《拋物線及其標準方程》教案

時間：2024-08-10 07:54:05

《拋物線及其標準方程》教案

　　教案是教師為順利而有效地開展教學活動，根據課程標準，教學大綱和教科書要求及學生的實際情況，以課時或課題為單位，對教學內容、教學步驟、教學方法等進行的具體設計和安排的一種實用性教學文書。下面是小編整理的《拋物線及其標準方程》教案，歡迎大家分享。

《拋物線及其標準方程》教案

　　《拋物線及其標準方程》教案篇1

　　一、目標

　　1.掌握拋物線的定義、幾何圖形,會推導拋物線的標準方程

　　2.能夠利用給定條件求拋物線的標準方程

　　3.通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數學活動，培養學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數學觀。并進一步感受坐標法及數形結合的思想

　　二、重點

　　拋物線的定義及標準方程

　　三、教學難點

　　拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導（關鍵是坐標系方案的選擇）

　　四、教學過程

　　（一）復習舊知

　　在初中，我們學習過了二次函數，知道二次函數的圖象是一條拋物線。

　　例如：（1），（2）的圖象（展示兩個函數圖象）：

　　（二）講授新課

　　1.課題引入

　　在實際生活中，我們也有許多的拋物線模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的薩爾南拱門,它就是用不銹鋼鑄成的拋物線形的建筑物。到底什么樣的曲線才可以稱做是拋物線？它具有怎樣的幾何特征？它的方程是什么呢？

　　這就是我們今天要研究的內容.（板書：課題2.4.1拋物線及其標準方程）

　　2.拋物線的定義

　　信息技術應用（課堂中展示畫圖過程）

　　先看一個實驗：

　　如圖：點F是定點，是不經過點F的定直線，H是上任意一點，過點H作，線段FH的垂直平分線交MH于點M。拖動點H，觀察點M的軌跡，你能發現點M滿足的幾何條件嗎？（學生觀察畫圖過程，并討論）

　　可以發現，點M隨著H運動的過程中，始終有MH=MF,即點M與定點F和定直線的距離相等。（也可以用幾何畫板度量MH，MF的值）

　　（定義引入）：

　　我們把平面內與一個定點F和一條定直線（不經過點F）距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。（板書）

　　思考？若F在上呢？（學生思考、討論、畫圖）

　　此時退化為過F點且與直線垂直的一條直線.

　　3.拋物線的標準方程

　　從拋物線的定義中我們知道，拋物線上的點滿足到焦點F的距離與到準線的距離相等。那么動點的軌跡方程是什么，即拋物線的方程是什么呢？

　　要求拋物線的方程，必須先建立直角坐標系。

　　問題設焦點F到準線的距離為，你認為應該如何選擇坐標系求拋物線的方程？按照你建立直角坐標系的方案，求拋物線的方程。

　　（引導學生分組討論，回答，并不斷補充常見的幾種建系方法，叫學生應用投影儀展示計算結果）

　　注意：

　　1.標準方程必須出來，此表格在黑板上板書。

　　2.若出現比較復雜建系方案，可以以引入的'字母參數較多為由，先排除計算。

　　3.強調P的意義。

　　4.教師說明曲線方程與方程的曲線：從上述過程可以看到，拋物線上任意一點的坐標都滿足方程，以方程的解為坐標的點到拋物線的焦點的距離與到準線的距離相等，即方程的解為坐標的點都在拋物線上。所以這些方程都是拋物線的方程。

　　（選擇標準方程）

　　師：觀察4（3）個建系方案及其對應的方程，你認為哪種建系方案使方程更簡單？

　　（學生選擇，說明1.對稱軸2.焦點3.方程無常數項，頂點在原點）

　　推導過程：取過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，如右圖所示，則有F（,0）,l的方程為x=—。

　　設動點M（x,y），由拋物線定義得：

　　化簡得y2=2px(p＞0)

　　師：我們把方程叫做拋物線的標準方程，它表示的拋物線的焦點坐標是，準線方程是。

　　師：在建立橢圓、雙曲線的標準方程的過程中，選擇不同的坐標系得到了不同形式的標準方程，對于拋物線，當我們選擇如圖三種建立坐標系的方法，我們也可以得到不同形式的拋物線的標準方程：

　　（學生分前兩排，中間兩排，后面兩排三組分別計算三種情況，一起填充表格）

　　圖形標準方程焦點坐標準線方程

　　y2=2px(p＞0)

　　（,0）

　　x=—

　　y2=—2px(p＞0)

　　（—,0）

　　x2=2py(p＞0)

　　（0,）

　　y=—

　　x2=—2py(p＞0)

　　（0,—）

　　(三)例題講解

　　例1（1）已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程,

　　（2）已知拋物線的焦點是，求它的標準方程.

　　解：（1）∵拋物線方程為y2=6x

　　∴p=3，則焦點坐標是（，0），準線方程是x=—.

　　（2）∵焦點在y軸的負半軸上，且=2，∴p=4

　　則所求拋物線的標準方程是：x2=—8y.

　　變式訓練1：

　　(1)已知拋物線的準線方程是x=—，求它的標準方程.

　　(2)已知拋物線的標準方程是2y2+5x=0,求它的焦點坐標和準線方程.

　　解(1)∵焦點是F（0，3），∴拋物線開口向上，且=3，則p=6

　　∴所求拋物線方程是x2=12y

　　(2)∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=—x，∴p=[高考XK]

　　則焦點坐標是F(—,0)，準線方程是x=

　　例2點M與點F（4，0）的距離比它到直線l:x+5=0的距離小1，求點M的軌跡方程.

　　解：如右圖所示，設點M的坐標為（x,y)

　　由已知條件可知，點M與點F的距離等于它到直線x+4=0的距離.根據拋物線的定義，點M的軌跡是以F（4，0）為焦點的拋物線.

　　∵=4，∴p=8

　　因為焦點在x軸的正半軸上，所以點M的軌跡方程為y2=16x.

　　變式訓練2：

　　在拋物線y2=2x上求一點P，使P到焦點F與到點A（3，2）的距離之和最小.

　　解：如下圖所示，設拋物線的點P到準線的距離為PQ

　　由拋物線定義可知：PF=PQ

　　∴PF+PA=PQ+PA

　　顯然當P、Q、A三點共線時，PQ+PA最小.

　　∵A(3,2)，可設P（x0,2)代入y2=2x得x0=2

　　故點P的坐標為（2，2）.

　　(四)小結

　　1、拋物線的定義；

　　2、拋物線的四種標準方程；

　　3、注意拋物線的標準方程中的字母P的幾何意義.

　　《拋物線及其標準方程》教案篇2

　　知識目標：

　　1、掌握拋物線的定義和標準方程。

　　2、能根據拋物線的標準方程，寫出它的焦點坐標和準線方程。

　　能力目標：

　　能根據簡單的已知條件求拋物線的標準方程。

　　情感目標：

　　能根據老師的引導積極探索問題的規律。

　　教學重點：

　　分清拋物線四種標準方程、焦點坐標和準線方程。

　　教學難點：

　　利用拋物線的定義探索解決一些新問題。

　　教學方法及手段：

　　啟發引導

　　教學過程：

　　一、課程引入

　　1、平面內與兩個定點的距離相等的點的軌跡是什么？

　　2、與兩條相交直線的距離相等的點的軌跡是什么？

　　問：與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡是什么？(學生探索)

　　教師flash課件演示（解釋原理）

　　二、新課解析

　　1、定義：（板書課題）

　　平面內與一個定點F和一條定直線L的距離相等的點的軌跡是拋物線。點F叫做拋物線的焦點。直線L叫拋物線的準線。

　　生活中的拋物線有哪些？太陽灶，拋射物體的運行軌道，二次函數的圖象等。

　　但在二次函數中研究的拋物線，它的對稱軸是平行于y軸、開口向上或開口向下兩種情形．如果拋物線的對稱軸不平行于y軸，那么就不能作為二次函數的圖象來研究了．今天，我們突破函數研究中這個限制，從更一般意義上來研究拋物線．

　　2、推導拋物線的標準方程：（先復習求軌跡方程的方法和步驟；如何建系）

　　建立直角坐標系系，設|KF|=（>0）,那么焦點F的坐標為，準線的方程為，設拋物線上的點M（x,y），則有化簡方程得

　　3、拋物線標準方程：

　　方程叫做拋物線的標準方程

　　它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（,0），它的準線方程是說明：拋物線，由于它在坐標系的`位置不同，方程也不同，有四種不同的情況。這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下

　　圖形

　　方程

　　焦點

　　準線

　　相同點：

　　(1)拋物線都過原點；

　　(2)對稱軸為坐標軸；

　　(3)準線都與對稱軸垂直，垂足與焦點在對稱軸上關于原點對稱p是焦點到準線的距離

　　不同點：標準方程中一次項的變量決定焦點在哪條軸上，系數的”＋”，”－”決定焦點在正半軸還是負半軸

　　三、例題精講

　　例1：

　　(1)已知拋物線標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程;

　　（2）已知拋物線的方程是y=－6×2，求它的焦點坐標和準線方程；

　　（3）已知拋物線的焦點坐標是F（0，－2），求它的標準方程。

　　例2：求經過點A（－3，2）的拋物線的標準方程。

　　思考題：（選做）

　　M是拋物線y2=2px（P＞0）上一點，若點M的橫坐標為X0，則點M到焦點的距離是?

　　四、課堂練習

　　1、根據下列條件，寫出拋物線的標準方程：

　　（1）焦點是F（3，0）；

　　（2）準線方程是x=－

　　（3）焦點到準線的距離是2。

　　2、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：

　　（1）y2=20x（2）x2=y（3）x2+8y=0

　　（選做）

　　3、點M與點F（4,0）的距離比它到直線的距離小1，求點M的軌跡方程

　　五、課堂小結

　　1、拋物線定義

　　2、拋物線四種形式的標準方程和圖像；焦點準線的判定

　　3、求標準方程的方法（1）定義法；（2）待定系數法

　　六、作業布置

　　學案反面《課后作業》

　　七、教學設計說明

　　（1）建立坐標系是坐標法的思想基礎，但不同的建立方式使所得的方程繁簡不同，布置學生自己寫出推導過程并與課文對照可以培養學生動手能力、自學能力，提高教學效果，進一步明確拋物線上的點的幾何意義。

　　（2）猜想是數學問題解決中的一類重要方法，請同學們根據推導出的（1）的標準方程猜想其它幾個結論，非常有利于培養學生歸納推理或類比推理的能力，幫助他們形成良好的直覺思維—數學思維的一種基本形式另外讓學生推導和猜想出拋物線標準方程所有的四種形式，也比老師直接寫出這些方程給學生帶來的理解和記憶的效果更好。

　　（3）對四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程進行完整的歸納小結，讓學生通過對比分析全面深刻地理解和掌握它們。