數(shù)學(xué)不等式的證明教案
數(shù)學(xué)不等式的證明教案
教學(xué)目標(biāo)
1．進(jìn)一步熟練掌握比較法證明不等式；
2．了解作商比較法證明不等式；
3．提高學(xué)生解題時(shí)應(yīng)變能力.
教學(xué)重點(diǎn) 比較法的應(yīng)用
教學(xué)難點(diǎn) 常見解題技巧
教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式
教學(xué)活動(dòng)
�。ㄒ唬⿲�(dǎo)入新課
�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（復(fù)習(xí)提問），請(qǐng)三位同學(xué)回答問題，教師點(diǎn)評(píng)．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）思考問題，回答．
�。圩帜唬�1．比較法證明不等式的步驟是怎樣的？
2．比較法證明不等式的步驟中，依據(jù)、手段、目的各是什么？
3．用比較法證明不等式的步驟中，最關(guān)鍵的是哪一步？學(xué)了哪些常用的變形方法？對(duì)式子的變形還有其它方法嗎？
[點(diǎn)評(píng)]用比較法證明不等式步驟中，關(guān)鍵是對(duì)差式的變形．在我們所學(xué)的知識(shí)中，對(duì)式子變形的常用方法除了配方、通分，還有因式分解．這節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)比較法證明不等式，積累對(duì)差式變形的常用方法和比較法思想的應(yīng)用．（板書課題）
設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)鞏固已學(xué)知識(shí)，銜接新知識(shí)，引入本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容．
�。ǘ┬抡n講授
【嘗試探索，建立新知】
�。ń處熁顒�(dòng)）提出問題，引導(dǎo)學(xué)生研究解決問題，并點(diǎn)評(píng)．
（學(xué)生活動(dòng)）嘗試解決問題．
[問題]
1．化簡(jiǎn)
2．比較 與 （ ）的大�。�
（學(xué)生解答問題）
�。埸c(diǎn)評(píng)］
�、賳栴}1，我們采用了因式分解的方法進(jìn)行簡(jiǎn)化．
②通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，我們不難發(fā)現(xiàn)，比較法的思想方法還可用來比較兩個(gè)式子的大小．
設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)l(fā)學(xué)生研究問題，建立新知，形成新的知識(shí)體系．
【例題示范，學(xué)會(huì)應(yīng)用】
（教師活動(dòng)）教師打出字幕（例題），引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生研究問題，井點(diǎn)評(píng)解題過程．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）分析，研究問題．
［字幕］例題3 已知a，b是正數(shù)，且 ，求證
［分析］依題目特點(diǎn)，作差后重新組項(xiàng)，采用因式分解來變形．
證明：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］因式分解也是對(duì)差式變形的一種常用方法．此例將差式變形為幾個(gè)因式的積的形式，在確定符號(hào)中，表達(dá)過程較復(fù)雜，如何書寫證明過程，例3給出了一個(gè)好的示范．
�。埸c(diǎn)評(píng)］解這道題在判斷符號(hào)時(shí)用了分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想方法．要理解為什么分類，怎樣分類．分類時(shí)要不重不漏．
�。圩帜唬堇�5甲、乙兩人同時(shí)同地沿同一條路線走到同一地點(diǎn)．甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果，問甲、乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)．
[分析]設(shè)從出發(fā)地點(diǎn)至指定地點(diǎn)的路程為，甲、乙兩人走完這段路程用的時(shí)間分別為 ，要回答題目中的問題，只要比較 、的大小就可以了．
解：（見課本）
［點(diǎn)評(píng)］此題是一個(gè)實(shí)際問題，學(xué)習(xí)了如何利用比較法證明不等式的思想方法解決有關(guān)實(shí)際問題．要培養(yǎng)自己學(xué)數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)的良好品質(zhì)．
設(shè)計(jì)意圖：鞏固比較法證明不等式的方法，掌握因式分解的變形方法和分類討論確定符號(hào)的方法．培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
【課堂練習(xí)】
�。ń處熁顒�(dòng)）教師打出字幕（練習(xí)），要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成練習(xí)；請(qǐng)甲、乙兩位學(xué)生板演；巡視學(xué)生的解題情況，對(duì)正確的給予肯定，對(duì)偏差及時(shí)糾正；點(diǎn)評(píng)練習(xí)中存在的問題．
�。▽W(xué)生活動(dòng)）在筆記本上完成練習(xí)，甲、乙兩位同學(xué)板演．
［字幕］練習(xí)：1．設(shè) ，比較 與 的大�。�
2．已知 ，求證
設(shè)計(jì)意圖：掌握比較法證明不等式及思想方法的應(yīng)用．靈活掌握因式分解法對(duì)差式的變形和分類討論確定符號(hào)．反饋信息，調(diào)節(jié)課堂教學(xué)．
【分析歸納、小結(jié)解法】
�。ń處熁顒�(dòng)）分析歸納例題的解題過程，小結(jié)對(duì)差式變形、確定符號(hào)的常用方法和利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟．
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄在筆記本上．
1．比較法不僅是證明不等式的一種基本、重要的方法，也是比較兩個(gè)式子大小的一種重要方法．
2．對(duì)差式變形的常用方法有：配方法，通分法，因式分解法等．
3．會(huì)用分類討論的方法確定差式的符號(hào)．
4．利用不等式解決實(shí)際問題的解題步驟：①類比列方程解應(yīng)用題的步驟．②分析題意，設(shè)未知數(shù)，找出數(shù)量關(guān)系（函數(shù)關(guān)系，相等關(guān)系或不等關(guān)系），③列出函數(shù)關(guān)系、等式或不等式，④求解，作答．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生分析歸納問題的能力，掌握用比較法證明不等式的知識(shí)體系．
�。ㄈ┬〗Y(jié)
�。ń處熁顒�(dòng)）教師小結(jié)本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)及數(shù)學(xué)思想與方法．
（學(xué)生活動(dòng)）與教師一道小結(jié)，并記錄筆記．
本節(jié)課學(xué)習(xí)了對(duì)差式變形的一種常用方法——因式分解法；對(duì)符號(hào)確定的分類討論法；應(yīng)用比較法的思想解決實(shí)際問題．
通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，要明確比較法證明不等式的理論依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問題簡(jiǎn)化是比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在以后的學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行概括歸納的能力，鞏固所學(xué)的知識(shí)，領(lǐng)會(huì)化歸、類比、分類討論的重要數(shù)學(xué)思想方法．
�。ㄋ模┎贾米鳂I(yè)
1．課本作業(yè)：P17 7、8。
2，思考題：已知 ，求證
3．研究性題：對(duì)于同樣的距離，船在流水中來回行駛一次的時(shí)間和船在靜水中來回行駛一次的時(shí)間是否相等？（假設(shè)船在流水中的速度和部在靜水中的速度保持不變）
設(shè)計(jì)意圖：思考題讓學(xué)生了解商值比較法，掌握分類討論的思想．研究性題是使學(xué)生理論聯(lián)系實(shí)際，用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力．
（五）課后點(diǎn)評(píng)
1．教學(xué)評(píng)價(jià)、反饋調(diào)節(jié)措施的構(gòu)想：本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，通過啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問題，解決問題，反饋學(xué)習(xí)信息，調(diào)節(jié)教學(xué)活動(dòng)．
2．教學(xué)措施的設(shè)計(jì)：由于對(duì)差式變形，確定符號(hào)是掌握比較法證明不等式的關(guān)鍵，本節(jié)課在上節(jié)課的基礎(chǔ)上繼續(xù)學(xué)習(xí)差式變形的方法和符號(hào)的確定，例3和例4分別使學(xué)生掌握因式分解變形和分類討論確定符號(hào)，例5使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)會(huì)應(yīng)用．例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，學(xué)會(huì)應(yīng)用。
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