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不等式的證明方法以及例解

時(shí)間:2024-08-15 22:06:17

不等式的證明方法以及例解

  無(wú)論在學(xué)習(xí)、工作或是生活中,大家總少不了要接觸或使用證明吧,證明是具有證明特定事件效力的文件。那么你真正懂得怎么寫好證明嗎?以下是小編為大家整理的不等式的證明方法以及例解,希望能夠幫助到大家。

不等式的證明方法以及例解

  不等式的證明是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn),題型廣泛,涉及面廣,證法靈活,錯(cuò)法多種多樣,本節(jié)通這一些實(shí)例,歸納整理證明不等式時(shí)常用的方法和技巧。步驟/方法比較法

  比較法是證明不等式的最基本方法,具體有作差比較和作商比較兩種。基本思想是把難于比較的式子變成其差與0比較大小或其商與1比較大小。當(dāng)求證的不等式兩端是分項(xiàng)式(或分式)時(shí),常用作差比較,當(dāng)求證的不等式兩端是乘積形式(或冪指數(shù)式時(shí)常用作商比較)

  例1已知a+b0,求證:a3+b3a2b+ab2

  分析:由題目觀察知用作差比較,然后提取公因式,結(jié)合a+b0來(lái)說(shuō)明作差后的正或負(fù),從而達(dá)到證明不等式的目的,步驟是10作差20變形整理30判斷差式的正負(fù)。

  ∵(a3+b3)?(a2b+ab2)

  =a2(a-b)-b2(a-b)

  =(a-b)(a2-b2)

  證明: =(a-b)2(a+b)

  又∵(a-b)20

  (a-b)2(a+b)0

  即a3+b3a2b+ab2

  例2 設(shè)a、bR+,且ab,求證:aabbabba

  分析:由求證的不等式可知,a、b具有輪換對(duì)稱性,因此可在設(shè)a0的前提下用作商比較法,作商后同1比較大小,從而達(dá)到證明目的,步驟是:10作商20商形整理30判斷為與1的大小

  證明:由a、b的對(duì)稱性,不妨解a0則

  aabbabba=aa-b?bb-a=(ab)a-b

  ∵a?b?0,ab?1,a-b?0

  (ab)a-b?(ab)0=1即aabbabba1,又abba0aabbabba

  練習(xí)1 已知a、bR+,nN,求證(a+b)(an+bn)2(an+1+bn+1)基本不等式法

  利用基本不等式及其變式證明不等式是常用的方法,常用的基本不等式及 變形有:

  (1)若a、bR,則a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào))

  (2)若a、bR+,則a+b 2ab (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào))

  (3)若a、b同號(hào),則 ba+ab2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),取等號(hào))

  例3 若a、bR, |a|1,|b|1則a1-b2+b1-a21

  分析:通過(guò)觀察可直接套用: xyx2+y22

  證明: ∵a1-b2b1-a2a2+(1-b2)2+b2-(1-a2)2=1

  b1-a2+a1-b21,當(dāng)且僅當(dāng)a1+b2=1時(shí),等號(hào)成立

  練習(xí)2:若 a?b?0,證明a+1(a-b)b3綜合法

  綜合法就是從已知或已證明過(guò)的不等式出發(fā),根據(jù)不等式性質(zhì)推算出要證明不等式。

  例4,設(shè) a?0,b?0,a+b=1,證明:(a+1a)2+(B+1b)2252

  證明:∵ a?0,b?0,a+b=1

  ab14或1ab4

  左邊=4+(a2+b2)=1a2+1b2=4+[(a+b)2-2ab]+(a+b)2-2aba2b2

  =4+(1-2ab)+1-2aba2b24+(1-12)+8=252

  練習(xí)3:已知a、b、c為正數(shù),n是正整數(shù),且f (n)=1gan+bn+cn3

  求證:2f(n)f(2n)分析法

  從理論入手,尋找命題成立的充分條件,一直到這個(gè)條件是可以證明或已經(jīng)證明的不等式時(shí),便可推出原不等式成立,這種方法稱為分析法。

  例5:已知a?0,b?0,2c?a+b,求證:c-c2-ab

  分析:觀察求證式為一個(gè)連鎖不等式,不易用比較法,又據(jù)觀察求證式等價(jià)于 |a-c|

  要證c-c2-ab

  只需證-c2-ab

  證明: 即證 |a-c|

  即證 (a-c)2

  即證 a2-2ac-ab

  ∵a0,即要證 a-2c-b 即需證2+b2c,即為已知

  不等式成立

  練習(xí)4:已知aR且a1,求證:3(1+a2+a4)(1+a+a2)2放縮法

  放縮法是在證明不等式時(shí),把不等式的一邊適當(dāng)放大或縮小,利用不等式的傳遞性來(lái)證明不等式,是證明不等式的重要方法,技巧性較強(qiáng)常用技巧有:(1)舍去一些正項(xiàng)(或負(fù)項(xiàng)),(2)在和或積中換大(或換小)某些項(xiàng),(3)擴(kuò)大(或縮小)分式的分子(或分母)等。

  例6:已知a、b、c、d都是正數(shù)

  求證: 1

  分析:觀察式子特點(diǎn),若將4個(gè)分式商為同分母,問(wèn)題可解決,要商同分母除通分外,還可用放縮法,但通分太麻煩,故用放編法。

  證明:∵ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+bba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d+aa+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1

  又由ab0)可得:ba+b+c

  ba+b+c+cb+c+d+dc+d+a+ad+a+b

  綜上知:1

  練習(xí)5:已知:a2,求證:loga(a+1)1 6換元法

  換元法是許多實(shí)際問(wèn)題解決中可以起到化難為易,化繁為簡(jiǎn)的作用,有些問(wèn)題直接證明較為困難,若通過(guò)換元的思想與方法去解就很方便,常用于條件不等式的證明,常見(jiàn)的是三角換元。

  (1)三角換元:

  是一種常用的換元方法,在解代數(shù)問(wèn)題時(shí),使用適當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)進(jìn)行換元,把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角問(wèn)題,充分利用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問(wèn)題。

  例7、若x、yR+,且 x-y=1 ?A=(x-1y)(y+1y)。1x,求證0

  證明: ∵x,yR+, 且x-y=1,x=sec , y=tan ,(0

  A=(sec-1sec(tan+1tan1sec2

  =1-cos2coss2m2+cos2coss2mcos2

  =sin

  ∵0

  復(fù)習(xí)6:已知1x2+y22,求證:12 x2-xy+y23

  (2)比值換元:

  對(duì)于在已知條件中含有若干個(gè)等比式的問(wèn)題,往往可先設(shè)一個(gè)輔助未知數(shù)表示這個(gè)比值,然后代入求證式,即可。

  例8:已知 x-1=y+12=z-23,求證:x2+y2+z24314

  證明:設(shè)x-1=y+12=z-23=k

  于是x=k+1,y=zk-1,z=3k+2

  把上式代入x2+y2+z2=(k+1)2(2k-1)2+(3k+2)2

  =14(k+514)2+43144314反證法

  有些不等式從正面證如果不好說(shuō)清楚,可以考慮反證法,即先否定結(jié)論不成立,然后依據(jù)已知條件以及有關(guān)的定義、定理、公理,逐步推導(dǎo)出與定義、定理、公理或已知條件等相矛盾或自相矛盾的結(jié)論,從而肯定原有結(jié)論是正確的,凡是至少、唯一或含有否定詞的命題,適宜用反證法。

  例9:已知p3+q3=2,求證:p+q2

  分析:本題已知為p、q的三次 ,而結(jié)論中只有一次 ,應(yīng)考慮到用術(shù)立方根,同時(shí)用放縮法,很難得證,故考慮用反證法。

  證明:解設(shè)p+q2,那么p2-q

  p3(2-q)3=8-12q+6q2-q3

  將p3+q3 =2,代入得 6q2-12q+60

  即6(q-1)20 由此得出矛盾 p+q2

  練習(xí)7:已知a+b+c0,ab+bc+ac0,abc0.

  求證:a0,b0,c0數(shù)學(xué)歸納法

  與自然數(shù)n有關(guān)的不等式,通?紤]用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明。用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟缺一不可。

  例10:設(shè)nN,且n1,求證: (1+13)(1+15)(1+12n-1)2n+12

  分析:觀察求證式與n有關(guān),可采用數(shù)學(xué)歸納法

  證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左= 43,右=52

  ∵4352不等式成立

  (2)假設(shè)n=k(k2,kn)時(shí)不等式成立,即(1+13)(1+15)(1+12k-1)2k+12

  那么當(dāng)n=k+1時(shí),(1+13)(1+15)(1+12k-1)(1+12k+1)2k+12(1+12k+1)①

  要證①式左邊 2k+32,只要證2k+12

  2k+22k+12k+32②

  對(duì)于②〈二〉2k+2 2k+12k+3

  〈二〉(2k+2)2 (2k+1)(2k+3)

  〈二〉4k2+8k+4 4k2+8k+3

  〈二〉43 ③

  ∵③成立 ②成立,即當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式成立

  由(1)(2)證明可知,對(duì)一切n2(nN),原不等式成立

  練習(xí)8:已知nN,且n1,求證: 1n+1+1n+2++12n 1324構(gòu)造法

  根據(jù)求證不等式的具體結(jié)構(gòu)所證,通過(guò)構(gòu)造函數(shù)、數(shù)列、合數(shù)和圖形等,達(dá)到證明的目的,這種方法則叫構(gòu)造法。

  1構(gòu)造函數(shù)法

  例11:證明不等式:x1-2x

  證明:設(shè)f(x)= x1-2x- x2 (x0)

  ∵f (-x)

  =-x1-2-x+x2x-2x2x-1+x2

  =x1-2x- [1-(1-2x)]+x2=x1-2x-x+x2

  =f(x)

  f(x)的圖像表示y軸對(duì)稱

  ∵當(dāng)x0時(shí),1-2x0 ,故f(x)0

  當(dāng)x0時(shí),據(jù)圖像的對(duì)稱性知f(x)0

  當(dāng)x0時(shí),恒有f(x)0 即x1-2x

  練習(xí)9:已知ab,2ba+c,求證:b- b2-ab

  2構(gòu)造圖形法

  例12:若f(x)=1+x2 ,ab,則|f(x)-f(b)| |a-b|

  分析:由1+x2 的結(jié)構(gòu)可知這是直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)A(1,x),0(0,0)的距離即 1+x2 =(1-0)2+(x-0)2

  于是如下圖,設(shè)A(1,a),B(1,b)則0A= 1+a2 0B= 1+b2

  |AB|=|a-b|又?0A|-|0B?|AB||f(a)-f(b)||a-b|

  練習(xí)10:設(shè)ac,bc,c0,求證 c(a-c)+c(b-c)ab某些不等式的證明若能優(yōu)先考慮添項(xiàng)技巧,能得到快速求解的效果。

  1倍數(shù)添項(xiàng)

  若不等式中含有奇數(shù)項(xiàng)的和,可通過(guò)對(duì)不等式乘以2變成偶數(shù)項(xiàng)的和,然后分組利用已知不等式進(jìn)行放縮。

  例13:已知a、b、cR+,那么a3+b3+c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立)

  證明:∵a、b、cR+

  a3+b3+c3=12 [(a3+b3)+(b3+c3)+(c3+a3)]12 [(a2b+ab2)+(b2c+bc2)+(c2a+ca2)]

  =12[a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)]12(a2bc+b2ca+c2ac)=3abc

  當(dāng)且僅當(dāng)a=b,b=c,c=a即a=b=c時(shí),等號(hào)成立。

  2平方添項(xiàng)

  運(yùn)用此法必須注意原不等號(hào)的方向

  例14 :對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n,求證:

  (1+13 )(1+15 )(1+12n-1 2n+1 2)

  證明:∵b0,m 0時(shí)ba b+ma+m

  ∵ [(1+13 )(1+15 )(1+12n-1)]2=(43、652n2n-1)(43、652n2n-1) (54、762n+12n)(43、652n2n-1)=2n+13 2n+14

  (1+13 )(1+15 )(1+12n-1)2n+1 2)

  3平均值添項(xiàng)

  例15:在△ABC中,求證sinA+sinB+sinC332

  分析:∵A+B+C=,可按A、B、C的算術(shù)平均值添項(xiàng)sin 3

  證明:先證命題:若x0,y,則sinx+siny2sin x+y2(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立)

  ∵0

  上式成立

  反復(fù)運(yùn)用這個(gè)命題,得sinA+sinB+sinC+sin 2sinA+B2+2sinc+22sinA+B2+c+322

  =4sin3=332

  sinA+sinB332

  練習(xí)11 在△ABC中,sin A2sinB2sinC218

  4利用均值不等式等號(hào)成立的條件添項(xiàng)

  例16 :已知a、bR+,ab且a+b=1,

  求證a4+b4 18

  分析:若取消ab的限制則a=b= 12時(shí),等號(hào)成立

  證明:∵a、bR+ a4+3(12)444a4 [(12)4]3=12a①

  同理 b4+3(12)4 b②

  a4+b412(a+b)-6(12)4=12-6(12)4=18③

  ∵ab ①②中等號(hào)不成立 ③中等號(hào)不成立原不等式成立

  1.是否存在常數(shù)c,使得不等式 x2x+y+yx+2yxx+2y+y2x+y對(duì)任意正數(shù)x,y恒成立?

  錯(cuò)解:證明不等式x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立,故說(shuō)明c存在。

  正解:x=y得23 23,故猜想c= 23,下證不等式 x2x+y+ yx+2yxx+2y+y2x+y恒成立。

  要證不等式xx+2y+xx+2y23 ,因?yàn)閤,y是正數(shù),即證3x(x+2y)+3y(2x+y)2(2 x+y)(x+2y),也即證3x2+12xy+3y2 2(2x2+2y2+5xy),即2xyx2+y2 ,而此不等式恒成立,同理不等式 23xx+2y+y2x+y也成立,故存在c=23 使原不等式恒成立。

  6.2已知x,y,zR+ ,求證:x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz

  錯(cuò)解:∵ x2y2+y2z2+z2x2 3 3x2y2y2z2z2x2=3xyz3xyz 又x+y+z3xyzx2y2+y2z2+z2x2x+y+z 3xyz33xyz33xyz=xyz

  錯(cuò)因:根據(jù)不等式的性質(zhì):若a0,c 0,則ac bd,但 ac bd卻不一定成立

  正解: x2y2+y2z2 2x y2z,

  y2z2+z2x2 2x yz2,

  x2y2+z2x2 2x 2yz,

  以上三式相加,化簡(jiǎn)得:x2y2+y2z2+z2x2xyz(x+y+z),

  兩邊同除以x+y+z:

  x2y2+y2z2+z2x2x+y+zxyz

  6.3 設(shè)x+y0, n為偶數(shù),求證 yn-1xn+xn-1yn

  1x 1y

  錯(cuò)證:∵yn-1xn+xn-1yn-1x-1y

  =(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

  n為偶數(shù), xnyn 0,又xn-yn 和xn-1-yn-1

  同號(hào),

  yn-1xn+xn-1yn 1x-1y

  錯(cuò)因:在x+y0的條件下,n為偶數(shù)時(shí), xn-yn 和xn-1-yn-1 不一定同號(hào),應(yīng)分x、y同號(hào)和異號(hào)兩種情況討論。

  正解:應(yīng)用比較法:

  yn-1xn+xn-1yn-1x-1y=(xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

 、 當(dāng)x0時(shí), (xn-yn)(xn-1-yn-1)

  0,(xy)n 0

  所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

  0故:yn-1xn+xn-1yn 1x-1y

  ② 當(dāng)x,y有一個(gè)是負(fù)值時(shí),不妨設(shè)x0,

  且x+y0,所以x|y|

  又n為偶數(shù)時(shí),所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1) 0

  又 (xy)n 0,所以 (xn-yn)(xn-1-yn-1)xnyn

  0即 yn-1xn+xn-1yn 1x-1y

  綜合①②知原不等式成立

  不等式的性質(zhì)

  1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b之間的大小關(guān)系

  2.不等式的性質(zhì)

  (4) (乘法單調(diào)性)

  3.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)

  (2)如果a0,那么

  (3)|ab|=|a||b|.

  (5)|a|-|b||ab||a|+|b|.

  (6)|a1+a2++an||a1|+|a2|++|an|.

  不等式的證明

  1.不等式證明的依據(jù)

  (2)不等式的性質(zhì)(略)

  (3)重要不等式:①|(zhì)a|0;(a-b)20(a、bR)

  ②a2+b22ab(a、bR,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取=號(hào))

  2.不等式的證明方法

  (1)比較法:要證明ab(a0(a-b0),這種證明不等式的方法叫做比較法.

  用比較法證明不等式的步驟是:作差變形判斷符號(hào).

  (2)綜合法:從已知條件出發(fā),依據(jù)不等式的性質(zhì)和已證明過(guò)的不等式,推導(dǎo)出所要證明的不等式成立,這種證明不等式的方法叫做綜合法.

  (3)分析法:從欲證的不等式出發(fā),逐步分析使這不等式成立的充分條件,直到所需條件已判斷為正確時(shí),從而斷定原不等式成立,這種證明不等式的方法叫做分析法.

  證明不等式除以上三種基本方法外,還有反證法、數(shù)學(xué)歸納法等.

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