集合與函數概念總結

時間：2024-10-25 09:33:24

集合與函數概念總結

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集合與函數概念總結

　　一、集合有關概念

　　1.集合的含義

　　2.集合的中元素的三個特性：

　　(1)元素的確定性如：世界上最高的山

　　(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

　　(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

　　3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

　　(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

　　(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。

　　注意：常用數集及其記法：

　　非負整數集（即自然數集）記作：N

　　正整數集N+整數集Z有理數集Q實數集R

　　1）列舉法：{a,b,c……}

　　2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合的方法。{xR|x-32},{x|x-32}

　　3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　4、集合的分類：

　　(1)有限集含有有限個元素的集合

　　(2)無限集含有無限個元素的集合

　　(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

　　二、集合間的基本關系

　　1、“包含”關系子集

　　注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

　　反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

　　2、“相等”關系：A=B(55，且55，則5=5)

　　實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

　　即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

　　②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

　　③如果AB,BC,那么AC

　　④如果AB同時BA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，記為

　　規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

　　三、元素與集合的關系

　　元素與集合的關系有“屬于”與“不屬于”兩種。

　　四、集合與集合之間的關系

　　某些指定的對象集在一起就成為一個集合集合符號，含有有限個元素叫有限集，含有無限個元素叫無限集，空集是不含任何元素的集，記做Φ。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有傳遞性。『說明一下：如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則A稱作是B的子集，寫作A？B。若A是B的子集，且A不等于B，則A稱作是B的真子集，一般寫作A？B。中學教材課本里將？符號下加了一個≠符號（如右圖），不要混淆，考試時還是要以課本為準。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

　　五、集合的幾種運算法則

　　并集：以屬于A或屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集：以屬于A且屬于B的元差集表示素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因為A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再來看看，他們兩個中含有1，2，3，5這些個元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么說A∪B={1，2，3，5}。圖中的陰影部分就是A∩B。有趣的是；例如在1到105中不是3，5，7的整倍數的數有多少個。結果是3，5，7每項減集合1再相乘。48個。對稱差集：設A，B為集合，A與B的對稱差集A？B定義為：A？B=（A-B）∪（B-A）例如：A={a，b，c}，B={b，d}，則A？B={a，c，d}對稱差運算的另一種定義是：A？B=（A∪B）-（A∩B）無限集：定義：集合里含有無限個元素的集合叫做無限集有限集：令N*是正整數的全體，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一個正整數n，使得集合A與N_n一一對應，那么A叫做有限集合。差：以屬于A而不屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的差（集）。記作：A\B={x│x∈A，x不屬于B}。注：空集包含于任何集合，但不能說“空集屬于任何集合”.補集：是從差集中引出的概念，指屬于全集U不屬于集合A的元素組成的集合稱為集合A的補集，記作CuA，即CuA={x|x∈U，且x不屬于A}空集也被認為是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中沒有的3，4就是CuA，是A的補集。CuA={3，4}。在信息技術當中，常常把CuA寫成~A。

　　六、集合元素的性質

　　確定性：每一個對象都能確定是不是某一集合的元素，沒有確定性就不能成為集合，例如“個子高的同學”“很小的數”都不能構成集合。這個性質主要用于判斷一個集合是否能形成集合。2.獨立性：集合中的元素的個數、集合本身的個數必須為自然數。3.互異性：集合中任意兩個元素都是不同的對象。如寫成{1，1，2}，等同于{1，2}。互異性使集合中的元素是沒有重復，兩個相同的對象在同一個集合中時，只能算作這個集合的一個元素。4.無序性：{a，b，c}{c，b，a}是同一個集合。5.純粹性：所謂集合的純粹性，用個例子來表示。集合A={x|x<2}，集合A中所有的元素都要符合x<2，這就是集合純粹性。6.完備性：仍用上面的例子，所有符合x<2的數都在集合A中，這就是集合完備性。完備性與純粹性是遙相呼應的。

　　七、集合有以下性質

　　若A包含于B，則A∩B=A，A∪B=B

　　八、集合的表示方法

　　集合常用大寫拉丁字母來表示，如：A，B，C…而對于集合中的元素則用小寫的拉丁字母來表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相當于集合的名字，沒有任何實際的意義。將拉丁字母賦給集合的方法是用一個等式來表示的，例如：A={…}的形式。等號左邊是大寫的拉丁字母，右邊花括號括起來的，括號內部是具有某種共同性質的數學元素。

　　常用的有列舉法和描述法。

　　1、列舉法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做列舉法。{1，2，3，……}

　　2.描述法﹕常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字﹐符號或式子等描述出來﹐寫在大括號內﹐這種表示集合的方法叫做描述法。{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數組成的集合表示為：{x|0

　　3.圖示法（Venn圖）﹕為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內部表示一個集合。集合

　　4.自然語言常用數集的符號：

　　（1）全體非負整數的集合通常簡稱非負整數集（或自然數集），記作N；不包括0的自然數集合，記作N*

　　（2）非負整數集內排除0的集，也稱正整數集，記作Z+；負整數集內也排除0的集，稱負整數集，記作Z-

　　（3）全體整數的集合通常稱作整數集，記作Z

　　（4）全體有理數的集合通常簡稱有理數集，記作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互質}（正負有理數集合分別記作Q+Q-）

　　（5）全體實數的集合通常簡稱實數集，記作R（正實數集合記作R+；負實數記作R-）

　　（6）復數集合計作C集合的運算：集合交換律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合結合律（A∩B）∩C=A∩（B∩C）（A∪B）∪C=A∪（B∪C）集合分配律A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）A∪（B∩C）=（A∪B）∩（A∪C）

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