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高一數(shù)學必修3映射教案

時間:2024-08-12 20:34:06

高一數(shù)學必修3映射教案

高一數(shù)學必修3映射教案

高一數(shù)學必修3映射教案

  教學目標

  1.了解映射的概念,象與原象的概念,和一一映射的概念.

  (1)明確映射是特殊的對應即由集合 ,集合 和對應法則f三者構(gòu)成的一個整體,知道映射的特殊之處在于必須是多對一和一對一的對應;

  (2)能準確使用數(shù)學符號表示映射, 把握映射與一一映射的區(qū)別;

  (3)會求給定映射的指定元素的象與原象,了解求象與原象的方法.

  2.在概念形成過程中,培養(yǎng)學生的觀察,比較和歸納的能力.

  3.通過映射概念的學習,逐步提高學生對知識的探究能力.

  教學建議

  教材分析

  (1)知識結(jié)構(gòu)

  映射是一種特殊的對應,一一映射又是一種特殊的映射,而且函數(shù)也是特殊的映射,它們之間的關系可以通過下圖表示出來,如圖:

  由此我們可從集合的包含關系中幫助我們把握相關概念間的區(qū)別與聯(lián)系.

  (2)重點,難點分析

  本節(jié)的教學重點和難點是映射和一一映射概念的形成與認識.

  ①映射的概念是比較抽象的概念,它是在初中所學對應的基礎上發(fā)展而來.教學中應特別強調(diào)對應集合 中的唯一這點要求的理解;

  映射是學生在初中所學的對應的基礎上學習的,對應本身就是由三部分構(gòu)成的整體,包括集 合A和集合B及對應法則f,由于法則的不同,對應可分為一對一,多對一,一對多和多對多. 其中只有一對一和多對一的能構(gòu)成映射,由此可以看到映射必是“對B中之唯一”,而只要是對應就必須保證讓A中之任一與B中元素相對應,所以滿足一對一和多對一的對應就能體現(xiàn)出“任一對唯一”.

  ②而一一映射又在映射的基礎上增加新的要求,決定了它在學習中是比較困難的.

  教法建議

  牐牐1)在映射概念引入時,可先從學生熟悉的對應入手, 選擇一些具體的生活例子,然后再舉一些數(shù)學例子,分為一對多、多對一、多對一、一對一四種情況,讓學生認真觀察,比較,再引導學生發(fā)現(xiàn)其中一對一和多對一的對應是映射,逐步歸納概括出映射的基本特征,讓學生的認識從感性認識到理性認識.

  (2)在剛開始學習映射時,為了能讓學生看清映射的構(gòu)成,可以選擇用圖形表示映射,在集合的選擇上可選擇能用列舉法表示的有限集,法則盡量用語言描述,這樣的表示方法讓學生可以比較直觀的認識映射,而后再選擇用抽象的數(shù)學符號表示映射,比如:

  , .

  這種表示方法比較簡明,抽象,且能看到三者之間的關系.除此之外,映射的一般表示方法為 ,從這個符號中也能看到映射是由三部分構(gòu)成的整體,這對后面認識函數(shù)是三件事構(gòu)成的整體是非常有幫助的.

  (3)對于學生層次較高的學校可以在給出定義后讓學生根據(jù)自己的理解舉出映射的例子,教師也給出一些映射的例子,讓學生從中發(fā)現(xiàn)映射的特點,并用自己的語言描述出來,最后教師加以概括,再從中引出一一映射概念;對于學生層次較低的學校,則可以由教師給出一些例子讓學生觀察,教師引導學生發(fā)現(xiàn)映射的特點,一起概括.最后再讓學生舉例,并逐步增加要求向一一映射靠攏, 引出一一映射概念.

  (4)關于求象和原象的問題,應在計算的過程中總結(jié)方法,特別是求原象的方法是解方程或方程組,還可以通過方程組解的不同情況(有唯一解,無解或有無數(shù)解)加深對映射的認識.

  (5)在教學方法上可以采用啟發(fā),討論的形式,讓學生在實例中去觀察,比較,啟發(fā)學生尋找共性,共同討論映射的特點,共同舉例,計算,最后進行小結(jié),教師要起到點撥和深化的作用.

  教學設計方案

  2。1 映射

  教學目標(1)了解映射的概念,象與原象及一一映射的概念.

  (2)在概念形成過程中,培養(yǎng)學生的觀察,分析對比,歸納的能力.

  (3)通過映射概念的學習,逐步提高學生的探究能力.

  教學重點難點::映射概念的形成與認識.

  教學用具:實物投影儀

  教學方法:

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  啟發(fā)討論式

  教學過程()

  一、引入

  在初中,我們已經(jīng)初步探討了函數(shù)的定義并研究了幾類簡單的常見函數(shù).在高中,將利用前面集合有關知識,利用映射的觀點給出函數(shù)的定義.那么映射是什么呢?這就是我們今天要詳細的概念.

  二、新課

  在前一章集合的初步知識中,我們學習了元素與集合及集合與集合之間的關系,而映射是重點研究兩個集合的元素與元素之間的對應關系.這要先從我們熟悉的對應說起(用投影儀打出一些對應關系,共6個)

  我們今天要研究的是一類特殊的對應,特殊在什么地方呢?

  提問1:在這些對應中有哪些是讓A中元素就對應B中唯一一個元素?

  讓學生仔細觀察后由學生回答,對有爭議的,或漏選,多選的可詳細說明理由進行討論.最后得出(1),(2),(5),(6)是符合條件的(用投影儀將這幾個集中在一起)

  提問2:能用自己的語言描述一下這幾個對應的共性嗎?

  經(jīng)過師生共同推敲,將映射的定義引出.(主體內(nèi)容由學生完成,教師做必要的補充)

  (板書)

  一.映射

  1.定義:一般地,設 兩個集合,如果按照某種對應法則 ,對于集合 中的任何一個元素,在集合 中都有唯一的元素和它對應,那么這樣的對應(包括集合 及 到 的對應法則)叫做集合 到集合 的映射,記作 .

  定義給出之后,教師應及時強調(diào)映射是特殊的對應,故是三部分構(gòu)成的一個整體,從映射的符號表示中也可看出這一點,它的特殊之處在于元素與元素之間的對應必須作到“任一對唯一”,同時指出具有對應關系的元素即 中元素 對應 中元素 ,則 叫 的象, 叫 的原象.

  (板書)

  2.象與原象

  可以用前面的例子具體說明誰是誰的象,誰是誰的原象.

  提問3:下面請同學根據(jù)自己對映射的理解舉幾個映射的例子,看對映射是否真正認識了.

  (開始時只要是映射即可,之后可逐步提高要求,如集合是無限集,或生活中的例子等)由學生自己評判.之后教師再給出幾個(主要是補充學生舉例類型的不足)

  (1) , , , .

  (2) .

  (3) 除以3的余數(shù).

  (4) {高一1班同學}, {入學是數(shù)學考試成績}, 對自己的考試成績.

  在學生作出判斷之后,引導學生發(fā)現(xiàn)映射的性質(zhì)(教師適當提出研究方向由學生說,再由老師概括)

  (板書)3.對概念的認識

  (1) 與 是不同的,即 與 上有序的.

  (2)象的集合是集合B的子集.

  (3)集合A,B可以是數(shù)集,也可以是點集或其它集合.

  在剛才研究的基礎上,教師再提出(2)和(4)有什么共性,能否把它描述出來,如果學生不能找出共性,教師可再給出幾個例子,(用投影儀打出)

  如:

  (1)

  (2) {數(shù)軸上的點}, 實數(shù)與數(shù)軸上相應的點對應.

  (3) {中國,日本,韓國}, {北京,東京,漢城}, 相應國家的首都.

  引導學生在元素之間的對應關系和元素個數(shù)上找共性,由學生提出兩點共性集合A中不同的元素對集合B中不同的元素;②B中所有元素都有原象.

  那么滿足以上條件的映射又是一種特殊的映射,稱之為一一映射.

  (板書)4.一一映射

  (1)定義:設A,B是兩個集合, 是集合A到集合B的映射,如果在這個映射下 對于集合A中的不同元素,在集合B中又不同的象,而且B中每一個元素都有原象,那么這個映射叫做A到B上的一一映射.

  給出定義后,可再返回到剛才的例子,讓學生比較它與映射的區(qū)別,從而進一步明確“一一”的含義.然后再安排一個例題.

  例1 下列各表表示集合A(元素a)到集合B(元素b)的一個映射,判斷這些映射是不是A到B上的一一映射.

  其中只有第三個表可以表示一一映射,由此例點明一一映射的特點

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  (板書)(2)特點:兩個集合間元素是一對一的關系,不同的對的也一定是不同的(元素個數(shù)相同);集合B與象集C是相等的集合.

  對于映射我們現(xiàn)在了解了它的定義及特殊的映射一一映射,除此之外對于映射還要求能求出指定元素的象與原象.

  (板書)5.求象與原象.

  例2 (1)從R到 的映射 ,則R中的—1在 中的象是_____; 中的4在R中的原象是_____.

  (2)在給定的映射 下,則點 在 下的象是_____, 點 在 下的原象是______.

  (3) 是集合A到集合B的映射, ,則A 中 元素 的象是_____,B中象0的原象是______, B中象—6的原象是______.

  由學生先回答第(1)小題,之后讓學生自己總結(jié)一下,應用什么方法求象和原象,學生找到方法后,再在方法的指導下求解另外兩題,若出現(xiàn)問題,教師予以點評,最后小結(jié)求象用代入法,求原象用解方程或解方程組.

  注意:所解的方程解的情況可能有多種如有唯一解,也可能無解,可能有無數(shù)解,這與映射的定義也是相吻合的.但如果是一一映射,則方程一定有唯一解.

  三、小結(jié)

  1.映射是特殊的對應

  2.一一映射是特殊的映射.

  3.掌握求象與原象的方法.

  四、作業(yè):略

  五、板書設計

  探究活動

  (1) {整數(shù)}, {偶數(shù)}, ,試問 與 中的元素個數(shù)哪個多?為什么?如果我們建立一個由 到 的映射對應法則 乘以2,那么這個映射是一一映射嗎?

  答案:兩個集合中的元素一樣多,它們之間可以形成一一映射.

  (2)設 , ,問最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射?若將集合 改為 呢?結(jié)論是什么?如果將集合 改為 ,結(jié)論怎樣?若集合 改為 , 改為 ,結(jié)論怎樣?

  從以上問題中,你能歸納出什么結(jié)論嗎?依此結(jié)論,若集合A中含有 個元素,集合B中含有 個元素,那么最多可以建立多少種集合 到集合 的不同映射?

  答案:若集合A含有m個元素,集合B含有n個元素,則不同的映射 有 個.

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