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直接證明與間接證明復習練習

時間:2024-09-15 18:00:08

直接證明與間接證明復習練習

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直接證明與間接證明復習練習

  1.已知函數y=f(x)的定義域為D,若對于任意的x1,x2D(x1x2),都有fx1+x22

  ()

  A.y=log2x B.y=x

  C.y=x2 D.y=x3

  解析:可以根據圖象直觀觀察;對于C證明如下:

  欲證fx1+x22

  即證x1+x222

  即證(x1-x2)20.顯然成立.故原不等式得證.

  答案:C

  2.設a,b,c(-,0),則a+1b,b+1c,c+1a

  ()

  A.都不大于-2 B.都不小于-2

  C.至少有一個不大于-2 D.至少有一個不小于-2

  解析:因為a+1b+b+1c+c+1a-6,所以三者不能都大于-2.

  答案:C

  3.凸函數的性質定理為:如果函數f(x)在區間D上是凸函數,則對于區間D內的任意x1,x2,,xn,有fx1+fx2++fxnnfx1+x2++xnn,已知函數y=sin x在區間(0,)上是凸函數,則在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值為________.

  解析:∵f(x)=sin x在區間(0,)上是凸函數,

  且A、B、C(0,),

  fA+fB+fC3fA+B+C3=f3,

  即sin A+sin B+sin C3sin 3=332,

  所以sin A+sin B+sin C的最大值為332.

  答案:332

  4.已知常數p0且p1,數列{an}的前n項和Sn=p1-p(1-an),數列{bn}滿足bn+1-bn=logpa2n-1且b1=1.

  (1)求證:數列{an}是等比數列;

  (2)若對于在區間[0,1]上的任意實數,總存在不小于2的自然數k,當nk時,bn(1-)(3n-2)恒成立,求k的最小值.

  解:(1)證明:當n2時,an=Sn-Sn-1=p1-p(1-an)-p1-p(1-an-1),整理得an=pan-1.由a1=S1=p1-p(1-a1),得a1=p0,則恒有an=pn0,從而anan-1=p.所以數列{an}為等比數列.

  (2)由(1)知an=pn,則bn+1-bn=logpa2n-1=2n-1,

  所以bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=n2-2n+2,

  所以n2-2n+2(1-)(3n-2),則(3n-2)+n2-5n+40在[0,1]時恒成立.

  記f()=(3n-2)+n2-5n+4,由題意知,f00f10,解得n4或n1.又n2,所以n4.

  綜上可知,k的最小值為4.

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