

  理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義;理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),會(huì)畫指數(shù)函數(shù)的圖象.

  了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際案例,會(huì)用指數(shù)函數(shù)模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.

  【重難點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用

  【知識(shí)復(fù)習(xí)與自學(xué)質(zhì)疑】

  1、已知 ,則當(dāng) 時(shí), 為______________(填寫增函數(shù)或者減函數(shù));當(dāng) 且 _____________時(shí),

  2、化簡(jiǎn): ; ___

  3、函數(shù) 的定義域?yàn)開___________;值域?yàn)開________________

  4、函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間是_______,函數(shù) 的值域?yàn)開____

  【交流展示與互動(dòng)探究】

  例1、(1)已知 ,求 的值;

  (2)若 ,求 的值.

  例2、比較下列各組值的大小:

  (1) ;(2) ;

  (3) .

  例3、已知函數(shù) , (1)求函數(shù) 的值域

  (2)判斷函數(shù)的奇偶性(3)判斷函數(shù)的單調(diào)性

  【矯正反饋】

  1、計(jì)算: ______________

  2、設(shè)函數(shù) ),則函數(shù)恒過__ ____點(diǎn);它的圖像關(guān)于直線___ _ 對(duì)稱.

  3、設(shè) ,則 的大小關(guān)系為____________________

  4、若函數(shù) 的值域?yàn)?,則 =___________________

  5、若函數(shù) 的圖像經(jīng)過第二,三,四象限,則 __________, ___________

  6、若 ,則函數(shù) 的值域?yàn)?.

  7、方程 解的個(gè)數(shù)為______,方程 的解的個(gè)數(shù)為________

  8、已知 ,則不等式 的解集為

  【遷移應(yīng)用】

  9、已知函數(shù) . (1)判斷 的奇偶性;

  (2)若 是R上的增函數(shù),求實(shí)數(shù) 的取值范圍.

  10、定義在R上的奇函數(shù) 的最小正周期為2,且 時(shí), ,

  (1)求 在 上的解析式; (2)判斷 在 上的單調(diào)性;

  (3)當(dāng) 為何值時(shí),方程 在 上有實(shí)數(shù)解.

  高考數(shù)學(xué)知識(shí)梳理冪函數(shù)復(fù)習(xí)教案

  教案28 冪函數(shù)

  一、前檢測(cè)

  1. 下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是( C )

  A. B. C. D.

  2. 下列函數(shù)在 上為減函數(shù)的是( B )

  A. B. C. D.

  3. 下列冪函數(shù)中定義域?yàn)?的是( D )

  A. B. C. D.

  二、知識(shí)梳理

  1.冪函數(shù)的概念:一般地,我們把形如 的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中 是自變量, 是常數(shù);

  注意:冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別.

  解讀:

  2.冪函數(shù)的性質(zhì):

  (1)冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn) ;任何冪函數(shù)都不過 象限;

  (2)當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)在 上 ;當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)在 上 ;

  (3)當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)是 ;當(dāng) 時(shí),冪函數(shù)是 .

  解讀:

  三、典型例題分析

  冪函數(shù)的意義

  例1 已知函數(shù) ,當(dāng) 為何值時(shí), :

  (1)是冪函數(shù);(2)是冪函數(shù),且是 上的增函數(shù);(3)是正比例函數(shù);(4)是反比例函數(shù);(5)是二次函數(shù);

  答案:(1) 或 (2) (3) (4) (5)

  變式訓(xùn)練:已知函數(shù) ,當(dāng) 為何值時(shí), 在第一象限內(nèi)它的圖像是上升曲線。

  簡(jiǎn)解: 解得:

  小結(jié)與拓展:要牢記冪函數(shù)的定義,列出等式或不等式求解。

  例2 比較大小:

  (1) (2) (3) (4)

  解:(1)∵ 在 上是增函數(shù), ,∴

  (2)∵ 在 上是增函數(shù), ,∴

  (3)∵ 在 上是減函數(shù), ,∴ ;

  ∵ 是增函數(shù), ,∴ ;

  綜上,

  (4)∵ , , ,

  變式訓(xùn)練:將下列各組數(shù)用小于號(hào)從小到大排列:

  (1) (2) (3)

  解:(1)

  (2)

  (3)

  小結(jié)與拓展:在解決比較大小的問題時(shí)常用到冪函數(shù)圖像及性質(zhì)

  例3 已知冪函數(shù) ( )的圖象與 軸、 軸都無交點(diǎn),且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求 的值.

  解:∵冪函數(shù) ( )的圖象與 軸、 軸都無交點(diǎn),

  ∵ ,∴ ,又函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,

  ∴ 是奇數(shù),∴ 或 .

  變式訓(xùn)練:已知冪函數(shù) 的圖象關(guān)于 軸對(duì)稱,且在 上的單調(diào)遞減,求滿足 的 得取值范圍。答案:

  小結(jié)與拓展:根據(jù)題意和冪函數(shù)性質(zhì)確定 的值。

  四、歸納與總結(jié)(以學(xué)生為主,師生共同完成)

  1.知識(shí):

  2.思想與方法:

  3.易錯(cuò)點(diǎn):

  4.反思(不足并查漏):

  高考數(shù)學(xué)核心考點(diǎn)算法初步復(fù)習(xí)

  第22時(shí) 算法初步

  1.(2011年天津)閱讀圖11的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,則輸出i的值為( )

  A.3 B.4 C.5 D.6

  圖11 圖12

  2.(2011年全 國)執(zhí)行圖12的程序框圖,如果輸入的N是6,那么輸出的p是( )

  A.120 B.720 C.1 440 D.5 040

  3.執(zhí)行如圖 13的程序框圖,則輸出的n=( )

  A .6 B.5 C.8 D.7

  圖13 圖14

  4.(2011年湖南)若執(zhí)行如圖 14所示的框圖,輸入x1=1,x2=2,x3=3,x-=2,則輸出的數(shù)等于________.

  5.(2011年浙江)若某程序圖如圖15所示,則該程序運(yùn)行后輸出的k值為________.

  圖15 圖16

  6.(2011年淮南模擬) 某程序框圖如圖16所示,現(xiàn)輸入如下四個(gè)函數(shù),則可以輸出的函數(shù)是( )

  A.f(x)=x2 B.f(x)= 1x

  C.f(x)=ex D.f(x)=s inx

  7.運(yùn)行如下程序:當(dāng)輸入168,72時(shí),輸出的結(jié)果是( )

  INPUT m,n

  DO

  r=m OD n

  m=n

  n=r

  LOOP UNTIL r=0

  PR I NT m

  END

  A .168 B.72 C.36 D.24

  8.在圖17程序框圖中,輸入f1(x)=xex,則輸出的函數(shù)表達(dá)式是________________.

  圖17

  9.(2011年安徽合肥模 擬)如圖18所示,輸出的為( )

  A.10 B.11 C.12 D.13

  圖18 圖19

  10.(2011年廣 東珠海模擬)閱讀圖19的算法框圖,輸出結(jié)果的值為( )

  A.1 B.3 C.12 D.32

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