課文圓教案設(shè)計(jì)
課文圓教案設(shè)計(jì)
1、教材分析
(1)知識(shí)結(jié)構(gòu)
(2)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析
重點(diǎn)：①點(diǎn)和圓的三種位置關(guān)系，圓的有關(guān)概念，因?yàn)樗鼈兪茄芯繄A的基礎(chǔ);②五種常見的點(diǎn)的軌跡，一是對(duì)幾何圖形的深刻理解，二為今后立體幾何、解析幾何的學(xué)習(xí)作重要的準(zhǔn)備.
難點(diǎn)：① 圓的集合定義，學(xué)生不容易理解為什么必須滿足兩個(gè)條件，內(nèi)容本身屬于難點(diǎn);②點(diǎn)的軌跡，由于學(xué)生形象思維較強(qiáng)，抽象思維弱，而這部分知識(shí)比較抽象和難懂.
2、教法建議
本節(jié)內(nèi)容需要4課時(shí)
第一課時(shí)：圓的定義和點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
(1)讓學(xué)生自己畫圓，自己給圓下定義，進(jìn)行交流，歸納、概括，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極主動(dòng)的參與教學(xué)活動(dòng);對(duì)于高層次的學(xué)生可以直接通過點(diǎn)的集合來研究，給圓下定義(參看教案圓(一));
(2)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，讓學(xué)生自己觀察、分類、探究，在數(shù)形的過程中，學(xué)習(xí)新知識(shí).
第二課時(shí)：圓的有關(guān)概念
(1)對(duì)(A)層學(xué)生放開自學(xué)，對(duì)(B)層學(xué)生在老師引導(dǎo)下自學(xué)，要提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，特別是概念較多而沒有很多發(fā)揮的內(nèi)容，老師沒必要去講;
(2)課堂活動(dòng)要抓住：由數(shù)想形，由形思數(shù)，的主線.
第三、四課時(shí)：點(diǎn)的軌跡
條件較好的學(xué)校可以利用電腦動(dòng)畫來加深和幫助學(xué)生對(duì)點(diǎn)的軌跡的理解，一般學(xué)校可讓學(xué)生動(dòng)手畫圖，使學(xué)生在動(dòng)手、動(dòng)腦、觀察、思考、理解的過程中，逐步從形象思維較強(qiáng)向抽象思維過度.但我的觀點(diǎn)是不管怎樣組織教學(xué)，都要遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體這一原則.
第一課時(shí)：圓(一)
教學(xué)目標(biāo) ：
1、理解圓的描述性定義，了解用集合的觀點(diǎn)對(duì)圓的定義;
2、理解點(diǎn)和圓的位置關(guān)系和確定圓的條件;
3、培養(yǎng)學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐發(fā)現(xiàn)問題的能力;
4、滲透觀察分析歸納概括的數(shù)學(xué)思想方法.
教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)和圓的關(guān)系
教學(xué)難點(diǎn) ：以點(diǎn)的集合定義圓所具備的兩個(gè)條件
教學(xué)方法：自主探討式
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)(總框架)：
一、 創(chuàng)設(shè)情境，開展學(xué)習(xí)活動(dòng)
1、讓學(xué)生畫圓、描述、交流，得出圓的第一定義：
定義1：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓.固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑.記作⊙O，讀作圓O.
2、讓學(xué)生觀察、思考、交流，并在老師的指導(dǎo)下，得出圓的第二定義.
從舊知識(shí)中發(fā)現(xiàn)新問題
觀察：
共性：這些點(diǎn)到O點(diǎn)的距離相等
想一想：在平面內(nèi)還有到O點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎?它們構(gòu)成什么圖形?
(1) 圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r);
(2) 到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)都在圓上.
定義2：圓是到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合.
3、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系
問題三：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系怎樣?(學(xué)生自主完成得出結(jié)論)
如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則：
點(diǎn)在圓上d=r;
點(diǎn)在圓內(nèi)d
點(diǎn)在圓外dr.
數(shù)形
二、 例題分析，變式練習(xí)
練習(xí)： 已知⊙O的半徑為5cm，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP=6cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O________;當(dāng)OP=10cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O________;當(dāng)OP=18cm時(shí)，點(diǎn)A在⊙O___________.
例1 求證：矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以對(duì)角線的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上.
已知(略)
求證(略)
分析：四邊形ABCD是矩形
A=OC，OB=OD;AC=BD
OA=OC=OB=OD
要證A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心的圓上
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形
OA=OC，OB=OD;AC=BD
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.
符號(hào)的應(yīng)用(要求學(xué)生了解)
證明：四邊形ABCD是矩形
OA=OC=OB=OD
A、B、C、D 4個(gè)點(diǎn)在以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓上.
小結(jié)：要證幾個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，可以證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離相等.
問題拓展研究：我們所研究過的基本圖形中(平行四邊形，菱形，，正方形，等腰梯形)哪些圖形的頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上.(讓學(xué)生探討)
練習(xí)1 求證：菱形各邊的中點(diǎn)在同一個(gè)圓上.
(目的：培養(yǎng)學(xué)生的分析問題的能力和邏輯思維能力.A層自主完成)
練習(xí)2 設(shè)AB=3cm，畫圖說明具有下列性質(zhì)的點(diǎn)的集合是怎樣的圖形.
(1)和點(diǎn)A的距離等于2cm的點(diǎn)的集合;
(2)和點(diǎn)B的距離等于2cm的點(diǎn)的集合;
(3)和點(diǎn)A，B的距離都等于2cm的點(diǎn)的集合;
(4)和點(diǎn)A，B的距離都小于2cm的點(diǎn)的集合;(A層自主完成)
三、 課堂小結(jié)
問：這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么?在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意哪些問題?在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，強(qiáng)調(diào)：
(1)主要學(xué)習(xí)了圓的兩種不同的定義方法與圓的三種位置關(guān)系;
(2)在用點(diǎn)的集合定義圓時(shí)，必須注意應(yīng)具備兩個(gè)條件，二者缺一不可;
(3)注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)
四、作業(yè) 82頁2、3、4.
第二課時(shí)：圓(二)
教學(xué)目標(biāo)
1、使學(xué)生理解弦、弧、弓形、同心圓、等圓、等孤的概念;初步會(huì)運(yùn)用這些概念判斷真假命題。
2、逐步培養(yǎng)學(xué)生閱讀教材、親自動(dòng)手實(shí)踐，總結(jié)出新概念的能力;進(jìn)一步指導(dǎo)學(xué)
生觀察、比較、分析、概括知識(shí)的能力。
3、通過動(dòng)手、動(dòng)腦的全過程，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識(shí)。
教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)和疑點(diǎn)
1、重點(diǎn)：理解圓的有關(guān)概念.
2、難點(diǎn)：對(duì)等圓、等弧的定義中的互相重合這一特征的理解.
3、疑點(diǎn)：學(xué)生容易把長度相等的兩條弧看成是等弧。讓學(xué)生閱讀教材、理解、交流和與教師對(duì)話交流中排除疑難。
教學(xué)過程 設(shè)計(jì)：
(一)閱讀、理解
重點(diǎn)概念：
1、弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.
2、直徑：經(jīng)過圓心的弦是直徑.
3、圓弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧.簡(jiǎn)稱弧.
半圓弧：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓;
優(yōu)弧：大于半圓的弧叫優(yōu)弧;
劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.
4、弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.
5、同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓.
6、等圓：能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.
7、等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.
(二)小組交流、師生對(duì)話
問題：
1、一個(gè)圓有多少條弦?最長的弦是什么?
2、弧分為哪幾種?怎樣表示?
3、弓形與弦有什么區(qū)別?在一個(gè)圓中一條弦能得到幾個(gè)弓形?
4、在等圓、等弧中，互相重合是什么含義?
(通過問題，使學(xué)生與學(xué)生，學(xué)生與老師進(jìn)行交流、學(xué)習(xí)，加深對(duì)概念的理解，排除疑難)
(三)概念辨析：
判斷題目：
(1)直徑是弦( ) (2)弦是直徑( )
(3)半圓是弧( ) (4)弧是半圓( )
(5)長度相等的兩段弧是等弧( ) (6)等弧的長度相等( )
(7)兩個(gè)劣弧之和等于半圓() (8)半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧()
(主要理解以下概念：(1)弦與直徑;(2)弧與半圓;(3)同心圓、等圓指兩個(gè)圖形;(4)等圓、等弧是互相重合得到，等弧的條件作用.)
(四)應(yīng)用、練習(xí)
例1、已知：如圖，AB、CB為⊙O的兩條弦，試寫出圖中的所有弧.
解：一共有6條弧. 、 、 、 、 、 .
(目的：讓學(xué)生會(huì)表示弧，并加深理解優(yōu)弧和劣弧的概念)
例2、已知：如圖，在⊙O中，AB、CD為直徑.求證：AD∥BC.
(由學(xué)生分析，學(xué)生寫出證明過程，學(xué)生糾正存在問題.鍛煉學(xué)生動(dòng)口、動(dòng)腦、動(dòng)手實(shí)踐能力，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生從積極主動(dòng)獲得知識(shí).)
鞏固練習(xí)：
教材P66練習(xí)中2題(學(xué)生自己完成).
(五)小結(jié)
教師引導(dǎo)學(xué)生自己做出總結(jié)：
1、本節(jié)所學(xué)似的知識(shí)點(diǎn);
2、概念理解：①弦與直徑;②弧與半圓;③同心圓、等圓指兩個(gè)圖形;④等圓和等弧.
3、弧的表示方法.
(六)作業(yè)
教材P66練習(xí)中3題，P82習(xí)題l(3)、(4).
第三、四課時(shí) 圓(三)點(diǎn)的軌跡
教學(xué)目標(biāo)
1、在了解用集合的觀點(diǎn)定義圓的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步使學(xué)生了解軌跡的有關(guān)概念以及熟悉五種常用的點(diǎn)的軌跡;
2、培養(yǎng)學(xué)生從形象思維向抽象思維的過渡;
3、提高學(xué)生數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐，反過來又作用于實(shí)踐的辯證唯物主義觀點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。
重點(diǎn)、難點(diǎn)
1、重點(diǎn)：對(duì)圓點(diǎn)的軌跡的認(rèn)識(shí)。
2、難點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)的軌跡概念的認(rèn)識(shí)，因?yàn)檫@個(gè)概念比較抽象。
教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)(在老師與學(xué)生的交流對(duì)話中完成教學(xué)目標(biāo) )
(一)創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)情境
1、對(duì)圓的形成觀察理解引出軌跡的概念
(使學(xué)生在老師的引導(dǎo)下從感性知識(shí)到理性知識(shí))
觀察：圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的的點(diǎn)的集合;(電腦動(dòng)畫)
理解：圓上的點(diǎn)具有兩個(gè)性質(zhì)：
(1)圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)(圓心O)的距離都等于定長(半徑的長r);
(2)到定點(diǎn)距離等于定長的的點(diǎn)都在圓上;(結(jié)合下圖)
引出軌跡的概念：我們把符合某一條件的所有的點(diǎn)所組成的圖形，叫做符合這個(gè)條件的點(diǎn)的軌跡.這里含有兩層意思：(1)圖形是由符合條件的那些點(diǎn)組成的，就是說，圖形上的任何一點(diǎn)都符合條件;(2)圖形包含了符合條件的所有的點(diǎn)，就是說，符合條件的任何一點(diǎn)都在圖形上.(軌跡的概念非常抽象，是教學(xué)的難點(diǎn)，這里教師要精講，細(xì)講)
上面左圖符合(1)但不符合(2);中圖不符合(1)但符合(2);只有右圖(1)(2)都符合.因此到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓.
軌跡1：到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓。(研究圓是軌跡概念的切入口、基礎(chǔ)和關(guān)鍵)
(二)類比、研究1
(在老師指導(dǎo)下，通過電腦動(dòng)畫，學(xué)生歸納、整理、概括、遷移，獲得新知識(shí))
軌跡2：和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這條線段的垂直平分線;
軌跡3：到已知角兩邊的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線;
(三)鞏固概念
練習(xí)：畫圖說明滿足下列條件的點(diǎn)的軌跡：
(1)到定點(diǎn)A的距離等于3cm的點(diǎn)的軌跡;
(2)到AOC的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡;
(3)經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓O，圓心O的軌跡.
(A層學(xué)生獨(dú)立畫圖，回答滿足這個(gè)條件的軌跡是什么?歸納出每一個(gè)題的點(diǎn)的軌跡屬于哪一個(gè)基本軌跡;B、C層學(xué)生在老師的指導(dǎo)或帶領(lǐng)下完成)
(四)類比、研究2
(這是第二次類比，目的：使學(xué)生的知識(shí)和能力螺旋上升.這次通過電腦動(dòng)畫，使A層學(xué)生自己做，進(jìn)一步提高學(xué)生歸納、整理、概括、遷移等能力)
軌跡4：到直線l的距離等于定長d的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線，并且到這條直線的距離等于定長的兩條直線;
軌跡5：到兩條平行線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線.
(五)鞏固訓(xùn)練
練習(xí)題1：畫圖說明滿足下面條件的點(diǎn)的軌跡：
1.到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡;
2.已知直線AB∥CD，到AB、CD距離相等的點(diǎn)的軌跡.
(A層學(xué)生獨(dú)立畫圖探索;然后回答出點(diǎn)的軌跡是什么，對(duì)B、C層學(xué)生回答有一定的困難，這時(shí)教師要從規(guī)律上和方法上指導(dǎo)學(xué)生)
練習(xí)題2：判斷題
1、到一條直線的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，是平行于這條直線到這條直線的距離等于定長的直線.( )
2、和點(diǎn)B的距離等于5cm的點(diǎn)的軌跡，是到點(diǎn)B的距離等于5cm的圓.( )
3、到兩條平行線的距離等于8cm的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線的平行且距離等于8cm的一條直線.( )
4、底邊為a的等腰三角形的頂點(diǎn)軌跡，是底邊a的垂直平分線.( )
(這組練習(xí)題的目的，訓(xùn)練學(xué)生思維的準(zhǔn)確性和語言表達(dá)的正確性.題目由學(xué)生自主完成、交流、反思)
(教材的練習(xí)題、習(xí)題即可，因?yàn)檫@部分知識(shí)屬于選學(xué)內(nèi)容，而軌跡概念又比較抽象，不要對(duì)學(xué)生要求太高，了解就行、理解就高要求)
(六)理解、小結(jié)
(1)軌跡的定義兩層意思;
(2)常見的五種軌跡。
(七)作業(yè)
教材P82習(xí)題2、6.
探究活動(dòng)
愛爾特希問題
在平面上有四個(gè)點(diǎn)，任意三點(diǎn)都可以構(gòu)成等腰三角形，你能找到這樣的四點(diǎn)嗎?
分析與解：開始自然是嘗試、探索，主要應(yīng)以如何構(gòu)造出這樣的點(diǎn)來考慮.最容易想到的是，使一個(gè)點(diǎn)到另三個(gè)點(diǎn)等距離，換句話說，以一個(gè)點(diǎn)為圓心，作一個(gè)圓，其他三個(gè)點(diǎn)在此圓上尋找，只要使這圓上的三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形即可，于是得到如圖中的上面兩種形式.
其次，取邊長都相等的四邊形，即為菱形的四個(gè)頂點(diǎn)(見圖中第3個(gè)圖).
最后，取梯形ABCD，其中AB=BC=CD，且AD=BD=AC，但是這樣苛刻條件的梯形存在嗎?實(shí)際上，只要將任一圓周5等分，取其中任意四點(diǎn)即可(見圖中的第4個(gè)圖).
綜上所述，符合題意的四點(diǎn)有且僅有三種構(gòu)形：①任意等腰三角形的三個(gè)頂點(diǎn)及其外接圓圓心(即外心);②任意菱形的4個(gè)頂點(diǎn);③任意正五邊形的其中4個(gè)頂點(diǎn).
上述問題是大數(shù)學(xué)家愛爾特希(P.Erdos)提出的：在平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形中n=4的情形.
當(dāng)n=3、4、5、6時(shí)，愛爾特希問題都有解.已經(jīng)證明，時(shí)，問題無解.
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