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一年級經(jīng)典例題講解

時間:2024-07-18 16:26:28

一年級經(jīng)典例題講解

一年級經(jīng)典例題講解

  經(jīng)典例題講解:一年級上冊12

  計數(shù)枚舉法經(jīng)典例題講解12

  解應(yīng)用題時,為了解題的方便,把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況,一一列舉出來加以分析、解決,最終達(dá)到解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。

  用列舉法解應(yīng)用題時,往往把題中的條件以列表的形式排列起來,有時也要畫圖。

  例12 在甲、乙兩個倉庫存放大米,甲倉存90袋,乙倉存50袋,甲倉每次運出12袋,乙倉每次運出4袋。運出幾次后,兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等?(適于五年級程度)

  解:根據(jù)題意列表3-5。

  表3-5

  從表3-5可以看出,原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋;第一次運走后,兩倉剩下的大米相差78-46=32(袋);第二次運走后,兩倉剩下的大米相差66-42=24(袋);第三次運走后,兩倉剩下的大米相差54-38=16(袋);第四次運走后,兩倉剩下的大米相差42-34=8(袋);第五次運走后,兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。

  40-32=8

  32-24=8

  24-16=8

  ……

  從這里可以看出,每運走一次,兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出,兩倉庫原存大米袋數(shù)的差,除以每次運出的袋數(shù)差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。

  (90-50)÷(12-4)=5(次)

  答:運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。

  小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩題講解百例之九十一

  (依據(jù):《孫子問題》;編詩:陳鋼) 有物不知數(shù),讓我數(shù)一數(shù); 三個三個數(shù),剩二好孤獨; 五五數(shù)剩三,七七又二單; 此物多少數(shù),誰能說清楚?

  【解說】這是依據(jù)《孫子算經(jīng)》上有名的“孫子問題”(又稱“物不知數(shù)題”)編寫而成的。原來的題目是:

  “今有物不知其數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二。問物幾何?”

  用通俗的話來說,題目的意思就是

  有一些物品,不知道有多少個,只知道將它們?nèi)齻三個地數(shù),會剩下2個;五個五個地數(shù),會剩下3個;七個七個地數(shù),也會剩下2個。這些物品的數(shù)量至少是多少個?

  (注:詩題及題目原文都無“至少”二字,但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題,否則就會有無數(shù)多個答案。所以,解釋題目意思時,在語句中加上了“至少”二字。)

  《孫子算經(jīng)》解這道題目的“術(shù)文”和答案是:

  “三三數(shù)之剩二,置一百四十;五五數(shù)之剩三,置六十三;七七數(shù)之剩二,置三十。并之,得二百三十三,以二百十減之,即得。”“答曰:二十三。”

  這些話是什么意思呢?用通俗的話來說,就是:

  先求被3除余2,并能同時被5、7整除的數(shù),這樣的數(shù)最小是140;

  再求被5除余3,并能同時被3、7整除的數(shù),這樣的數(shù)最小是63;

  然后求被7除余2,并能同時被3、5整除的數(shù),這樣的數(shù)最小是30。

  于是,由140+63+30=233,得到的233就是一個所要求得的數(shù)。但這個數(shù)并不是最小的。

  再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數(shù)“105”的倍數(shù),就得到許許多多這樣的數(shù):

  {23,128,233,338,443,…}

  從而可知,23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解,而其中最小的解是23。

  答:這些物品的數(shù)目至少是23個。

  需要指出的是,在《孫子算經(jīng)》上,有一段關(guān)于這類題目的解題“術(shù)文”:

  “凡三三數(shù)之剩一則置七十,五五數(shù)之剩一則置二十一,七七數(shù)之剩一則置十五,一百六以上以一百五減之,即得。”

  (注:古稱“106”和“105”為“一百六”和“一百五”,而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以,這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”,而不是“160”和“150”。)

  明代著名的大數(shù)學(xué)家程大位,在他所著的《算法統(tǒng)宗》中,對于這種解一般“孫子問題”的方法,還編出了四句歌訣,名曰《孫子歌》:

  三人同行七十稀, 五樹梅花廿一枝; 七子團圓正半月, 除百零五便得知。

  歌中的“廿”,讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

  這一歌訣的“詩意”,我們可以不去理會,只需注意它的數(shù)字就行了。歌訣中的每一句話,都指出了一步解題方法:

  “三(3)人同行七十(70)稀”——是說除以3所得的余數(shù),要用“70”去乘它;

  “五(5)樹梅花廿一(21)枝”——是說除以5所得的余數(shù),要用“21”去乘它;

  “七(7)子團圓正半月(15)”——“半月”是一個月30天的一半,即15日,這是說,除以 7所得的余數(shù),要用“ 15”去乘它;

  “除百零五(105)便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數(shù)相加,加得的和如果大于105,便應(yīng)減去105,或者減去105的倍數(shù)。這也就是《孫子算經(jīng)》上的“一百六(106)以上,以一百五(105)減之”。這樣得出的差,便是所要求的這個最小的未知數(shù)了。

  運用這一歌訣來解答這道“物不知數(shù)”問題,便是

  2×70+3×21+2×15=140+63+30=233 233-105-105=23(答略)

  不過,用這種方法解這類問題,有它的局限性,它只能解答用3、5、7作除數(shù)的題目,遇到用其他數(shù)作除數(shù)的算題,它就行不通了。這一點必須引起我們的注意。

  這種“物不知數(shù)(孫子)問題”,在我國古代流傳的算法名稱很多。宋朝周宓稱它為“鬼谷算”、“隔墻算”(之所以稱“鬼谷算”,大概是因為它與傳說中的哲學(xué)家鬼谷子有某些關(guān)系);13世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家楊輝則稱它為“剪管術(shù)”。南宋數(shù)學(xué)家秦九韶將它推廣,并又發(fā)現(xiàn)一種算法,稱它為“大衍求一術(shù)”。它被傳入西方后,外國人又稱它為“中國剩余定理”。但是大多數(shù)人較為通俗的叫法,還是稱它為“韓信點兵”(也有稱“秦王暗點兵”的)。傳說我國漢朝的大將韓信,計算士兵數(shù)目的方法十分特別,他不是五個五個或十個十個地數(shù),也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報數(shù),而是叫他們排起隊伍,依次在他面前列隊行進:先是一排三人,再是一排五人,然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來,就知道了士兵的總數(shù)。他旁邊的人見他并沒有數(shù)士兵的數(shù)目,有時甚至還閉上了眼睛,而居然知道士兵的總數(shù),都感到十分驚奇。所以,后人就把這種算法稱為“韓信點兵”了。“韓信點兵問題”在數(shù)學(xué)史上,是個極有名的問題。西洋人直到18世紀(jì)才被瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)這一問題的解題規(guī)律。只拿我國南宋秦九韶的研究與他們相比,他們也晚了五百年左右的時間。

  【思考、練習(xí)】

  1.有一道用詩的形式表達(dá)的謎題(陳邦新整理)是:

  花生若干粒,三數(shù)即余一; 五數(shù)無剩余,七數(shù)余三粒。

  你能猜出得數(shù)是多少粒嗎?(答案:10粒)

  2.有一道民間詩題如下(陳邦新整理):

  秦皇暗點衛(wèi)隊兵,三三數(shù)來余二名; 五數(shù)七數(shù)都余一,衛(wèi)隊共是多少人?

  請仿照上面的方法解出這道題目。(答案:71人)

  3.有總數(shù)不滿五十人的一隊士兵,“一至三報數(shù)”,最后一人報“一”;“一至五報數(shù)”,最后一人報“二”;“一至七報數(shù)”,最后一人也報“二”。這隊士兵有多少人?(答案:37人)

  4.用三輪小貨車運一批糧食,每次運7袋,最后余下2

  袋;每次運8袋,最后余下3袋;每次運9袋,最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋?(答案:163袋)

  5.有一個數(shù),被5除余2,被7除余6,被11除余9。那么這個數(shù)最小是多少?(答案:97)

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  小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩題講解百例之三十一

  (中國民間詩題) 李白沽酒探親朋,路途遙遠(yuǎn)有四程; 一程酒量添一倍,卻被書童喝六升; 行到親朋家里面,半點全無空酒瓶。 借問高明能算士,瓶內(nèi)原有多少升?

  【解說】這也是根據(jù)李白喜愛飲酒的特點而編出來的一道著名的民間數(shù)詩算題,實際上也是不一定真有此事的。題中的“沽”,讀音與“姑”字相同。“沽”是“買”的意思,“沽酒”就是“買酒”。“程”指道路的段落,“四程”即四段路。“書童”指舊社會侍候文人墨客的小仆人。題目的意思可以是

  李白叫書童帶著盛有一定酒量的酒瓶,隨他一同到遙遠(yuǎn)的親朋好友家中去做客。這里到朋友家有四段路程,每經(jīng)過一段路程,李白都要將瓶中的酒量添加1倍。但是,調(diào)皮的小書童在每次買酒以后,都要偷偷地將瓶內(nèi)的酒喝掉6升。這樣,他們邊走邊買并邊被書童偷喝,走到朋友家的時候,酒瓶里一點酒也沒有了。問:他們出發(fā)的時候,原來酒瓶里的酒有多少升?

  我們可以用方程來解答這道題目,因為這樣比較簡便。

  設(shè)原來瓶內(nèi)的酒量為x升,第一程酒量添一倍以后,就有酒2x升;“卻被書童喝六升”后,酒量就只有(2x-6)升了。因“路途遙遠(yuǎn)有四程”,走到朋友家時,“半點全無空酒瓶”,故可布列方程為

  {[(2x-6)×2-6]×2-6}×2-6=0

  解這一方程,得X=5.625,即酒瓶內(nèi)原來有酒5.625升。

  (答略)

  【思考、練習(xí)】

  1. 一位老師的年齡加上1以后乘以3,其積的一半加上40,再用所得和的一半的一半,減去25,得數(shù)便是0。這位老師現(xiàn)年多少歲?(答案:39歲)

  2.甲乙丙三人各有 2分的硬幣若干枚。開始,甲把自己 2分的硬幣拿出一部分分給乙丙,使乙丙的硬幣數(shù)各增加1倍;然后,乙也照此辦理,使甲丙的2分硬幣數(shù)各增加1倍;接著,丙也照此辦理。使甲乙的2分硬幣各增加1倍。最后,三人都用去2分硬幣8枚,這時三人2分的硬幣數(shù)便都是O枚。問:甲乙丙三人原來各有2分硬幣多少枚?(答案:甲13枚,乙7枚,丙4枚)

  小學(xué)數(shù)學(xué)經(jīng)典詩題講解百例之八十一

  (依據(jù):日本算題;編詩:鐵夫) 大杯小杯一行行,杯杯都來盛砂糖; 白糖四百二十克,五大三小恰裝完; 若用五小加三大,三百八十可盛光。 大小杯子各一個,各可容納多少糖?

  【解說】這是依據(jù)日本一道較為著名的算題編寫而成的。這道題目原來是日本大阪女子學(xué)院附屬中學(xué)的一道初中招生試題,題目翻譯過來可以是

  有大杯和小杯若干個,它們的容量大小分別相同。現(xiàn)在往5個大杯和3個小杯里放滿砂糖,總共可放420克。又往3個大杯和5個小杯里放滿砂糖,總共可放380克。問:一個大杯和一個小杯,分別可以放砂糖多少克?

  由題意可知,兩個大杯比兩個小杯,要多裝砂糖

  420-380=40(克)

  那么,一個大杯比一個小杯,多裝的砂糖就是

  409÷2=20(克)

  因為“五大和三小”共能裝420克,所以,從420克中減去5個20克,得到的差就相當(dāng)于(5+3)個小杯的容量。故一個小杯的容量就是

  (420-20×5)÷(5+3)=320÷8=40(克)

  一個大杯子的容量就是40+20=60(克)

  答:大杯可容納60克,小杯可容納40克。

  【思考、練習(xí)】

  想一想,上面的題目還有別的解答方法嗎?如果還有的話,請用別的方法再解答一遍。(提示:可用算術(shù)里的“消去去”再作解答。)

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